D1 các phép toán trên tập số phức

a PHẦN 2 SỐ PHỨC Bài 1 – Mở đầu về số phức 81 BÀI 1 – MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC 1 Khái niệm số phức  Định nghĩa 1 Một số phức là một biểu thức có dạng ,a bi+ trong đó ,a b∈ và i là số thỏa mãn 2 1 i = − Kí[.]

PHẦN 2

SỐ PHỨC

BÀI 1 – MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC

1 Khái niệm số phức

 Định nghĩa 1

Một số phức là một biểu thức có dạng a bi+ , trong đó a b∈, và i là số thỏa mãn

i = − Kí hiệu số phức đó là z, ta viết z a bi= +

i là đơn vị ảo, a là phần thực, b là phần ảo

Tập hợp các số phức kí hiệu là 

 Chú ý

Số phức z a= +0i có phần ảo bằng 0 được gọi là số thực, a ∈ ⊂ 

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo, z= + =0 bi bi b( ∈  )

Số 0 0 0i= + vừa là số thực, vừa là số ảo

 Định nghĩa 2

Hai số phức z a bi a b= + ( , ∈  và z a b i) ′= +′ ′ (a b′ ′∈  gọi là bằng nhau nếu , )

a a

b b

′

=



 = ′

 Khi đó ta viết z z′=

2 Biểu diễn hình học của số phức

Với mỗi số phức z a bi a b= + ( , ∈  được biểu diễn bởi điểm ) M a b Ta còn viết ( ; ) M z ( ) Mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức như thế gọi là mặt phẳng phức

Gọi tọa độ O biểu diễn số 0

Các điểm trên trục Ox biểu diễn các số thực, do đó trục Ox còn gọi là trục thực

Các điểm trên trục Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn gọi là trục ảo

3 Phép cộng và phép trừ hai số phức a) Tổng hai số phức

Định nghĩa 3

Tổng của hai số phức z a bi z a b i a b a b= + , ′= +′ ′ ( , , ,′ ′∈  là số phức: )

( )

z z a a+ = + + +′ ′ b b i′

b) Tính chất của phép cộng số phức

• Tính chất kết hợp: (z z+ ′)+ = +z′′ z (z z′+ ′′)∀z z z, ,′ ′′⊂ 

• Tính chất giao hoán: z z z z+ = +′ ′ ∀z z′, ⊂ 

• Cộng với 0: z+ = + = ∀ ∈0 0 z z z

• Với mỗi số phức z a bi a b= + ( , ∈  nếu kí hiệu a bi), − − = −z thì ta có

( ) 0

z+ − =z Số −z gọi là số đối của số phức .z

c) Phép trừ hai số phức

Định nghĩa 4

Hiệu của hai số phức z và z′ là tổng của z với −z′, tức là z z z− = + −′ ( )z′

d) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức

Gọi M z N z′ thì: ( ) ( ),

OM ON +

biểu diễn số phức z z′+ ;

OM ON −

biểu diễn số phức z z′−

z z− ′ =MN

4 Phép nhân số phức Định nghĩa 5

Tích của hai số phức z a bi= + và z a b i′= +′ ′ (a b a b, , ,′ ′∈  là số phức )

zz aa bb′= ′− ′+ ab a b i′+ ′

Tính chất của phép nhân số phức

• Tính chất giao hoán: zz z z z z′= ′ ∀ , ′∈

• Tính chất kết hợp: ( )zz z′ ′′ =z z z( ′ ′′ )∀z z z, ,′ ′′∈

• Nhân với 1: 1.z z= 1=z với mọi z ∈

• Tính chất phân phối: z z z( ′+ ′′)=zz zz′+ ′′ với mọi z z z, ,′ ′′∈

5 Số phức liên hợp và mô-đun của số phức a) Số phức liên hợp

Định nghĩa 6

Số phức liên hợp của z a bi a b= + ( , ∈  là a bi) − , được kí hiệu z

b) Mô-đun của số phức

Mô-đun của số phức z a bi a b= + ( , ∈  là số thực không âm ) a b2+ 2 và được kí hiệu

z Như vậy nếu z a bi a b= + ( , ∈  thì ) z = z z = a b2+ 2

c) Nhận xét

1) Nếu z ∈ thì mô-đun của z là giá trị tuyệt đối của .z

2) z = khi và chỉ khi 0 z = 0

6 Phép chia cho số phức khác 0

Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là 1

2

1

z

− =

Thương z

z

′

là phép chia số phức z′ cho số phức z khác 0, là tích của z′ nhân nghịch đảo của

z, tức z z z .1

z

−

=

2

z

7 Các dạng toán

BÀI 1.1 - Xác định các yếu tố cơ bản của số phức thông qua các phép toán

1 Gọi z a bi a b= + ( , ∈ ) thỏa mãn z(1+ = −i) 3 i Tính a−2 b

2 Cho số phức z= +(1 i)2020− −(3 i)(2 5 + i) Tỷ số giữa phần thực và phần ảo của số phức z

bằng

A

1010

11 2

13

+

1010

13

−

C

1010

11 2 13

+

D

1010

13

+

−

3 Biết 1 33 (1 ) (10 2 3 2 3)( ) 1 ( , ).

1

+

 − 

4 Phần thực của số phức ( )2020

1 i− bằng

5 Biết (1 )100 (1 )100 1 100 1 100

1

i

−

+

6 Cho z x yi x y= + ( , ∈ ) Phần thực của số phức

1

z i iz

+

− là

A

( )2 2

1

xy

( )2 2

1

xy

−

( )2

1

xy

( )2

1

xy

−

7 Cho z x yi x y= − ( , ∈ ) Phần ảo của số phức

1

z i iz

− + là

2

1

− +

2

1

− −

2

1

2

1

8 Cho z x yi x y= + ( , ∈ ) Phần thực của số phức z2−2z+4i là

9 Cho z x yi x y= + ( , ∈ ) Phần ảo của số phức z2+4z là

10 Biết số phức z thỏa mãn (1 ) 1 2 2

2

i

i

−

+ Giá trị của z2+2z+4 là

11 Biết số phức z thỏa mãn (2z i+ )(1 2− i)= −2 z Giá trị của

5

5

5

12 Biết số phức z thỏa mãn (1+i)(1+z) (= 2+i i z)( + ), phần ảo của số phức z bằng

13 Biết hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 1 2

2



 − = +

 Phần thực của số phức z là 2

3

14 Biết hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 1 2

2



 Phần ảo của số phức z là 1

3

15 Cho x y, là 2 số thực thỏa mãn điều kiện 1 1

1 1

− + Giá trị của x y+ là

16 Cho x y, là 2 số thực thỏa mãn điều kiện 1 2

− − Biết y =2 ,100 giá trị của x bằng

2 +1 B 99299 .

2 +1 C 100299 .

2 +1 D 299100 .

2 +1

17 Biết z= + + + +1 i i2 i2020 Giá trị của z là

18 Xét số z= + + + + +1 i i i2 3 4 i100 Môđun của số phức z là

1 1+ + + +i 1 i + +1 i + + + 1 i = +a bi a b, ∈  Giá trị của a b+ bằng

20 Phần thực của số phức ( ) (2 ) (3 )4 ( )100

A

50

2.2 2

5

B

50

2 2 5

−

C

50

3.2 2 5

D

50

3.2 2 5

21 Cho số phức 2 6 ,

3

n

i

i

+

+

−

   Có bao nhiêu giá trị n∈[1;50] để z là số thuần ảo?

1

n

i

i

+

+

   Có bao nhiêu giá trị của n∈[1;100] để z là số thực?

23 Cho số phức 3 ,

1

i

+

−  Số phức w z= 2 có w =9 khi các giá trị của m là

Bài 8.2 – Bài toán quy về tìm số thực

24 Số phức z thỏa mãn z+2z = Khẳng định nào sau đây là đúng? 1

25 Số phức z a bi a b= + ( , ∈ ) thỏa mãn z iz= Khẳng định nào sau đây là đúng?

26 Số phức z thỏa mãn z = 10 và phần thực gấp 3 lần phần ảo Giá trị của z −2 8 là

27 Tổng tất cả các số phức z thỏa mãn z i+ =2 và (z−1)(z i+ ) là số thực bằng

28 Số phức z thỏa mãn z(1 2+ i) (+z 2 3− i)= − −2 2i Giá trị của z i− bằng

29 Số phức z thỏa mãn (1+i z) (+ 2−i z) = −1 i Giá trị của z+ −3 5i bằng

30 Biết số phức z a b i

c c

= − − với a b c, , là những số tự nhiên khác 0, a

c là phân số tối giản,

thỏa mãn (1 3 ) 2.

1

z i

− +

= + Khi đó giá trị của a là

31 Số phức z thỏa mãn 1

1

z

+

= −

2

z = Giá trị của 2z i+ bằng

32 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2+ =z 0?

33 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z =5 và ( )2

z − + là số ảo?

34 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z+ − =2 i 2 2 và ( )2

1

z − là số ảo

35 Số phức z có phần thực dương thỏa mãn z =2 2 và z i− = −z 1 Giá trị của z i− bằng

36 Biết số phức z ∉ và thỏa mãn 1 3 5

2 1

z





− =

 Giá trị của z i+ bằng

37 Số phức z thỏa mãn z−3i = −1 iz và z 9

z

+ là số ảo Giá trị của z+ +3 2i là

38 [ĐỀ THAM KHẢO 2017] Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện

5

z i− = và z2 là số thuần ảo?

39 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z z z + =2 và z =2?

40 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z i+ 5 + −z i 5 6= và z = 5

41 Biết số phức z thỏa mãn z− =2 z và (z+1)(z i− ) là số thực Phần ảo của z bằng

Nguồn: Đề thi tháng 04/2019 môn Toán 12 trường THPT chuyên Bắc Giang

42 Tìm z biết (2 1 1z− )( + +i) (z+1 1)( − = −i) 2 2i

3

43 Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn z −2z = − + +7 3i z Tính 1 z z− + 2

44 Cho số phức z a bi a b= + ( , ∈ ) sao cho 4

4

z

−

− là số thuần ảo Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì giá trị của biểu thức P a= 2+2b bằng

45 Biết số phức z thỏa mãn điều kiện 5( ) 2

1

z

+

= − + Môđun của số phức w= + +1 z z2 bằng

Bài 8.3 – Phương pháp lấy mô-đun hai vế

Phương pháp: z1=z2 ⇒ z1 = z2

46 Cho số phức z thỏa mãn z +(z−3)i=1 Giá trị của z bằng

47 Cho số phức z a bi a b= + ( , ∈ ) thỏa mãn z+ + −1 3i z i=0 Tính S a b= +3

3

3

48 Cho số phức z thỏa mãn i z( +2)= − +z 1 5 i Phần ảo của số phức z là

49 Cho số phức z thỏa mãn z− = +4 1( i z) − +(4 3 z i) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

50 Cho số phức z thỏa mãn z+(4 3+ z i) = + +4 1( i z) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

51 Cho số phức z thỏa mãn 2z− = −2 1( i z) +(2−z 2 )i Mệnh đề nào sau đây là đúng?

52 Cho số phức z thỏa mãn z +(2 3i z) − +  =3 2i 26 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

53 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1 3 ) 4 6 9

13

z + i = − + +i z

54 Cho số phức z a bi a b= + , ,( ∈ ) thỏa mãn z+ + −1 3i z i=0 Giá trị của 2a b+ bằng 3

55 Cho số phức z a bi a b= + ( , ∈ ) thỏa mãn z z +2z i+ =0 Tính T a b= + +3 5 2

56 Cho số phức z thỏa mãn (1 2i z) 10 2 i

z

+ = − + Mệnh đề nào sau đây là đúng?

57 Số phức z a bi a b= + ( , ∈ ) thỏa mãn 2 2

1

z

i

− =

+ Giá trị của 5 9a b− bằng

58 Cho số phức z ≠ thỏa mãn 0 (2 3i z) 26 3 2 i

z

+ = + − Mệnh đề nào sau đây là đúng?

59 Cho số phức z ≠ thỏa mãn 0 (1 3i z) 4 10 3 i

z

z + z bằng

60 [ĐỀ CHÍNH THỨC 2018] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z( − − + =4 i) 2i (5−i z) ?

61 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z( − − + =3 i) 2i (4−i z)

62 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z (2+iz)=3 19 3z− + i?

63 Cho số phức z thỏa mãn z z( − −3 2i)− = −5 1 2( i z) Phần thực của số phức z bằng

64 Số phức z thỏa mãn z z( − −3 2i)+ = −5 1 2 ( i z) Phần thực của số phức này là

A 8 2 6

5

−

5

−

5

+

D 8 2 6 5 +

65 Cho số phức z thoả mãn (2 i z) 10 1 2i

z

+ = + − Điểm biểu diễn số phức

(3 4 ) 1 2

w= − i z− + i thuộc đường tròn có phương trình:

66 Số phức z a bi a b= + ( , ∈ ) thỏa mãn (1 2i z) 10 2 i

z

+ = + − Giá trị của a

b bằng

1 9

67 [ĐỀ THAM KHẢO 2018] Cho số phức z a bi a b= + ( , ∈ ) thỏa mãn

( )

z+ + −i z + =i và z >1 Tính P a b= +

Hết