Về môđun và vành s nội xạ

Theo đó, một môđun M được gọi làN-nội xạ nếu với mỗi môđun con Acủa N thì mọi đồng cấuf : A → M môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khinào thì một R-môđun

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TS LÊ VĂN THUYẾT

Đà Nẵng - Năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Diễm Chi

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáohướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốtquá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy côgiáo đã tận tình dạy bảo tôi trong suốt thời gian học tập của khóa học.Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp cao học khóa 31

đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp

Nguyễn Thị Diễm Chi

N Tập hợp các số tự nhiên

Im(f), Ker(f) Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng)

J, J (R) Căn của vành R

Sr, Sl soc(RR), soc(RR)

Z(M ) Môđun con suy biến của M

rR(X) , lR(X) Linh hóa tử phải, linh hóa tử trái của X trong R

K ≤ M K là môđun con của môđun M

E(M ) Bao nội xạ của môđun M

N ' M N đẳng cấu với môđun M

N ⊕ M Tổng trực tiếp của môđun N và môđun M

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Các kiến thức cơ bản về vành và môđun 4

1.2 Môđun xạ ảnh và nội xạ 8

1.3 Môđun và vành Nơte 9

1.4 Môđun suy biến và vành suy biến 13

1.5 Vành nửa hoàn chỉnh 14

1.6 Bất biến Morita 14

1.7 Các lớp môđun, vành khác 16

CHƯƠNG 2 MÔĐUN VÀ VÀNH S-NỘI XẠ 19

2.1 Định nghĩa và các ví dụ 19

2.2 Tính chất 22

2.3 Tính chất s-nội xạ của môđun trên một số vành 35

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55

MỞ ĐẦU

1.Tính cấp thiết của đề tài

Lý thuyết vành và môđun là một trong những lý thuyết toán học đã vàđang được phát triển mạnh mẽ, với sự quan tâm của nhiều nhà toán học.Vào những năm 1960, 1970 của thế kỷ trước, tầm quan trọng của môđunnội xạ trong lý thuyết môđun nói riêng và trong đại số nói chung đượcnhiều nhà toán học nghiên cứu và phát triển Một trong những nghiên cứucủa lý thuyết này là việc nghiên cứu “môđun s-nội xạ” Lý thuyết môđuns-nội xạ ra đời và có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu lý thuyết vànhs-nội xạ

Trước tiên, chúng tôi xin đề cập đến môđun nội xạ Khái niệm môđunnội xạ được Baer đề xuất vào năm 1940 Theo đó, một môđun M được gọi

làN-nội xạ nếu với mỗi môđun con Acủa N thì mọi đồng cấuf : A → M

môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra khinào thì một R-môđun M là nội xạ Tiêu chuẩn đó mang tên "Tiêu chuẩnBaer" và được phát biểu như sau: Môđun MR là nội xạ nếu với mỗi iđêanphải I củaR, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu

g : RR → MR

Từ khi tiêu chuẩn Baer ra đời, môđun nội xạ được mở rộng theo haihướng Một là mở rộng môđun nội xạ từ định nghĩa gốc Hai là mở rộngtheo tiêu chuẩn Baer

Trong mở rộng thứ nhất đó, nhiều người đã nghĩ đến việc mở rộng

con suy biến Z(N ) của NR vào MR thành đồng cấu R-môđun từ NR vào

MR

Vấn đề này được nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu và tìm hiểu.Vào năm 2013, Nasr A.Zeyada đã đưa ra khái niệm về môđun s-N-nội xạ

Trong đó khái niệm s-N-nội xạ được định nghĩa: "Một R-môđun phải M

được gọi là s-N-nội xạ nếu mỗi đồng cấu R-môđun f : K → M, với mỗiđơn cấu ι : K → N tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho f = hι, trong

đó K là môđun con của môđun con suy biến của R-môđun N Song songvới đó ông cũng đã đưa ra các khái niệm về s-nội xạ và s-nội xạ mạnh.Đặc biệt hơn là ông đã đưa ra một số tính chất về s-nội xạ của các môđuntrên vành SI, vành GV, vành PF,

Với mong muốn tìm hiểu về những kết quả của môđun s-nội xạ, vànhs-nội xạ và được sự định hướng của thầy giáo hướng dẫn GS TS Lê VănThuyết, tôi mạnh dạn chọn đề tài "Về môđun và vành S- nội xạ" đểnghiên cứu với hi vọng có thể tìm hiểu sâu hơn về các tính chất của chúng

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và nghiên cứu kỹ các tài liệu có nguồn gốc khác nhau đểlĩnh hội các kiến thức liên quan về môđun và vành s-nội xạ, chứng minh

cụ thể các tính chất của môđun s-nội xạ, làm rõ thông qua một số ví dụ

Hi vọng luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho một số họcviên cao học, cho các sinh viên toán các năm cuối

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là môđun và vành s-nội xạ

Luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, các tính chất quan trọngcủa môđun và vành s-nội xạ và đưa ra các ví dụ minh họa

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là thu thập các bài báo khoa học,các sách của những tác giả có liên quan đến môđun và vành s-nội xạ, đồngthời tham gia trao đổi các kết quả đang nghiên cứu với các bạn học viêncùng nhóm, với thầy hướng dẫn và với các bạn khác

5 Bố cục đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chiathành hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun concốt yếu, môđun nội xạ, và một số vành liên quan: vành Nơte, vành nửahoàn chỉnh, bất biến Morita, vành giả Frobenius,

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Chương này được chialàm ba phần Phần thứ nhất trình bày định nghĩa, các ví dụ về môđuns-nội xạ Phần thứ hai trình bày các tính chất của môđun s-nội xạ Phầnthứ ba trình bày về tính chất s-nội xạ của môđun trên các vành đặc biệt

CHƯƠNG1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này sẽ nhắc lại những kiến thức cơ bản về vành và môđun,môđun nội xạ, môđun và vành Nơte, môđun con suy biến và không suybiến và một số vành liên quan Các chi tiết liên quan có thể xem trong cáctài liệu [1], [2], [5], [7], [8], [9]

Trong luận văn này, ta quy ước vành được cho là kết hợp có đơn vị,khác 0 và mọi R-môđun phải hay trái đều là unita Ta cũng quy ước làcác R-môđun viết trong luận văn này là R-môđun phải Khi nào M là

R-môđun trái thì sẽ đề cập thêm

1.1 Các kiến thức cơ bản về vành và môđun

Sau đây là một số định quan trọng của đồng cấu môđun

Định lý 1.1.1 ([1, Định lý 3.2.1]) Mỗi đồng cấu của các môđunphải α : AR → BR đều có thể phân tích được α = α0ν trong đó đồng cấu

ν : A → A/Ker(α) là toàn cấu chính tắc, còn α0 là đơn cấu xác định bởi:

α0 : A/Ker(α) 3 a + Ker(α) 7→ α (a) ∈ B

Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α toàn cấu

Hệ quả 1.1.2 ([1, Hệ quả 3.2.1]) Cho α : AR → BR là đồng cấu

Cho MR và N ≤ M N được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn

môđun con phụ của N trong M Từ định nghĩa ta suy ra:

N là hạng tử trực tiếp củaM ⇔ ∃P ≤ M M = N + P và N ∩ P = 0

Phần tử e của vành R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e2 = e Haiphần tử lũy đẳng evàf của vànhR được gọi là trực giao nếuef = f e = 0.Tập {e1, e2, en} ⊂ R gọi là tập đầy đủ các lũy đẳng trực giao từng đôimột nếu

Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy, và (1 − e)R

Tiếp theo là một vài tính chất của môđun cốt yếu

H ≤ M Lúc đó

(1) K≤eM ⇔ K≤eN và N ≤eM

(2) H ∩ K≤eM ⇔ H≤eM và K≤eM

Bổ đề 1.1.7 ([1, Bổ đề 2.1.12]) Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong

M nếu và chỉ nếu với mỗi 0 6= x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 6= xr ∈ K

Cho N là một môđun con của M Nếu N0 ≤ M là cực đại với tínhchất N0∩ N = 0 thì ta nóiN0 là một M-phần bù của N Theo bổ đề Zorn

ta có thể thấy nếu N ≤ M, thì tập

{K ≤ M | K ∩ N = 0}

chứa một phần tử cực đại N0 Phần tử này có tính chất:

một M-phần bù Hơn nữa, nếu N0 là một M-phần bù của N, thì

(1) N ⊕ N0≤eM

(2) (N ⊕ N0) /N0≤eM/N0

Một môđun con K được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con

H của M sao cho K≤eH thì suy ra H = K

Cho A và A0 là các môđun con của MR Khi đó A0 gọi là M-phần bùcộng tính (hay còn gọi tắt là M-phần phụ) của A, nếu

(*) A + A0 = M

(*) A0 là môđun con cực tiểu thỏa mãn A + A0 = M, nghĩa là, vớimọi B ≤ M [A + B = M và B ≤ A0 ⇒ B = A0]

Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con

là 0 và M Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan là 0

với (Tα)α∈A là một tập các môđun con của M thì (*) được gọi là một phân

được gọi là vành nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR) nửa đơn.

Ta có tính chất nội xạ của môđun cyclic trên vành nửa đơn

Định lý 1.1.10 ([1, Định lý 2.3.8]) Vành R nửa đơn khi và chỉ khimỗi R-môđun phải (trái) cyclic là nội xạ

Cho MR và X ⊆ M Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu

rR(X) và được xác định như sau:

(1) lR(X) là iđêan trái của R

(2) rM (A) là một môđun con của MS

Hơn nữa, nếu X là một môđun con của RM, thì lR(X) là iđêan của

R, còn nếu A là một iđêan phải của R, thì rM (A) là một môđun con của

Đế phải của môđun MR được ký hiệu là soc (MR), nó là tổng cácmôđun con đơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của

được ký hiệu là rad (MR), nó là giao của tất cả các môđun con cực đạicủa MR, là tổng các môđun con đối cốt yếu của MR Nếu M là nửa đơnthì rad(M ) = 0 Đặc biệt, rad (RR) = rad (RR) = J (R) Khi đó

J (R) = {a ∈ R/1 −ar khả nghịch, ∀r ∈ R}

1.2 Môđun xạ ảnh và nội xạ

nội xạ theo N (hay M là N-nội xạ) trong trường hợp với mọi đơn cấu

f : KR → NR và mỗi đồng cấu g : KR → MR tồn tại R-đồng cấu

g : N → M sao cho gf = g, nghĩa biểu đồ sau giao hoán:

MR được gọi là nội xạ nếu nó là N-nội xạ với mọi R-môđun N

MR được gọi là tựa nội xạ nếu M là M-nội xạ

Để kiểm tra R-môđun M nội xạ hay không ta hay dùng tiêu chuẩnBaer

mỗi iđêan phải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng đượcđến đồng cấu f : RR → MR

Ta có kết quả của phần này là:

Định lý 1.2.1 ( Baer) ([5, Theorem 5.4]) Mỗi môđun là môđun concủa một môđun nội xạ nào đó

Hệ quả 1.2.2 ( Baer) ([5, Corolary 5.5]) Một môđun A là nội xạnếu và chỉ nếu A là hạng tử của mỗi môđun thực sự chứa nó

Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có môđun P được gọi là xạ ảnh theo

N (hay P là N-xạ ảnh) trong trường hợp với mọi toàn cấu g : N → M và

nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

P

h

~~ f

N g //M //0

P được gọi là xạ ảnh nếu P là N-xạ ảnh với mọi R-môđun N

Sau đây là mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun tự do

Định lý 1.2.3 ([1, Định lý 3.4.7]) Một môđun P là xạ ảnh nếu vàchỉ nếu P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun tự do nào đó

môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu

Toàn cấu ψ : P → M được gọi là phủ xạ ảnh (hoặc bao xạ ảnh) đốivới M nếu P là môđun xạ ảnh còn ψ là toàn cấu đối cốt yếu

Sự tồn tại của bao nội xạ

Mệnh đề 1.2.4 ([1, Mệnh đề 3.5.4]) Mọi môđun đều có một baonội xạ Nó duy nhất sai khác nhau một phép đẳng cấu

1.3 Môđun và vành Nơte

*) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiệndãy tăng (thường được viết tắt là ACC ) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ≤ Ln ≤

trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, )

*) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiệndãy giảm (thường được viết tắt là DCC ) trong trường hợp với mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥

trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, )

*) Môđun MR được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các môđuncon nào đó của M đều có phần tử cực đại.

*) Vành R được gọi là vành Nơte phải nếu môđun RR là Nơte

Sau đây là đặc trưng của môđun Nơte

Định lý 1.3.1 ([1, Định lý 1.1.3(II)]) Các điều kiện sau là tươngđương:

(1) M là Nơte,

(2) A và M/A là Nơte,

(3) M thỏa ACC đối với tập các môđun con,

(5) Trong tập {Ai, i ∈ I} 6= ∅ các môđun con của môđun M, tồn tạitập con hữu hạn {Ai, i ∈ I0} (nghĩa là I0 ⊆ I hữu hạn) sao cho

Định lý 1.3.2 (Định lý Matlis) Các điều kiện sau là tương đươngđối với vành R đã cho:

(1) R là vành Nơte phải

(2) Mọi tổng trực tiếp các R-môđun phải nội xạ là nội xạ

(3) Mọi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ các R-môđun phảiđơn là nội xạ

Chứng minh

(1) ⇒ (2) Cho Q = ⊕i∈IQi, với Qi nội xạ Ta chứng minh rằng Q

nội xạ, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

ρ0 là đồng cấu cảm sinh bằng cách hạn chế miền giá trị của ρ lên

⊕i∈I0Qi Khi đó ρ = ι0ρ0 Do I0 hữu hạn nên ⊕i∈I0Qi nội xạ và do đó tồntại τ0 sao cho biểu đồ sau giao hoán:

(2) ⇒ (3) là hiển nhiên vì (3) là trường hợp riêng của (2)

(3) ⇒ (1) Giả sử R không Nơte Khi đó có dãy:

A : A1 < A2 < A3 <

Tập

A = ∞∪

i=1Ai

là một iđêan phải của R, và với mỗi a ∈ A, ∃na ∈ N để cho a ∈ Ai,

∀i ≥ na Với mỗi i = 1, 2, 3, , chọn ci ∈ A, ci ∈ A/ i Lúc đó trong mỗimôđun cyclic (ciR + Ai) /Ai tồn tại môđun con cực đại Ni/Ai Rõ ràng

Ei := ((ciR + Ai) /Ai) / (Ni/Ai)

là R-môđun phải đơn Giả sử

νi : (ciR + Ai) /Ai → Ei

là toàn cấu tự nhiên và I(Ei) là bao nội xạ của Ei mà Ei ≤ I(Ei) và

ιi : Ei → I(Ei) là phép nhúng Lúc đó ta có biểu đồ sau giao hoán:

Theo giả thiết ⊕∞i=1I (Ei) nội xạ nên tồn tại β sao cho biểu đồ saugiao hoán:

ηi(a + Ai) = bia, suy ra ηi(a + Ai) = 0, ∀i ≥ n, ∀a ∈ A

Nhưng ηn(cn+ An) 6= 0 theo định nghĩa của ηi, điều này mâu thuẫn Vậy

RR Nơte

1.4 Môđun suy biến và vành suy biến

được gọi là phần tử suy biến phải của M nếu iđêan phải r (m) ≤eRR.Tập tất cả các phần tử suy biến phải của M được ký hiệu là Z(M )

được xác định như sau:

Z (M ) = {m ∈ M/r (m) ≤eR} ≤ M

Z(M ) là môđun con suy biến của M

Môđun M được gọi là suy biến (singular) nếu Z (M ) = M và đượcgọi là không suy biến (nonsingular) nếu Z (M ) = 0

Vành R được gọi là vành suy biến (không suy biến) phải nếu RR làmôđun suy biến (không suy biến)

Môđun con suy biến thứ hai của M là Z2(M ) được xác định bởi:

Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M ))

Z2(M ) là môđun con đóng của M và M/Z2(M ) là không suy biến Một

R-môđun G được gọi là xoắn Goldie nếu Z2(G) = G

Một số tính chất của môđun con suy biến

1.5 Vành nửa hoàn chỉnh

Cho vành R và I là một iđêan của nó Nếu với mỗi lũy đẳng f củavành thương R/I đều tồn tại lũy đẳng e của vành R sao cho e − f ∈ I thì

ta gọi các lũy đẳng nâng được modulo I

Một vành R được gọi là nửa địa phương nếu vành thương R/J (R) là(artin) nửa đơn

Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R là nửa địa phương vàcác lũy đẳng nâng được modulo J (R)

Một vành R được gọi là semipotent nếu mọi iđêan phải (trái) khôngchứa trong J (R) chứa một lũy đẳng khác không Cho I là iđêan phải của

R, R được gọi là I-nửa hoàn chỉnh nếu với mỗi iđêan phải K có thể phântích thành K = eR⊕ U sao cho e2 = e và U = K ∩ (1 − e)R ⊆ I

Đặc trưng của vành nửa hoàn chỉnh

(7) Mọi R-môđun phải (trái) cyclic đều có phủ xạ ảnh;

(8) Mọi R-môđun phải (trái) đơn đều có phủ xạ ảnh

1.6 Bất biến Morita

trường hợp có một hàm tử G : D → C và đẳng cấu tự nhiên GF ' 1C và

F G ' 1D Hàm tử G được gọi là tương đương khả nghịch của F Khi đó

C và D được gọi là hai phạm trù tương đương, ký hiệu C ≈ D

Hai vành R và S là bất biến Morita, viết tắt R ≈ S nếu có sự tươngđương cộng tính giữa các phạm trù môđun Nghĩa là: có một đẳng cấu tựnhiên η : GF → 1modR và ζ : F G → 1modS, hay với mỗi MR có một đẳngcấu ηM : GF (M ) → M trong modR sao cho với mỗi M, M0 trong modR

và mỗi f : M → M0 trong modR, biểu đồ sau giao hoán:

(1) U là M-xạ ảnh (M-nội xạ) nếu và chỉ nếu F (U ) là F (M )-xạ ảnh(F (M )-nội xạ);

(2) U là xạ ảnh (nội xạ) nếu và chỉ nếu F (U ) là xạ ảnh (nội xạ);(3) U sinh (đối sinh) ra M nếu và chỉ nếu F (U ) sinh (đối sinh) ra

chỉ nếu F (f ) : F (M ) → F (M0) là cốt yếu (đối cốt yếu);

(6) Đồng cấu f : M → M0 là bao nội xạ (phủ xạ ảnh) nếu và chỉ nếu

F (f ) : F (M ) → F (M0) là bao nội xạ (phủ xạ ảnh)

Mệnh đề 1.6.4 ([2, Proposition 21.8]) Cho R và S là các vànhtương đương qua tương đương F : modR → modS, và giả sử M và M0 làcác modR, khi đó:

(1) M là đơn (nửa đơn) nếu và chỉ nếu F (M ) là đơn (nửa đơn);(2) M là hữu hạn sinh (hữu hạn đối sinh) nếu và chỉ nếu F (M ) làhữu hạn sinh (hữu hạn đối sinh);

(3) M là Artin (Nơte) nếu và chỉ nếu F (M ) là Artin (Nơte);

(4) M và F (M ) có độ dài dãy hợp thành bằng nhau;

(5) M không phân tích được nếu và chỉ nếu F (M ) không phân tíchđược

(3) Một môđun M được gọi là thỏa điều kiện C3 nếu K và L là các

cũng là một hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 1.7.2

*) Vành R được gọi là vành nửa nguyên sơ nếu R/J (R) nửa đơn và

J (R) lũy linh

*) Vành R được gọi là địa phương nếu R có duy nhất một iđêan phải(hoặc trái) cực đại.

*) Vành R được gọi là Kasch phải nếu với mỗi R-môđun phải đơn S

đều tồn tại một đơn cấu ι : S ,→ RR

*) Vành R được gọi là vành chính quy (von Neumann) nếu cho mỗiphần tử r ∈ R, thì tồn tại r0 ∈ R sao cho r = rr0r

*) Vành R được gọi là vành giả Frobenius (pseudo-Frobenius) nếu vàchỉ nếu R là nửa hoàn chỉnh, tự nội xạ với đế phải cốt yếu, viết tắt là PF

*) Vành R được gọi là vành SI phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđunphải suy biến nội xạ

*) Vành R được gọi là vành CF (vành FGF) nếu mỗi R-môđun phảicyclic (hữu hạn sinh) nhúng vào một môđun tự do

*) Vành R được gọi là min-C2 (C2) nếu mỗi iđêan phải đơn (iđêanphải) đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của RR thì cũng là hạng tử trựctiếp của RR

*) Vành R được gọi là vành GV phải nếu và chỉ nếu mỗi R-môđunphải đơn suy biến nội xạ

Mệnh đề 1.7.3 ([1, Mệnh đề 2.1.2])

(a) Nếu RR là nội xạ, thì

(1) ∀A, B ≤ RR, l(A ∩ B) = l(A) + l(B)

(2) Với mọi iđêan trái hữu hạn sinh C ≤ RR, lr (C) = C

vào R (điều này cũng có nghĩa là đồng cấu này được viết qua phép nhântrái).

Mệnh đề 1.7.4 ([1, Mệnh đề 2.1.8]) Nếu R là vành nửa hoàn chỉnh

tự nội xạ phải với soc(RR)≤eRR thì R là vành Kasch phải và trái

Định lý 1.7.5 ([9, Theorem 5]) R là vành PF phải nếu và chỉ nếu

R là Kasch phải sao cho Z2(RR) nội xạ

Các điều kiện tương đương với vành PF liên quan đến vành nửa hoànchỉnh và tự nội xạ

Định lý 1.7.6 ([1, Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.3]) Các điều kiện sau

là tương đương đối với vành đã cho:

(1) R là vành PF phải

(2) R có đế phải cốt yếu và hữu hạn sinh, tự nội xạ phải

(3) R là nửa hoàn chỉnh có đế phải cốt yếu, tự nội xạ phải

(4) R là một tổng trực tiếp hữu hạn

R = ⊕ni=1eiR,

trong đó ei là lũy đẳng của R, ei, i = 1, , n, nội xạ, không phân tích đượcvới đế đơn

(5) Mọi R-môđun phải trung thành là vật sinh của phạm trù M odR

(6) R là vật đối sinh nội xạ trong phạm trù M odR

(7) R tự nội xạ phải và Kasch phải

CHƯƠNG2MÔĐUN VÀ VÀNH S-NỘI XẠ

Chương này là nội dung chính của luận văn, trình bày định nghĩa vàcác ví dụ về môđun và vành s-nội xạ, trình bày và chứng minh các tínhchất của môđun và vành s-nội xạ và tính chất s-nội nội xạ của môđun trênmột số vành Nội dung của chương này được tham khảo từ tài liệu [10]

2.1 Định nghĩa và các ví dụ

Một R-môđun M được gọi làN-nội xạ nếu với mọi đơn cấuR-môđun

ι : AR → NR và với mọi R-đồng cấu f : AR → MR tồn tại đồng cấu

h : NR → MR sao cho hι = f Bằng cách thay đổi môđun A bởi môđuncon của môđun con suy biến của N ta được khái niệm về môđun s-N-nộixạ

Định nghĩa 2.1.1 Một R-môđun phải M được gọi là s-N-nội xạnếu với mỗi đơn cấuι : K → N và với mọi đồng cấu R-môđunf : K → M

tồn tại đồng cấu h : N → M sao cho f = hι, trong đó K là môđun concủa môđun con suy biến Z(N ) của N, tức là biểu đồ sau giao hoán:

M được gọi là s-nội xạ nếu M là s-R-nội xạ

M được gọi là s-nội xạ mạnh nếu M là s-N-nội xạ với mọi R-môđunphải N

Nhận xét: R-môđun không suy biến là s-nội xạ mạnh

Chứng minh

Ví dụ 2.1.3 Cho Rlà Z-đại số sinh bởix, y với quan hệyx=y2 = 0,khi đó RR là s-nội xạ mạnh.

Thật vậy, ta có

R =Z[x] +Z[x] y

Giả sử β = p1(x) + p2(x)y ∈ Z(RR) Khi đó lR(β)≤eRR nên với

x ∈ R tồn tại h(x), k(x) ∈ Z[x] sao cho:

khi đó các iđêan cốt yếu của R có dạng:



nZ Z2

0 Z2

với 0 6= n ∈ Z.

có một số tính chất khác, mệnh đề sau sẽ thể hiện rõ điều này.

(2) Giả sử M, N và K là các R-môđun phải, K ≤ N Nếu M làs-N-nội xạ thì M là s-K-nội xạ.

(3) Giả sử M, N và K là các R-môđun phải với K ' N Nếu K là

xạ với mọi R-môđun phải P xạ ảnh

(6) Giả sử M, N và K là các R-môđun phải với N ≤⊕M Nếu M là

Mi là s-N-nội xạ, ta chứng minh Mi là s-N-nội xạ

Xét đồng cấu ϕ : K → Mi, với mọi i ∈ I, K ≤ Z (N ), ta có:

nên Mi là s-N-nội xạ Theo giản đồ sau:

Lại có, với mỗi ánh xạ gi : N → Mi, i ∈ I, luôn tồn tại ánh xạ

với ι1, ι2 là phép nhúng, L ≤ Z(K) Vì K ≤ N nên Z(K) ≤ Z(N ) hay

L ≤ Z(N ) Do M là s-N-nội xạ nên tồn tại ánh xạ f : N → M sao cho

f ι2ι1 = f Xét g = f |K, khi đó gι1 = f Vậy M là s-K-nội xạ

(3) M, N và K là các R-môđun phải với K ' N Nếu K là s-M-nội

Vậy, với mọi f : L → N, luôn tồn tại ánh xạ g := α−1h : M → N thỏa

f = gι nên N là s-M-nội xạ theo giản đồ sau:

sao cho hji = f Lấy g = hj thì gi = f Vậy N là s-Ai-nội xạ

+ Ngược lại, N là s-Ai-nội xạ nên đồng cấu với mọi f : L → N luôntồn tại đồng cấu g : Ai → N sao cho f = gi, với L ≤ Z(Ai), i ∈ I