Về môđun với EPI ACC

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu sự mở rộng của ACC theo nghĩa sự tồn tạitoàn cấu trên dãy các môđun con, đó là epi-co rút được trên dãy các môđun con.Lớp các môđun epi-co rút được là

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN THÁNH TRÂM

VỀ MÔĐUN VỚI EPI-ACC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG, NĂM 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN THÁNH TRÂM

VỀ MÔĐUN VỚI EPI-ACC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:GS.TS LÊ VĂN THUYẾT

ĐÀ NẴNG, NĂM 2019

Mở đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Định nghĩa môđun 3

1.2 Môđun tự do 7

1.3 Môđun xạ ảnh và nội xạ 9

1.4 Môđun Noether, Artin Môđun đơn Môđun nửa đơn 11

1.5 Căn và đế 13

1.6 Vành chính quy 15

1.7 Vành tựa-Frobenius 16

1.8 Vành iđêan chính Artin 16

1.9 Duo môđun 17

1.10 Môđun con suy biến 18

1.11 Môđun di truyền 19

Chương 2 MÔĐUN VÀ VÀNH VỚI EPI-ACC 20

2.1 Tính chất của môđun và vành Noether, Artin 20

2.2 Định nghĩa và ví dụ môđun epi-co rút được 25

2.3 Các tính chất của môđun epi-co rút được 26

2.4 Môđun với epi-ACC 30

2.5 Một số tính chất của môđun thỏa epi-ACC trên các môđun con 32

2.6 Một số môđun với epi-ACC đặc biệt 34

2.7 Vành với epi-ACC 36

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

∀ bất kì

A ≤e B A là môđun con cốt yếu (lớn) của B

A  B A là môđun con đối cốt yếu (bé) của B

A B A là môđun con thực sự của B

A B A không là môđun con của B

M(X) tổng trực tiếp |X| bản sao của M

MX tích trực tiếp |X| bản sao của M

Mod-R phạm trù các R-môđun phải

R-Mod phạm trù các R-môđun trái

|X| lực lượng của tập X

|X) môđun con của MR sinh ra bởi tập X

(X) iđêan của vành R sinh ra bởi tập X

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết vành và môđun là 1 bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đangđược phát triển mạnh mẽ với sự quan tâm của nhiều nhà toán học Một trong cáchướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu môđun và vành Noether vàArtin Năm 1921, Noether đã giới thiệu điều kiện dãy tăng ACC trên iđêan trong

1 vành giao hoán Sau đó, Noether đã định nghĩa khái niệm này cho môđun trênvành không giao hoán và mở rộng vài kết quả trên vành giao hoán với ACC trêniđêan đến môđun với ACC trên môđun con Môđun với ACC trên môđun con ngàynay được gọi là môđun Noether Từ tài liệu của Noether, nhiều nhà toán học kháccũng nghiên cứu về môđun Noether Một vài trong số họ đã mở rộng những kháiniệm này

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu sự mở rộng của ACC theo nghĩa sự tồn tạitoàn cấu trên dãy các môđun con, đó là epi-co rút được trên dãy các môđun con.Lớp các môđun epi-co rút được là 1 lớp con của các môđun con co rút được, đượcgiới thiệu bởi Khuri năm 1979 Một R-môđun M được gọi là co rút được nếu vớimọi môđun con khác không N của M, tồn tại một đồng cấu khác không từ M vào

N Ghorbani và Vedadi đã định nghĩa khái niệm môđun epi-co rút được R-môđun

M được gọi là epi-co rút được nếu mọi môđun con của M là một ảnh đồng cấucủa M Ta xét các môđun có tính chất này trên dãy các môđun con Ta nói rằngmộtR-môđunM thỏa epi-co rút được trên dãy tăng các môđun con (epi-ACC trêncác môđun con) nếu trong mọi dãy tăng các môđun con của M, trừ một số hữuhạn, mỗi môđun trong dãy là một ảnh đồng cấu của môđun kế tiếp Liệu các tínhchất của môđun Noether có đúng với môđun với epi-ACC hay không? Dựa vàohai bài báo chính: A Ghorbani and M R Vedadi (2009), Epi-retractable modulesand some applications, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol 35 No 1,

pp 155-166 và R Dastanpour and A Ghorbani (2017), Modules with epimorphism

on chains of submodules, Journal of Algebra and Its Application Vol 16, No 6,nhằm tìm hiểu về vấn đề này, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “VỀMÔĐUN VỚI EPI-ACC (On modules with epi-acc)”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu về môđun với epi-ACC và các môđun liên quan

- Trước tiên là tổng quan các kết quả từ các bài báo, sách và sau đó làm tườngminh các chứng minh, trình bày lại một cách có hệ thống.

- Mở rộng một số kết quả đã có của môđun Noether sang môđun với epi-ACC

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất của môđun với epi-ACC, một số môđunvới epi-ACC đặc biệt

- Nghiên cứu điều kiện epi-co rút được với môđun xạ ảnh, môđun nội xạ

4 Phương pháp nghiên cứu

- Dựa trên cơ sở đã biết về môđun, môđun Noether, môđun Artin cùng vớinghiên cứu các tài liệu đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến môđunvới epi-ACC

- Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Trao đổi thông qua xêmina củanhóm

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 2 chương

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm vàkết quả liên quan đến môđun để làm cơ sở cho chương sau

- Chương 2: Môđun và vành với epi-ACC Chương này trình bày nội dung chínhcủa luận văn, trình bày epi-co rút được, môđun với epi-ACC

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi sẽ tổng quan các kiến thức được dùng cho chương

2 Các khái niệm và kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu [2], [3], [7], [10]

được gọi là phép nhân môđun thoả mãn các điều kiện sau: ∀m1, m2 ∈ M, r1, r2∈ R

(i) có tính chất kết hợp: (mr1)r2 = m(r1r2)

(ii) có tính chất phân phối: (m 1 + m 2 )r = m 1 r + m 2 r

m(r1+ r2) = mr1+ mr2

(iii) thoả quy tắc unita m1 = 1m = m

trong đó m, m 1 , m 2 là các phần tử tùy ý của M, r 1 , r 2 ∈ R

Lúc đó R được gọi là vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải ta thường kíhiệu M = MR Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái

Từ định nghĩa ta suy ra ngay các kết quả sau:

Mệnh đề 1.1.2 Cho MR Lúc đó ta có:

0Mr = 0M, m0R = 0M, − (mr) = (−m) r = m (−r) , ∀m ∈ M, ∀r ∈ R.

Ví dụ 1.1.3 (1) Mọi nhóm abel cộng là Z-môđun.

(2) Vành R là môđun phải (trái) trên chính nó

(3) R là vành giao hoán có đơn vị, R [x] vành đa thức với phép cộng thôngthường và phép nhân môđun xác định như sau:

r(a0+ a1x + + anxn) = ra0+ ra1x + + ranxn

với mọi r ∈ R, mọi a0, a1, , an ∈ R Lúc đó R[x] là một R-môđun

(4) Không gian vectơ là một môđun trên trường K

Định nghĩa 1.1.4 ChoM là R-môđun phải Tập con A củaM được gọi là môđuncon của M (kí hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR), nếu A là R-môđun phải với phép toáncộng và nhân môđun hạn chế được trên A

Sau đây là đặc trưng của môđun con

Định lý 1.1.5 Giả sử M một R-môđun phải Nếu A là tập con khác ∅ của M, thìcác điều kiện sau là tương đương:

Ví dụ 1.1.7 (1) Mỗi môđun M đều có hai môđun con tầm thường là {0} (kí hiệu

0) vàM, trong đó 0 là môđun chỉ có một phần tử là phần tử không của môđun M.(2) Cho MR và m 0 ∈ M Lúc đó sử dụng định lý 1.1.5 ta có thể thấy

m0R := {m0r |r ∈ R}

là môđun con của M

(3) Cho M là một không gian vectơ trên trường K Lúc đó các môđun con chính

là các không gian vectơ con.

Bổ đề 1.1.8 Cho Γ là một tập nào đó các môđun con của M Khi đó

A là môđun con lớn nhất trong M chứa trong tất cả A ∈ Γ

Bổ đề 1.1.10 Cho X là tập con của MR Khi đó

là môđun con của M

Định nghĩa 1.1.11 Môđun A xác định nhờ Bổ đề 1.1.10 được gọi là môđun concủa M sinh ra bởi tập X và kí hiệu là |X)

(1) Tập con X của M được gọi là hệ sinh đối với M nếu |X) = M

(2) Môđun M (hay iđêan phải, trái) được gọi là hữu hạn sinh nếu đối với M

tồn tại hệ sinh gồm hữu hạn phần tử

(3) Môđun M (hay iđêan phải, trái) được gọi là cyclic (iđêan phải chính, iđêantrái chính) nếu nó được sinh bởi một phần tử

(4) Tập con X của môđun M được gọi là độc lập nếu đối với mỗi tập con hữuhạn {x1, , xm} ⊂ X mà xi 6= xj với i 6= j (i, j = 1, , m) thì Pm

i=1 xiri = 0, ri ∈ R

kéo theo ri= 0 (i = 1, , m).

(5) Tập con X của môđun M được gọi là cơ sở đối với M nếu nó là hệ sinh đốivới M và độc lập

Ví dụ 1.1.14 (1) Mỗi môđun M có một hệ sinh tầm thường chính là M

(2) Cho R là vành Khi đó {1} là cơ sở của RR (hay RR)

(3) Mỗi cơ sở của một không gian vectơ V trên trường F là một ví dụ về cơ sởcủa một R-môđun V

(4) Tập con S = {xn|n ∈N} là một cơ sở của R-môđun phải R[x]

(5) QZ không có hệ sinh hữu hạn

Bổ đề 1.1.15 Giả sử Λ = {A i |i ∈ I} là tập nào đó các môđun con A i ≤ MR.Khi đó:

(2) Tương tự, môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của môđun M

nếu như A 6= M và ∀B ≤ M [A < B ⇒ B = M ]

Định lý 1.1.18 Cho MR là R-môđun phải hữu hạn sinh khác không Lúc đó mọimôđun con thực sự của M đều chứa trong một môđun con cực đại Đặc biệt, M cómột môđun con cực đại

Cho MR và N ≤ MR. Vì N là nhóm con của nhóm cộng aben M nên nhómthương của nóM/N là một nhóm aben hoàn toàn xác định Các phần tử của nó là

các lớp ghép x + N củaN trong M và phép cộng trong M/N là

Chú ý 1.1.21 Khi cho I là iđêan phải của R thì lúc đó R/I chỉ trở thành một

R-môđun phải Nhưng khi cho I là iđêan hai phía thì R/I vừa là R-môđun phải vàtrái, vừa là R/I-môđun phải và trái

Ví dụ 1.1.22 (1) Các không gian thương của các không gian vectơ là các ví dụ

về môđun thương

(2) Mỗi nhóm thương của một nhóm aben A theo một nhóm con H tùy ý của

nó là môđun thương của Z-môđun A theo môđun con H

ta lấy S = ∅ Do vậy ta giả sử F 6= ∅.

(1) ⇒(2) Cho S là cơ sở của F và a ∈ S

Lập ánh xạ

ϕa : RR → aR

r 7→ ar.

Lúc đó ϕ a là toàn cấu R-môđun phải Ngoài ra, do với mọi r ∈ R, ar = 0 thì

ar = 0 = a0 Vì S là cơ sở nên r = 0 Vậy ϕa là đơn cấu Từ đó ϕa là đẳng cấu

Điều này chứng tỏ {ϕs(1)} là hệ sinh của F

{ϕs(1)} độc lập: Điều này suy ra ngay từ tính chất của tổng trực tiếp trong Định nghĩa 1.2.2 R-môđun phải F thỏa một trong các điều kiện trên được gọi

là tự do

Ví dụ 1.2.3 Vành R là R-môđun phải (trái) tự do với cơ sở là {1}

Có thể biết được hết các R-môđun tự do thông qua kết quả sau:

Mệnh đề 1.2.4 Với tập chỉ số I tùy ý, môđun ⊕

i∈I

R; được thành lập bằng cách

tổng trực tiếp của |I| lần R; là R-môđun phải (trái) tự do với cơ sở có lực lượngbằng lực lượng của I.

Định lý 1.2.5 Mỗi R-môđun phải M là ảnh toàn cấu của một môđun phải tự donào đó

Ta có đặc trưng sau của môđun xạ ảnh:

Mệnh đề 1.3.2 Cho P là R-môđun phải Lúc đó các điều kiện sau là tương đương.(1) P là xạ ảnh

(2) Mỗi toàn cấu ϕ : B → P đều chẻ ra, nghĩa là Ker(ϕ) là hạng tử trực tiếpcủa môđun B

(3) Mọi toàn cấu β : B → C thì ánh xạ

HomR(1P, β) : HomR(P, B) → HomR(P, C)

là một toàn cấu

Định lý 1.3.3 Mỗi môđun tự do F đều là môđun xạ ảnh

Điều ngược lại không đúng

Ví dụ 1.3.4 Xét vành R =Z21 và các iđêan A, B của nó với:

A = {0, 7, 14},

B = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

Hiển nhiên A + B = Z21 và A ∩ B = 0, tức là Z21 = A ⊕ B Vì vậy A và B đều

là các hạng tử trực tiếp của Z21 Vì Z21 là một Z21-môđun tự do nên A, B là các

Z21-môđun xạ ảnh Tuy nhiên cả A và B đều không là Z21-môđun tự do, bởi chúngkhông thể là tổng trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử Z21

Định nghĩa 1.3.5 Cho QR là một môđun Lúc đó Q được gọi là nội xạ trongtrường hợp với mọi đơn cấu f : KR → MR, với mọi KR, MR và mỗi đồng cấu

υ : KR → QR tồn tại một R-đồng cấu υ : M → Q sao cho υ ◦ f = υ, nghĩa là, biểu

đồ sau giao hoán

Ta có đặc trưng sau của môđun nội xạ:

Mệnh đề 1.3.6 Cho Q là R-môđun phải Lúc đó các điều kiện sau là tương đương.(1) Q là nội xạ

(2) Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B đều chẻ ra, nghĩa là Im(ϕ) là hạng tử trực tiếp củamôđun B

(3) Mọi đơn cấu α : A → B thì ánh xạ

HomR(α, 1Q) : HomR(B, Q) → HomR(A, Q)

(2) Zp không là Z-nội xạ vì không chia được Bao nội xạ của Zp là Zp ∞.

Hệ quả 1.3.10 Z/nZ (n > 0) là một vành tự nội xạ

Định nghĩa 1.3.11 Cho môđun M, ta xét các điều kiện sau:

(C1) Với mọi môđun con A củaM, tồn tại một hạng tử trực tiếp B củaM thỏamãn A ≤e B

(C2) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M, thì

1.4 Môđun Noether, Artin Môđun đơn Môđun nửa đơn

Định nghĩa 1.4.1 (1) R-môđun phải M được gọi là Noether nếu mọi tập khácrỗng các môđun con của nó đều có phần tử cực đại

(2) R-môđun phải M được gọi là Artin nếu mọi tập khác rỗng các môđun concủa nó đều có phần tử cực tiểu

(3) Vành R được gọi là Noether phải (Artin phải) nếu môđun RR là Noether(Artin)

(4) Ta nói dây chuyền (hay dãy) các môđun con của môđun MR

A n−1 ≤ A n ≤ A n+1 ≤

là ổn định (hay dừng) nếu nó chỉ chứa một số hữu hạn các An khác nhau, tức là

tồn tại n ∈ N để cho An+i= An (i = 1, 2, ).

Định nghĩa 1.4.2 Môđun MR được gọi là môđun đơn nếu M 6= 0 là chỉ có đúnghai môđun con (là 0 và M)

Bổ đề 1.4.3 (Schur) Một đồng cấu khác không bất kì giữa hai môđun đơn đều làđẳng cấu Đặc biệt, vành các tự đồng cấu của một môđun đơn là một thể

Mệnh đề 1.4.4 Một R-môđun phải M là đơn nếu và chỉ nếu M ∼ = R/T với iđêanphải cực đại T nào đó của R

Định nghĩa 1.4.5 (1) Cho (Tα)α∈A là một tập các môđun con đơn của M Nếu

M là tổng trực tiếp các môđun con đơn này, nghĩa là

M = ⊕

A

thì (*) được gọi là một phân tích nửa đơn của M

(2) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích nửa đơn.(3) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR) nửa đơn

Ví dụ 1.4.6 (1) Mỗi không gian vectơ V = VK trên thể K là nửa đơn

(2) Nhóm thương Z/nZ (n 6= 0) nửa đơn như là Z-môđun ⇔ n là tích của các

số nguyên tố khác nhau từng đôi hay n = ±1

Chẳng hạn, Z10 là Z-môđun nửa đơn vì 10 = 2 × 5

Z4 là Z-môđun không nửa đơn vì 4 = 22

(3) ZZ không nửa đơn Ngoài ra QZ không nửa đơn, vì trong chúng không cómôđun con đơn nào

Sau đây là định lý đặc trưng cho môđun nửa đơn:

Định lý 1.4.7 Đối với một R-môđun phải M, các điều kiện sau là tương đương:(1) M là nửa đơn;

(2) M là tổng của tập nào đó các môđun con đơn;

(3) M là tổng của tất cả các môđun con đơn của nó;

(4) Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M;

(5) Mọi dãy khớp ngắn các R-môđun phải

0 → K → M → N → 0

chẻ ra

Hệ quả 1.4.8 (1) Mỗi môđun con của môđun nửa đơn là nửa đơn

(2) Ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là nửa đơn

Ta có các đặc trưng sau đây của vành nửa đơn:

Định lý 1.4.9 Với một vành R các tính chất sau đây là tương đương:

(1) R là nửa đơn trái (tức là RR là nửa đơn);

(2) R đẳng cấu với tích hữu hạn của các vành ma trận hữu hạn trên vành chia;(3) RR là Artin và căn nil N(R) bằng không;

(4) Mọi iđêan trái là hạng tử trực tiếp trong R;

(5) Mọi R-môđun (hữu hạn sinh) là xạ ảnh;

(6) Mọi R-môđun là nội xạ;

(7) Mọi dãy khớp ngắn trong R-Mod chẻ ra;

(8) Mọi R-môđun đơn là xạ ảnh;

(9) R là nửa đơn phải (tức là RR là nửa đơn)

Định nghĩa 1.4.10 Vành được mô tả trong định lý 1.4.9 được gọi là nửa đơnArtin

Định lý 1.4.11 (B.Osofsky) Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mỗi R-môđunphải (trái) cyclic là nội xạ

1.5 Căn và đế

Mệnh đề 1.5.1 Cho M = MR Khi đó:

Định nghĩa 1.5.2 (1) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.5.1 (1) được gọi

là căn của M, kí hiệu rad(M)

(2) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.5.1 (2) được gọi là đế của M, kíhiệu soc(M)

Hệ quả 1.5.3 Cho M và N là các R-môđun phải Khi đó:

(1) Nếu ϕ : M → N là toàn cấu đối cốt yếu (nghĩa là toàn cấu và Kerϕ  M),thì

ϕ(rad(M )) = rad(N )và rad(M ) = ϕ−1(rad(N )).

Nếu ϕ : M → N là đơn cấu cốt yếu (nghĩa là đơn cấu và Imϕ ≤e M), thì

ϕ(soc(M )) = soc(N )và soc(M ) = ϕ−1(soc(N )).

(2) Nếu C ≤ M thì rad(C) ≤ rad(M ) và soc(C) ≤ soc(M )

2Z/2Z=Z2.

(2) Với Z-môđun Zp ∞, ta có các Z-môđun con là

Sau đây là các đặc trưng cơ bản của vành chính quy:

Định lý 1.6.3 Các điều kiện sau là tương đương đối với vành R:

(1) R là vành chính quy

(2) Mỗi iđêan trái cyclic là hạng tử trực tiếp của RR

(3) Mỗi iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR

(4) Mỗi môđun MR là phẳng

(5) Mỗi môđun RM là phẳng

(6) Mỗi iđêan phải cyclic là hạng tử trực tiếp của RR

(7) Mỗi iđêan phải hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR.

1.7 Vành tựa-Frobenius

Một trong những lớp vành quan trọng tạo nên sự chú ý của các nhà toán học,

đó là vành tựa-Frobenius Nó thực sự là một mở rộng của vành nửa đơn

Định lý 1.7.1 Với vành R bất kì, các điều kiện sau là tương đương:

(1) R là Noether phải và tự nội xạ phải

(2) R là Noether trái và tự nội xạ phải

(3) R là Noether phải và thỏa mãn điều kiện:

(3a) annr(annlA) = A với bất kì iđêan phải A ⊆ R

(3b) annl(annrA) =A với bất kì iđêan trái A⊆ R

(4) R là Artin (2 phía) và thỏa (3a) và (3b)

Nếu R thỏa một trong 4 điều kiện trên, ta nói R là một vành tựa-Frobenius.Định lý 1.7.2 (Faith-Walker) Các điều kiện sau là tương đương đối với vành

R đã cho:

(1) R là vành tựa-Frobenius

(2) Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ

(3) Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh

(4) Mọi R-môđun phải (trái) có thể nhúng vào một môđun tự do

1.8 Vành iđêan chính Artin

Định lý 1.8.1 Với một vành R, các điều kiện sau là tương đương:

(1) Mọi N ∈ R − M od là FP-nội xạ trên End(N);

(2) Mọi N ∈ R − M od là vật sinh trong R/AnR(N ) − M od;

(3) Mọi N ∈ R − M od là hữu hạn sinh là phẳng (xạ ảnh) trên End(N);

(4) R là vành Noether trái, và mọi (tự nội xạ) N ∈ R − M od là phẳng trênEnd(N);

(5) R là vành Noether trái, và mọi môđun tự xạ ảnh là tự nội xạ;

(6) R là vành Artin trái, và mọi tự nội xạ N ∈ R − M od là xạ ảnh trong σ[N ];(7) Rlà vành Artin trái, và mọi hữu hạn sinh, không phân tích đượcN ∈ R−M od

là một vật sinh và vật đối sinh trong σ[N ];

(8) Mọi vành thương R của R là đối sinh trong R − M od;

(9) Mọi vành thương R của R là vành QF;

(10) R là một vành QF và mọi iđêan hai phía I ⊂ R, RI là tự xạ ảnh (hay mộtvật sinh trong σ[RI]);

(11) R là vành Artin phải (và trái), và mọi iđêan trái và phải trong R là cyclic.Định lý 1.8.2 [6] Trên một vành iđêan chính Artin, mỗi môđun là một tổng trựctiếp các môđun cyclic Hơn nữa, nếu một vành Artin giao hoán có tính chất tất cảcác môđun của nó là tổng trực tiếp các môđun cyclic, khi đó nó là một vành iđêanchính

1.9 Duo môđun

Định nghĩa 1.9.1 Cho M là một R-môđun Một môđun con N của M được gọi

là bất biến hoàn toàn (fully invariant submodule) trongM nếu với mọi tự đồng cấu

ϕ của M, ϕ(N ) ⊆ N

Bổ đề 1.9.2 Cho M = ⊕i∈IMi là một tổng trực tiếp các môđun con Mi (i ∈ I) và

N là một môđun con bất biến hoàn toàn của M Khi đó N = ⊕i∈I(N ∩ Mi)

Định nghĩa 1.9.3 Môđun M được gọi là một duo môđun nếu tất cả các môđuncon của nó bất biến hoàn toàn

Định nghĩa 1.9.4 Môđun M được gọi là một môđun chuỗi (uniserial module)

nếu với mọi môđun con L và N củaM, L ⊆ N hoặc N ⊆ L.

Định lý 1.9.5 Cho M là một môđun chuỗi thỏa mãn điều kiện dãy tăng trên cácmôđun cyclic hoặc Artin, khi đó M là một duo môđun

Ví dụ 1.9.6 Với bất kì số nguyên tốp, p-nhóm Pr¨ufer Zp ∞ là một R-môđun chuỗiArtin và do đó là một duo môđun (theo định lý 1.9.5)

1.10 Môđun con suy biến

Định nghĩa 1.10.1 Cho M là một R-môđun Tập con

Z(M ) := {m ∈ M | annR(m) ≤e RR}

của M là một môđun con của M được gọi là môđun con suy biến của M

Môđun M được gọi là không suy biến nếu Z(M ) = 0

Vành R được gọi là không suy biến phải nếu RR không suy biến

Ví dụ 1.10.3 (1) Mọi vành đơn là không suy biến

(2) Cho M ≤ N là R-môđun Nếu N không suy biến thì M cũng vậy, chiềungược lại đúng nếu M ≤e N

(3) Một R-môđun MR suy biến nếu và chỉ nếu tồn tạiR-môđunA ≤e B sao cho

M ∼ = B/A

(4) Bất kì vành nửa đơn là không suy biến Chính xác hơn, một vành R là nửađơn nếu và chỉ nếu R-môđun phải MR là không suy biến.

(5) Nếu R là vành mà các iđêan phải chính của nó đều xạ ảnh, thì R là khôngsuy biến phải

Định lý 1.10.4 Cho R là vành tự nội xạ phải bất kì Khi đó:

(1) Năm điều kiện sau là tương đương

(i) Baer;

(ii) Chính quy von Neumann;

(iii) Nửa di truyền phải;

(iv) Rickart phải;

(v) Không suy biến phải

(2) Nếu R là di truyền phải thì nửa đơn

1.11 Môđun di truyền

Định nghĩa 1.11.1 ChoM là mộtR-môđun.M được gọi là di truyền (hereditary)nếu mọi môđun con của M là xạ ảnh

Một vành R được gọi là di truyền phải nếu RR là một môđun di truyền

Ví dụ 1.11.2 (1) Mọi vành R nửa đơn là di truyền Vì trên R, tất cả các môđuntrái hay phải là xạ ảnh

(2) Bất kì miền iđêan chính là di truyền phải

Định lý 1.11.3 Một vành R là di truyền phải nếu và chỉ nếu thương của cácR-môđun nội xạ phải là nội xạ

Chương 2 MÔĐUN VÀ VÀNH VỚI EPI-ACC

Các kết quả trong chương này chủ yếu được trích từ các bài báo [4], [5], [8].Các kết quả này đã được trình bày lại một cách tường minh, kèm theo đó là nhữngnhận xét của tác giả

2.1 Tính chất của môđun và vành Noether, Artin

Định lý 2.1.1 Cho M = MR và A ≤ M

(I) Các điều kiện sau là tương đương

1 M là Noether

2 A và M/A là Noether

3 Mọi dãy tăng A1≤ A2 ≤ A3 ≤ những môđun con của M đều dừng

4 Mỗi môđun con của môđun M hữu hạn sinh

5 Trong tập {Ai, i ∈ I} 6= ∅ các môđun con của môđun M tồn tại tập conhữu hạn {Ai, i ∈ I0} (nghĩa là I0⊆ I hữu hạn) sao cho

3 Mọi dãy giảm A1 ≥ A2≥ A3≥ những môđun con của M đều dừng

4 Mỗi môđun thương của môđun M hữu hạn đối sinh

5 Trong tập {Ai, i ∈ I} 6= ∅ các môđun con của môđun M tồn tại tập con

3 Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu định nghĩa, tính chất mơđun với epi- ACC, số môđunvới epi- ACC đặc biệt

-... này, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “VỀMƠĐUN VỚI EPI- ACC (On modules with epi- acc) ”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu môđun với epi- ACC môđun liên quan