Website tailieumontoan com PHÒNG GD & ĐT VIỆT YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 2013 MÔN THI TOÁN LỚP 8 Ngày thi 3/4/2013 Câu 1 (4,0 điểm) 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 Rút gọn biểu thức sau Câu 2 (4,0 điểm) 1 Giải phương trình sau 2 Tìm các số nguyên thỏa mãn Câu 3 (4,0 điểm) 1 Tìm đa thức biết rằng chia cho dư chia cho dư 24, chia cho được thương là và còn dư 2 Chứng minh rằng Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông trên cạnh AB lấy điể[.]
Trang 1PHÒNG GD & ĐT VIỆT YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 Ngày thi: 3/4/2013
Câu 1 (4,0 điểm)
1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2 Rút gọn biểu thức sau:
A
Câu 2 (4,0 điểm)
1 Giải phương trình sau:
2x + −x 2013 +4 x −5x−2012 =4 2x + −x 2013 x −5x−2012
2 Tìm các số nguyên
,
x y
thỏa mãn:
x + x + x+ = y
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Tìm đa thức
( )
f x
biết rằng:
( )
f x
chia cho x+2
dư 10, ( )f x
chia cho x−2
dư 24,
( )
f x
chia cho
x −
được thương là −5x
và còn dư
2 Chứng minh rằng:
a b c b c a− + − +c a b a b c− + − =b a c a c b− + −
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD,
trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm
F sao cho AE AF=
Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
1) Chứng minh rằng tứ giác AEMD
là hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCHgấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng AC =2EF
Trang 23) Chứng minh rằng :
AD = AM + AN
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho a b c, ,
là ba số dương thỏa mãn abc=1.
Chứng minh rằng:
2
a b c +b c a +c a b ≥
ĐÁP ÁN Câu 1.
1.1 Ta có:
2013 2012 2013
2013 2013 2013
1.2
Điều kiện:
0 2
x x
≠
≠
Ta có:
Trang 3( ) ( ) ( )
2
2
2
1
A
x
x
x x
= + − − + − ÷ − − ÷
+
+
1
2x
+
Vậy
1 2
x
A
x
+
=
với
0 2
x x
≠
≠
Câu 2.
2.1 Đặt
2
2
5 2012
= + −
= − −
Phương trình đã cho trở thành:
a + b = ab⇔ a− b = ⇔ −a b= ⇔ =a b
Khi đó ta có:
2011
11
−
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2011 11
x= −
2.2 Ta có:
2
y − =x x + x+ = x+ + > ⇒ <x y
Trang 4( )3 3 2 9 2 15
x+ − y = x + x+ = x+ + > ⇒ < +y x
Từ ( )1
và ( )2
ta có:
2
x y x< < +
mà
,
x y
nguyên suy ra
1
y x= +
Thay
1
y x= +
vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được
x= − ⇒ =y
Vậy ( ) (x y; = −1;0)
Câu 3.
3.1 Giả sử
( )
f x
chia cho
x − được thương là −5x
và còn dư ax b+
Khi đó : f x( )=( x2 −4 5) (− x) +ax b+
Theo đề bài, ta có:
7
2
17
b
− = − + =
Do đó :
2
f x = x − − x + x+
Vậy đa thức
( )
f x
cần tìm có dạng:
2
f x = − x + x+
3.2
Ta có: a b c b c a( − ) ( + − 2) +c a b a b c( − ) ( + − 2) −b a c a c b( − ) ( + − 2) =0 (1)
Đặt
2
2
2
x z a
a b c x
x y
c
+
=
+ − =
+
+ − = ⇒ =
+ − =
Khi đó ta có:
Trang 5( ) ( )
1
1
=
4 x −z y + 4 z −y x −4 x −y z
Câu 4
1) Ta có:
DAM = ABF
(cùng phụ với
BAH
AB AD= gt BAF = ADM =
(ABCD là hình vuông)
( )
ADM BAF g c g
⇒ ∆ = ∆
Trang 6mà
( )
AF = AE gt
nên AE DM= Lại có: AE / /DM (vì
/ / )
Suy ra tứ giác AEMD
là hình bình hành Mặt khác
· 90 ( )0
Vậy tứ giác AEMD
là hình chữ nhật 2) Ta có
( )
∆ : ∆
hay
AB BC AE AF
Lại có:
HAB HBC=
(cùng phụ với
ABH
( )
CBH AEH c g c
⇒ ∆ : ∆
2
,
CBH
EAH
mà
2
2 2
CBH EAH
2
là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD
Do đó: BD=2EF
hay
AC= EF dfcm
3) Do
/ / ( )
AD CN gt
Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:
Lại có: MC/ /AB gt( )
Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:
AN = AB ⇒ AN = MN
hay
AN = MN
Pytago
+
Trang 72 2
dfcm
⇒ ÷ + ÷ = ⇒ + =
Câu 5.
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi a b c, , ∈¡
và
, , 0
x y z>
ta có:
(*)
a b c
+ +
+ +
Dấu " "=
xảy ra
⇔ = =
Thật vậy, với a b, ∈¡
và
x y >
ta có:
2
(**)
a b
a y b x x y xy a b
+ + ≥
+
0
bx ay
(luôn đúng)
Dấu " "=
xảy ra
x y
⇔ =
Áp dụng bất đẳng thức ( )**
ta có:
Dấu " "=
xảy ra
⇔ = =
Ta có: ( )
a b c +b c a +c a b =ab ac bc ab ac bc+ +
Áp dụng BĐT (*) ta có :
Trang 8( )
1 1 1
a b c
+ + + +
(Vì
1)
abc= Hay
1 1 1 1 2
Mà
1 1 1
3
a b c+ + ≥
nên
3 2
ab ac bc ab+ +ac bc ≥
2
a b c +b c a +c a b ≥
(đpcm)
