Đề học sinh giỏi toán lớp 8 huyện Vĩnh Bảo

Website tailieumontoan com UBND HUYỆN VĨNH BẢO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS MÔN TOÁN 8 Bài 1 (3 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Cho là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn Tính giá trị của biểu thức c) Cho Chứng minh rằng Bài 2 (2 điểm) a) Tìm số tự nhiên để và là hai số chính phương b) Cho thỏa mãn Chứng minh Bài 3 (1 điểm) Cho hình bình hành có góc nhọn Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều và Tính số đo Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn có các đư[.]

UBND HUYỆN VĨNH BẢO

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS MÔN: TOÁN 8

Bài 1 (3 điểm)

a) Phân tích đa thức a b c2   b c a2   c a b2   thành nhân tử

b) Cho , ,a b c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:  2 2 2 2

a b c  a  b c

Tính giá trị của biểu thức:

P

c) Cho x y z   Chứng minh rằng: 0. 2 x5  y5 z5 5xyz x 2  y2 z2

Bài 2 (2 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để n và 18 n là hai số chính phương41

b) Cho ,a b thỏa mãn 0 a b  Chứng minh 1

2

      

Bài 3 (1 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn Vẽ ra phía ngoiaf hình bình hành các tam giác đều BCE và DCF Tính số đo . ·EAF

Bài 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA BB CC và H là trực tâm', ', ' a) Chứng minh BC BA CB CA BC'.  '.  2

b) Chứng minh rằng:

1

HB HC HA HB HC HA

AB AC  BC AC  BC AB  c) Gọi D là trung điểm của BC Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt

,

AB AC lần lượt tại M và N Chứng minh H là trung điểm của MN

Bài 5 (1 điểm)

Cho hình vuông ABCD và 2018đường thẳng cùng có tính chất chia hình

vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng

2

3 Chứng minh rằng có ít nhất

505 đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy

Bài 1.

a) a b c2   b c a2   c a b2   a b c2   b a c2   c a b2  

        

b)  2 2 2 2

0

a b c  a   b c ab ac bc  

a bc  a ab ac bc  a b a c

1

P

a b a c b c

a b a c b c

0

x y z        x y z x y  z

Hay x3 y3 3xy x y     z3 3xyz x 3 y3 z3

Do đó:

3xyz x y z x y z x y z

x  y  x y  xy z  xy Vi x y  z

Tương tự: y2  z2 x2 2 ;yz z2 x2  y2 2zx

Vì vậy: 3xyz x 2  y2 z2 x5 y5 z5 x x3 2 2yz  y y3 2 2zx z z3 2 2xy

Suy ra : 2 x5 y5z5 5xyz x 2 y2 z2

Bài 2.

a) Để n và 18 n là hai số chính phương41

2

18

   và n41q p q2 , ¥

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:

Từ n 18 p2 302 900 n 882

Thay vào n41,ta được 882 41 841 29   2 q2

Vậy với n882 thì n và 18 n là hai số chính phương41

a b  a  b ab a  b ab Dấu đẳng thức xảy ra khi a b

Áp dụng  * có:

               

Suy ra:

5 2

             

5 2

             

2

             

Với ,a b dương , chứng minh

1 1 4

4 (Vi a b 1)



Dấu bằng xảy ra khi a b

Ta được:

5 5.4 2

        

2

       

    Dấu đẳng thức xảy ra

1 2

a b

  

Chứng minh được ·ABE ECF ·

Chứng minh được ABE FCE c g c   AE EF

Tương tự: AF EF

     đều EAF· 600

Bài 4.

a) Chứng minh

'

'

Chứng minh

'

'

Từ (1) và (2) BC BA BA BC'.  '.

Tương tự : CB CA CA BC'.  '.

b) Có

BHC ABC

AB  BB  AB AC  BB AC  S

Tương tự:

;

CB CA  S CB AB  S

1

ABC ABC

HB HC HA HB HC HA S

AB AC AC BC BC AB S

c) Chứng minh AHM CDH g g  HM AH (3)

Chứng minh AHN BDH g g  AH HN (4)

Mà

H

 là trung điểm của MN

Bài 5.

Gọi , , ,E F P Q lần lượt là trung điểm của , , , AB CD BC AD Lấy các điểm ,IG trên

EF và ,K H trên PQ thỏa mãn:

2 3

IF  HQ  GE  KP 

Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng AD BC EF, , lần lượt tại M N G Ta có:, , '

'

2

ABMN

CDNM

G G





hay d qua G.

Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi qua một trong 4 điểm , , ,G H I K

Do có 2018đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm , , ,G H I K theo nguyên lý Dirichle

phải tồn tại ít nhất

2018

1 505 4

   

  đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm trên

Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy