Website tailieumontoan com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH NĂM 2019 2020 Câu 1 (3 0đ) 1 Tồn tại hay không các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 2 Tìm giá trị nguyên của thỏa mãn Câu 2 (6 0đ) 1 Giải phương trình 2 Cho thỏa mãn Chứng minh Câu 3 (3 0đ) Cho là các số thực dương Chứng minh rằng Câu 4 (6 0đ) Cho tam giác nhọn , Ba đường cao cắt nhau tại H Gọi I là giao điểm và Đường thẳng qua I và song song với cắt lần lượt tại B và Q 1 Chứng minh 2 Chứng minh 3 Gọi M là trung điểm của chứng m[.]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 2019-2020 Câu 1: (3.0đ)
1 Tồn tại hay không các số nguyên tố a b c, , thỏa mãn điều kiện a b2011c
2 Tìm giá trị nguyên của x y, thỏa mãn x2 4xy5y2 2(x y )
Câu 2: (6.0đ)
1 Giải phương trình: 10x23x 1 (6x 1) x 23
2 Cho a, b,cthỏa mãn 2a b c 0 Chứng minh 2a3b3c3 3 (a a b c b )( ).
Câu 3: (3.0đ)
Cho a, b,clà các số thực dương Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )2 2 2
Câu 4: (6.0đ)
Cho tam giác nhọn ABC AB( AC), Ba đường cao AD, BE và CFcắt nhau tại H Gọi I là giao điểm EF
và AH Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB BE, lần lượt tại B và Q
1 Chứng minh: AEF∽ABC
2 Chứng minh: IP IQ
3 Gọi M là trung điểm của AHchứng minh I là trực tâm của tam giác BMC
Câu 5: (2.0đ)
Trong mặt phẳng cho 6 điểm A ;A ;A ;A ;A ;A trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Với ba1 2 3 4 5 6 điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhở hơn 673 Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2019
(Hết)
Trang 2LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 2019-2020 Câu 1: (3.0đ)
1. Tồn tại hay không các số nguyên tố a, b,cthỏa mãn điều kiện ab2011 c
2. Tìm giá trị nguyên của x, y thỏa mãn x2 4xy 5y 2 2(x y).
Lời giải
1 Giả sử tồn tại 3 số nguyên tố a, b,cthỏa mãn điêu kiện: a b2011c
Khi đó ta có: c2011 c là số nguyên tố lẽ.
a bchẵn 2
a Nếub2thì c222011 2015 5 clà hợp số (trái với giả thiết)
Nếu b3thì là số nguyên tố lẻ b2k3(với k N )
2 2 2
a b k k
Vì 22k 1(mod 3) và 23 1(mod 3)
b 2k 3
Lại có: 2011 1(mod 3)
2011 0(mod 3)
c a b c là hợp số (trái với giả thiết)
Vậy không tồn tại các số nguyên tố a, b, cthỏa mãn điều kiện a b 2011c
2 Ta có : x2 4xy5y2 2(x y )
y x xy x y y y
2 2
2 2
1 1 ( 1) 1
y y
1 1
1 1
y x y
y x y
y x y
y x y
x 4
y 2
x 2
y 0
x 6
y 2
x 0
y 0
Vậy ( ; )x y (4;2);(2;0);(6;2);(0;0);
Câu 2: (6.0đ)
Trang 31. Giải phương trình: 10x23x 1 (6x 1) x 23
2. Cho a, b,cthỏa mãn 2a b c 0 Chứng minh 2a3b3c3 3 (a a b c b )( ).
Lời giải
1 ĐKXĐ của phương trình là: x
Ta có: 10x23x 1 (6x1) x23
6 1 2 2 32 9
2 2
6 1 2 3 3
* Trường hợp 1: 6x 1 2 x2 3 3 2 x2 3 6x 2 x2 3 3x1
x 3 0
1 3
4 3 1 0
x
1 3
1 0
x x x
1
x
* Trường hợp 2: 6x 1 2 x2 3 3 2 x2 3 6x 4 x2 3 3x2
x 2 0
2 3
8 12 1 0
x
2 x 3
x
4
x
4
3 7 4
x
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 và 3 7
4
x
2.Ta có: 2a b c 0 a b (a c )
a b a c
+
a b c a ac c ab b
a b c a c a c b a b
a b c a c a b b a b (Vì a b (a c ))
Trang 4P I
H A
D
F
E
N K
a b c a a b b c
a b c a a b c b
2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-Sy cho hai số dương ta có:
1
2
bc
( ) 4 4
ca
2
( ) 4 4
ab
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
Câu 4: (6.0đ)
Cho tam giác nhọn ABC (ABAC), Ba đường cao AD BE v CF, à cắt nhau tại H Gọi I là giao điểm
EFvà AH Đường thẳng qua I và song song với BC cắt AB BE, lần lượt tại Bvà Q
1/ Chứng minh: AEF∽ABC
2/ Chứng minh:IP IQ
3/ Gọi M là trung điểm của AH chứng minh I là trực tâm của tam giác BMC
Lời giải
1 Chứng minh: AEF∽ABC
AF
AE AB
AC
∽
Xét AEF vàABCcó:
(1) AF
EAF BAC g chung
AEF ABC c g c
AC
∽
2.Kẻ AK và HN vuông góc với EF (K N; EF)
Ta có: AK/ /HN (cùng vuông góc với EF)
1 EF 2
1 EF 2
HEF
IA AK
Trang 5H A
F
E
M J
Lại có:
1 2 1 BC 2
HBC
AD BC S AD
∽
2 HEF
HCB
∽
Và
2
A ABC
S
A ABC c u a
∽
2
ABC
S
Từ (1), (2) và (3) IA AD AI HI
Vì PQ BC/ / nên áp dụng quan hệ định lý Ta-Lét ta có: IP AI và IQ HI
DBAD DBHD (**)
DB DB
c u b
VìM là trung điểm của AH HI AI AH 2MA
2
2
HI MA MA HI MA
ID AD
Lại có:
DH DB DHB DCA (g g) DB.CD AD.HD
DC DA
BD MD
DIB∽DCM c g c DIB DCM BCJ
BCJ CBJ DIB DBI BJ MC
Mặt khác: MDBC
Mà BJ cắt MDtại Isuy ra I là trực tâm của BMC
Câu 5: (2.0đ)
Trang 6Trong mặt phẳng cho 6 điểm A A A A A A trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Với ba1; ; ; ; ;2 3 4 5 6 điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhở hơn 673 Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2019
Lời giải
-Tổng số đoạn thẳng được sinh ra từ 6 điểm đã cho là: 5 4 3+2 1 15 (đoạn thẳng)
- Trong 15 đoạn thẳng trên các đoạn thẳng A A (với m n m n; 1;2;3; 4;5;6 ; 6}) có độ dài nhỏ hơn 673
được tô bởi mà đỏ Các đoạn thẳng còn lại được tô bởi màu xanh
- Khi đó, trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ và các tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu đỏ có chu vi nhỏ hơn 2019
- Vì thế, ta chỉ cần chứng minh luôn tồn tại một tam giác có 3 cạnh đều là màu đỏ
- Thật vậy: Nối điểm A với 5 điểm còn lại ta được 5 đoạn thẳng gồm1
A A ; A A ; A A ; A A ; A A
- Theo nguyên lí Dirichlet trong 5 đoạn thẳng này luôn tồn tại 3 đoạn thẳng được tô cùng màu
- Không mất tính tổng quát, Giả sử A A ; A A ; A A có cùng màu xanh, khi đó tam giác 1 2 1 3 1 4 A A A có 3 2 3 4 cạnh được tô cùng màu đỏ (vì trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ)
- Nếu 3 đoạn thẳng A A ; A A ; A A có cùng màu đỏ, khi đó tam giác 1 2 1 3 1 4 A A A có một cạnh được tô 2 3 4 bởi màu đỏ (trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ) Giả sử cạnh A A được tô bởi màu 2 4
đỏ, Ta có tam giác A A A có З cạnh được tô cùng màu đỏ.1 2 3
- Bài toán được chứng minh
(Hết)
Đỏ Đỏ Đỏ
Đỏ
Đỏ Đỏ
Đỏ
Xanh
Xanh
Xanh Xanh Xanh