Về môđun và vành s CS

Môđun M được gọi là CS nếu mọi môđun con của M cốt yếu trongmột hạng tử trực tiếp của M.. Trongđịnh nghĩa môđun CS, nếu ta chỉ lấy các môđun con suy biến của M thay vì mọi môđun con của

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TS LÊ VĂN THUYẾT

Đà Nẵng - Năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Lê Thị Hoàng Oanh

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS TS.

Lê Văn Thuyết đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện đểtác giả có thể hoàn thành được luận văn này

Chúng tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trongKhoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tận tâm truyền đạtkiến thức cho chúng tôi trong suốt quá trình học Cao học

Cuối cùng chúng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân,các anh chị, các bạn học viên cao học khóa K31 đã luôn quan tâm giúp

đỡ chúng tôi trong suốt thời gian học tập

Lê Thị Hoàng Oanh

KÝ HIỆU NGHĨA CỦA KÝ HIỆU

[1] Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"

soc(M ) Đế của M

rad(M ) Căn của M

E(M ) Bao nội xạ của M

Z(M ) Môđun con suy biến của M

Sr, Sl soc(RR), soc(RR)

Zr, Zl Z(RR), Z(RR)

(Z2r)R, (Z2l)R Z2(RR), Z2(RR)

J, J (R) Căn Jacobson của vành R

r(X), l(X) Linh hóa tử phải, trái của X

K ≤ M K là môđun con của M

K < M K là môđun con thực sự của M

K  M K là môđun con đối cốt yếu của M

K ≤⊕ M K là hạng tử trực tiếp của M

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản về môđun 3

1.2 Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu 5

1.3 Môđun con suy biến và môđun con không suy biến 6

1.4 Môđun con đóng và UC-môđun 9

1.5 Môđun nội xạ 11

1.6 Môđun CS 12

1.7 Một số vành liên quan 14

CHƯƠNG 2 MÔĐUN S-CS 18

2.1 Định nghĩa và ví dụ về môđun s-CS 18

2.2 Các tính chất của môđun s-CS 24

2.3 Các tính chất liên quan đến vành s-CS và các vành liên quan 37 KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Khái niệm môđun nội xạ được R Baer nghiên cứu đầu tiên vào năm

1940 Những năm sau đó, khái niệm này và các khái niệm mở rộng của nó

đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thếgiới

Theo đó, một R-môđun phải M được gọi là nội xạ nếu với mọi đơncấu f : PR → QR, với mọi PR, QR, mỗi đồng cấu γ : PR → MR tồn tại

R-đồng cấu γ : QR → MR sao cho γf = γ

Môđun M được gọi là CS nếu mọi môđun con của M cốt yếu trongmột hạng tử trực tiếp của M Rõ ràng, môđun nội xạ là CS Các kết quả

về môđun CS được nghiên cứu và viết đầy đủ trong quyển sách “Extendingmodules” (N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer) Trongđịnh nghĩa môđun CS, nếu ta chỉ lấy các môđun con suy biến của M thay

vì mọi môđun con của M thì môđun mới này được gọi là s-CS

Được sự gợi ý của thầy giáo, GS TS Lê Văn Thuyết, tôi chọn đề tài:

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH S-CS làm đề tài luận văn của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là tổng quan các kiến thức liên quan đến môđun

và vành s-CS Trong quá trình tổng quan, chúng tôi sẽ chứng minh cụ thể

các tính chất của lớp môđun và vành này, làm rõ thông qua một số ví dụ.

Là một tổng quan nên nó có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho một sốhọc viên cao học, cho các sinh viên toán

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là môđun và vành s-CS

Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm,

và các tính chất của lớp môđun và vành s-CS

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc hiểu các vấn đề liên quan đến môđun nội xạ, môđun CS

- Thu thập nghiên cứu các tài liệu, bài báo liên quan đến môđun vàvành s-CS

- Tổng hợp, phân tích, giải quyết các vấn đề nảy sinh

- Trao đổi, thuyết trình tại xêmina của nhóm

5 Bố cục đề tài

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun, môđun concốt yếu và đối cốt yếu, môđun con suy biến và không suy biến, môđun conđóng và UC-môđun, môđun nội xạ, môđun CS và một số vành liên quan.Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ, các tính chất của môđun vàvành s-CS

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi chủ yếu trình bày một số kiến thức cơbản về môđun, môđun con cốt yếu và đối cốt yếu, môđun con suy biến vàkhông suy biến, môđun con đóng và UC-môđun, môđun nội xạ, môđun

CS và một số vành liên quan

Hầu hết các kiến thức được trình bày trong chương này được tríchchủ yếu từ [1], [4], [10] theo cách nêu lên định nghĩa và sau đó tóm tắt lạinhững kết quả chính Do đó, một số chứng minh các bổ đề, mệnh đề, định

lý không trình bày lại Nếu các độc giả muốn tham khảo các chứng minh

có thể xem trong những tài liệu đã nêu ở trên

Trong suốt luận văn này, vành được nhắc đến luôn là vành kết hợp

có đơn vị 1 6= 0, các R-môđun đều unita và khi nói đến môđun ta hiểu làmôđun phải

1.1 Một số khái niệm cơ bản về môđun

Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con

là 0 và M Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan (haiphía) là 0 và R

MôđunM được gọi là nửa đơn nếuM là tổng trực tiếp của các môđuncon đơn Vành R được gọi là nửa đơn phải (t.ư., trái) nếu RR (t.ư., RR)nửa đơn

Môđun con A ≤ M được gọi là môđun con cực tiểu của môđun M

nếu A 6= 0 và với mọi môđun con B của M mà B < A thì B = 0 Môđuncon A ≤ M được gọi là môđun con cực đại của môđun M nếu A 6= M vàvới mọi môđun con B của M mà A < B thì B = M

Mệnh đề 1.1.1 ([1, Bổ đề 2.2.11]) Môđun MR đơn khi và chỉ khi

M 6= 0 và với mọi 0 6= m ∈ M, M = mR

Cho A và B là hai R-môđun phải Đồng cấu α từ A vào B là ánh xạ

Sau đây là định lý cơ bản về đồng cấu môđun

Định lý 1.1.3 ([1, Định lý 3.2.1]) Mỗi đồng cấu của các môđunphải α : A → B đều có thể phân tích được α = α0ν, trong đó đồng cấu

ν : A → A/Ker(α) là toàn cấu chính tắc, còn α0 : A/Ker(α) → B là đơncấu xác định bởi α0(a + Ker(α)) = α(a)

Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α toàn cấu

Ta thu được hệ quả sau từ định lý cơ bản về đồng cấu môđun

Hệ quả 1.1.4 ([1, Hệ quả 3.2.2]) Cho α : AR → BR là đồng cấu

R-môđun Lúc đó: A/Ker(α) ∼= Im(α)

Cho N là một môđun con của M Nếu N0 ≤ M là cực đại với tínhchất N ∩ N0 = 0, ta nói N0 là một M-phần bù của N.

Cho AvàA0 là các môđun con của MR Khi đóA0 được gọi là M-phầnphụ của A nếu A0 là môđun con cực tiểu với tính chất A + A0 = M

1.2 Môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu

Một môđun con K của M là cốt yếu hoặc lớn trong M nếu với mọimôđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 suy ra L = 0 Khi đó chúng ta cũng gọi M

là mở rộng cốt yếu của K và được ký hiệu là K ≤e M Một môđun con K

của M là đối cốt yếu hoặc bé trong M nếu với mọi môđun con L ≤ M,

K + L = M suy ra L = M và được ký hiệu là K  M

Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im(f ) ≤e M Toàn cấu

g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g)  M

Dưới đây là một vài tính chất đặc trưng của môđun con cốt yếu vàmôđun con đối cốt yếu

Đế phải của môđun MR được ký hiệu là soc (MR), nó là tổng của tất

cả các môđun con đơn của MR, là giao của tất cả các môđun con cốt yếucủa MR, đây là môđun con nửa đơn lớn nhất của MR Căn của môđun

MR được ký hiệu là rad (MR) nó là giao của tất cả các môđun con cực đạicủa MR, là tổng của tất cả các môđun con đối cốt yếu của MR Nếu M lànửa đơn thì rad(M ) = 0 Đặc biệt, rad (RR) = rad (RR) = J (R) và

1.3 Môđun con suy biến và môđun con không suy biến

Cho MR và X ⊆ M.Linh hóa tử phải của X trongR được định nghĩalà:

r(X) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X}

Cho A ⊆ R Linh hóa tử trái của A trong M là:

l(A) = {m ∈ M |ma = 0, a ∈ A}

Cho MR Phần tử m ∈ M được gọi là phần tử suy biến của M nếuiđêan phải r(m) cốt yếu trong RR Tập hợp tất cả các phần tử suy biếncủa M được ký hiệu là Z(M )

(3) Giả sử m ∈ Z(M ), tồn tại I ≤e RR sao cho mI = 0 Với mọi

m ∈ M, ta có r(m) ⊆ r(f (m)) Từ đó suy ra f (m)I = 0 hay

f (Z(M )) ≤ Z(N )

(4) Dễ dàng suy ra từ định nghĩa.

MôđunMR được gọi là suy biến (t.ư., không suy biến) nếuZ(M ) = M

(t.ư., Z(M ) = 0) Vành R được gọi là suy biến phải (t.ư., suy biến trái,suy biến) nếu Z(RR) = R (t.ư., Z(RR) = R, suy biến phải và suy biếntrái ) Định nghĩa tương tự đối với vành R không suy biến phải

Một môđun N được gọi là môđun con suy biến của M nếu N ≤ M

(2) Nếu A ≤ B và Z(B) = 0 thì Z(B/A) = B/A ⇔ A ≤e B

Môđun con suy biến thứ hai Z2(M ) củaM là môđun con củaM chứa

Z(M ) sao cho Z2(M )/Z(M ) = Z(M/Z(M ))

Mệnh đề 1.3.5 Cho R-môđun phải M, khi đó:

(1) Z(M ) ≤e Z2(M )

(2) Nếu U ≤ M và M/U là môđun không suy biến thì Z2(M ) ≤ U

Chứng minh (1) Giả sử N ≤ Z2(M ) và N ∩ Z(M ) = 0 Hiển nhiên N làmôđun không suy biến và ta có đơn cấu

N → Z2(M ) → Z2(M )/Z(M )

Vì Z2(M )/Z(M ) là môđun suy biến nên N cũng là môđun suy biến Suy

ra N = 0

(2) Giả sử U ≤ M và M/U là môđun không suy biến Nếu Z(M ) = 0

thì Z2(M ) = Z(M ) = 0 Nếu Z(M ) 6= 0 và Z2(M ) 6⊆ U Khi đó ta có

(Z2(M ) + U )/U ∼= Z2(M )/(U ∩ Z2(M ))

là một môđun con không suy biến khác không của M/U

Vì Z2(M )/(U ∩ Z2(M )) không suy biến nên U ∩ Z2(M ) không cốtyếu trong Z2(M ) Suy ra tồn tại 0 6= W ≤ Z2(M ) sao cho:

1.4 Môđun con đóng và UC-môđun

Môđun con C được gọi là đóng trong M nếu C không có mở rộng cốtyếu thực sự trong M và được ký hiệu là C ≤c M

Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong

M nếu K đóng trong M và N ≤e K

Định lý sau khẳng định sự tồn tại bao đóng của một môđun

Định lý 1.4.1 Bao đóng của một môđun luôn tồn tại

Chứng minh Gọi N là môđun con của M, ta chứng minh tồn tại bao đóngcủa N trong M Đặt:

Thật vậy, lấy 0 6= x ∈ A suy ra tồn tại số tự nhiên n để x ∈ Kn mà

N ≤e Kn nên suy ra tồn tại 0 6= r ∈ R sao cho:

0 6= xr ∈ N hay N ≤e A

Như vậy mỗi tập con sắp thứ tự tuyến tính của S đều có cận trên, theo

bổ đề Zorn suy ra S có phần tử tối đại K

Ta chứng minh K là bao đóng của N Do K ∈ S suy ra N ≤e K

Nếu tồn tại B ≤ M sao cho K ≤e B thì khi đó N ≤e B Do vậy B ∈ S,

điều này mâu thuẫn với tính tối đại của K, suy ra B = K

Vậy luôn tồn tại bao đóng của môđun

Dưới đây là một vài tính chất đặc trưng của môđun con đóng

(3) Không tồn tại R-môđun X với môđun con cốt yếu thực sự Y saocho (X/Y ) ⊕ X nhúng được trong M.

Mệnh đề 1.4.7 Z2(M ) là môđun con đóng trong M

Cho UR là một môđun Nếu MR là một môđun thì U được gọi là nội

xạ theo M (hay U là M-nội xạ) nếu với mọi đơn cấu f : KR → MR, mỗiđồng cấu ν : KR → UR tồn tại một R-đồng cấu ν : M → U sao cho biểu

đồ sau giao hoán

Cho QR là một môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu

f : KR → MR, với mọi KR, MR, mỗi đồng cấu ν : KR → QR tồn tại một

R-đồng cấu ν : M → Q sao cho biểu đồ sau giao hoán

Cho M là R-môđun phải Đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội

xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ và µ là đơn cấu cốt yếu

Ví dụ 1.5.1 Đơn cấu ι : ZZ →QZ là bao nội xạ của ZZ

Mệnh đề 1.5.2 ([1, Mệnh đề 3.5.4]) Mọi môđun đều có một bao nội

xạ Nó duy nhất sai khác một phép đẳng cấu

Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu nó là M-nội xạ, tức là mọi đồngcấu β : X → M với X ≤ M, mở rộng đến một tự đồng cấu β của M.

Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện C2 nếu môđun con A của

M đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trựctiếp của M

Môđun M được gọi là thỏa mãn điều kiện C3 nếu A và B là hai hạng

tử trực tiếp của M thỏa mãn A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là một hạng tửtrực tiếp của M

Môđun M được gọi là liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1 vàC2 Môđun M được gọi là tựa liên tục nếu M thỏa mãn các điều kiện C1

Mệnh đề 1.6.3 ([3, Lemma 7.1]) Mọi hạng tử trực tiếp của môđun

CS là CS

Tuy nhiên không phải lúc nào tổng trực tiếp của hai môđun CS cũng

là CS Với số nguyên tốp, Z-môđun Zp⊕Zp2 là môđun CS nhưng Z-môđun

Zp⊕Zp3 không phải là môđun CS, bởi vì môđun conK = Z(1+Zp, p+Zp3)

là môđun con đóng mà không phải hạng tử trực tiếp (theo [3])

Mệnh đề 1.6.4 ([3, Lemma 7.5]) Cho M1, M2 là các R-môđun phải

và M = M1⊕ M2 Khi đó, M1 là M2-nội xạ khi và chỉ khi với mọi môđuncon N của M mà N ∩ M1 = 0, tồn tại môđun con M0 của M sao cho

Họ các R-môđun {Mi|i ∈ I} được gọi là nội xạ tương hỗ nếu Mi là

Mj-nội xạ với mọi i, j ∈ I, i 6= j

Mệnh đề 1.6.6 ([3, Proposition 7.10]) Cho M = M1⊕ ⊕ Mn làtổng trực tiếp hữu hạn của các môđun nội xạ tương hỗ Mi Khi đó M làmôđun CS khi và chỉ khi Mi là CS với mọi i

Mệnh đề dưới đây cho thấy mối liên hệ giữa môđun CS và môđun consuy biến thứ hai của nó

Mệnh đề 1.6.7 ([3, 7.11]) Một R-môđun phải M là CS khi và chỉkhi M = Z2(M ) ⊕ M0, với M0 là môđun con nào đó của M sao cho M0

và Z2(M ) là các môđun CS và Z2(M ) là M0-nội xạ

Mệnh đề 1.6.8 ([3, 8.2]) Cho M là R-môđun CS và giả sử rằng:(1) R thỏa mãn điều kiện ACC trên các iđêan trái có dạng l(m),

m ∈ M, hoặc

(2) M có dãy ACC trên các môđun con linh hóa tử.

Khi đó M là tổng trực tiếp của các môđun con đều

Từ Mệnh đề 1.6.8 ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.6.9 ([3, Corollary 8.4]) Cho M là R-môđun không suybiến CS Khi đó M là tổng trực tiếp của các môđun con đều khi và chỉ khi

R thỏa mãn điều kiện ACC trên các iđêan trái có dạng l(m) với m ∈ M

Cho dãy hữu hạn các môđun con của môđun A Giả sử đó là:

0 = B0 ≤ B1 ≤ B2 ≤ ≤ Bk−1 ≤ Bk = A

Dãy này được gọi là dãy hợp thành đối với A nếu với mọi i = 1, 2, , k,

Bi−1 cực đại trong Bi và ta nói k là độ dài của dãy hợp thành đó Độ dàicủa môđun A được định nghĩa là độ dài của dãy hợp thành của A

Mệnh đề 1.6.10 ([3, Lemma 8.14]) Giả sử M = M1 ⊕ M2 với M1

là môđun nửa đơn và M2 là tổng trực tiếp của các môđun nội xạ tương hỗ

có độ dài 2 Khi đó M là môđun CS

1.7 Một số vành liên quan

Vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J là nửa đơn và các phần

tử lũy đẳng có thể nâng được modulo J

Mệnh đề 1.7.1 ([1, Định lý 1.2.9]) Cho vành R, các điều kiện sautương đương:

(1) R là vành nửa hoàn chỉnh

(2) Mọi R-môđun phải (trái) hữu hạn sinh đều có phủ xạ ảnh

(3) Mọi R-môđun phải (trái) cyclic đều có phủ xạ ảnh

(4) Mọi R-môđun phải (trái) đơn đều có phủ xạ ảnh

Môđun MR được gọi là Artin (t.ư., Nơte) nếu mỗi tập khác rỗng cácmôđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu (t.ư., cực đại) Vành R

được gọi là Artin (t.ư., Nơte) phải nếu môđun RR là Artin (t.ư., Nơte)

Tập κ các môđun con nào đó của môđun M được gọi là thỏa mãnđiều kiện dãy giảm hay DCC nếu với mọi dãy K1 ≥ K2 ≥ ≥ Kn ≥

trong κ, tồn tại n ∈ N để cho Kn+i = Kn với i = 1, 2,

Dưới đây là đặc trưng của môđun Artin

Định lý 1.7.2 ([1, Định lý 1.1.3]) Cho MR và A ≤ M Các điềukiện sau tương đương:

(1) M là Artin

(2) A và M/A Artin

(3) M thỏa mãn DCC đối với tập các môđun con

(4) Mỗi môđun thương của môđun M hữu hạn đối sinh

(5) Trong tập {Ai, i ∈ I} 6= 0 các môđun con của môđun M tồntại tập con hữu hạn {Ai, i ∈ I0} (nghĩa là I0 ⊂ I hữu hạn) sao choT

trong κ, tồn tại n ∈ N để cho Kn+i = Kn với i = 1, 2,

Dưới đây là đặc trưng của môđun Nơte

Định lý 1.7.3 ([1, Định lý 1.1.3]) Cho MR và A ≤ M Các điềukiện sau tương đương:

(1) M là Nơte

(2) A và M/A Nơte

(3) M thỏa mãn ACC đối với tập các môđun con

(4) Mỗi môđun con của môđun M hữu hạn sinh

(5) Trong tập {Ai, i ∈ I} 6= 0 các môđun con của môđun M tồntại tập con hữu hạn {Ai, i ∈ I0} (nghĩa là I0 ⊂ I hữu hạn) sao choP

i∈IAi = P

i∈I Ai

Vành R được gọi là CS phải (t.ư., trái ) nếu RR (t.ư., RR) là CS.

với F là trường Ta có vành R là CS phải

Vành R được gọi là vành Kasch phải nếu mọi môđun phải đơn K

nhúng được trong RR hay RR đối sinh ra K

Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện đương tương sau được gọi

là vành tựa Frobenius, viết tắt là QF

(1) Vành R là QF

(2) R là vành Artin phải và trái, tự nội xạ phải và trái

(3) R là vành Nơte phải và trái, tự nội xạ phải và trái

(4) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái

(5) R là vành Nơte phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái

(6) R thỏa mãn ACC đối với các linh hóa tử phải hoặc trái, tự nội xạphải và trái

Mệnh đề 1.7.5 ([8, Example 7.6]) Mọi vành nửa đơn là không suybiến Đặc biệt, vành R nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun phải M khôngsuy biến

Chứng minh

+) Giả sử vành R nửa đơn vàx ∈ Z(RR) Ta cór(x) ≤e RR mà vành

R nửa đơn nên chỉ có R cốt yếu trong R Vì vậy

(⇐) Giả sử mọi R-môđun phải là không suy biến Lấy U là iđêanbất kì của R và B là phần bù của U trong R, ta có U ⊕ B ≤e RR (theoMệnh đề 1.2.8) suy ra R/(U ⊕ B) là R-môđun phải suy biến (theo Mệnh

Ta dễ thấy mọi vành CF phải là FGF phải

Mệnh đề 1.7.6 ([10, Corollary 7.34]) Mọi vành CS phải, CF phải

là Artin phải Hơn nữa, mọi vành CS phải, F GF phải là QF

CHƯƠNG2 MÔĐUN S-CS

Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa, các ví dụ minh họa

và các tính chất liên quan đến môđun và vành s-CS Hầu hết các kết quảđược trình bày trong chương này được trích từ [13] Nếu các độc giả muốntham khảo thêm có thể xem trong tài liệu đã nêu ở trên

Ta dễ thấy mọi môđun không suy biến là s-CS

Ví dụ 2.1.2 Sau đây là ví dụ về vành giao hoán không suy biến và

từ đó là s-CS

Xét vành giao hoán Z Dễ thấy

Z(Z) = {x ∈Z|∃I≤eZ, xI = 0} = {0}

nên vành Z là s-CS hai phía

Ví dụ 2.1.3 Lấy R là Z-đại số sinh bởi x và y, yx = y2 = 0

Với mọi β = p1(x) + p2(x)y ∈ Z(RR) tồn tại l(β) ≤e RR

Với mọi x ∈ R, tồn tại h(x), k(x) ∈ Z[x] sao cho

0 6= (h(x) + k(x)y)x = h(x)x ∈ l(β)

Từ đó suy ra pi(x) = 0 (i = 1, 2) (do h(x)x 6= 0) nên β = 0 hay

Z(RR) = 0 Ta có vành R là không suy biến trái nên RR là s-CS

Ví dụ 2.1.4 Sau đây là vành không giao hoán không suy biến phải

và không phải không suy biến trái là s-CS hai phía