Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12trường thpt nông cống 3 giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Trong quá trình giảng dạy và ôn thi THPT bộ môn Toán, bản thân tôi thấycác câu hỏi vận dụng, vận dụng cao phần Số phức thuộc chương trình Giả tíchlớp12 nhiều học sinh còn lúng túng trong

Trong quá trình giảng dạy và ôn thi THPT bộ môn Toán, bản thân tôi thấycác câu hỏi vận dụng, vận dụng cao phần Số phức thuộc chương trình Giả tíchlớp12 nhiều học sinh còn lúng túng trong việc suy luận tìm ra phương pháp giải,đặc biệt là những câu hỏi liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Hiệnnay số câu hỏi liên quan đến số phức luôn chiếm trên 10% trong đề thi THPTQuốc gia và các câu vận dụng, vận dụng cao của số phức thường mặc định mức

từ câu 40 trở đi trong đề trắc nghiệm 50 câu hỏi Thực trạng cho thấy các bàitoán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến số phức, gây ra nhiều khókhăn cho HS đặc biệt là HS khá, trung bình, yếu Nhận thấy khó khăn học trò

đang gặp phải tôi đã nghiên cứu và áp dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Nông Cống 3 giải một số bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học” nhằm cung cấp cho học sinh một phương pháp dễ hiểu, dễ áp dụng để các em dễ tiếp thu, tìm tòi, và có động lực nghiên cứu toán học Từ đó

trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số

kỹ năng giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như cách giảigiải bài toán trắc nghiệm nhanh hơn bằng kiến thức cơ bản đã học nhằm gópphần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.Nội dung đề tài rất bổ ích thiết thực, giúp các em học tốt, thi tốt

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp cho

học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các

kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài sẽ nghiên cứu đối với các bài toán về cực trị số phức và được thửnghiệm đối với học sinh lớp 12A1, 12A2 năm học 2020 – 2021 và tiếp tục ápdụng đối với HS lớp 12B3, 12B5 năm học 2021-2022 Trong phạm vi sáng kiến,tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một số bài toán mà học sinh thườngkhó khăn trong hướng tiếp cận cũng như trong quá trình giải toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp lớp 12

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp đối thoại với người học

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

hoặc Đường tròn tâm , bán kính

hoặc Hình tròn tâm , bán kính

hoặc Hình vành khăn giới hạn bởi hai

đường tròn đồn tâm , bán kính lần lượt là

Parabol

hoặc

Elip Elip nếuĐoạn AB nếu

2.1.3 Một số kết quả đã biết

a Cho hai điểm cố định Với điểm bất kỳ luôn có bất đẳng thức tamgiác:

+) , dấu “=” xảy ra nằm giữa hai điểm

+) , dấu “=” xảy ra nằm giữa hai điểm

b Cho hai điểm nằm cùng phía đối với đường thẳng và là điểm diđộng trên Ta có:

+) , dấu “=” xảy ra Ba điểm thẳng hàng

+) Gọi là điểm đối xứng với qua , khi đó ta có

, dấu “=” xảy ra Ba điểm thẳng hàng

c Cho hai điểm nằm khác phía đối với đường thẳng và là điểm diđộng trên Ta có:

+) , dấu “=” xảy ra nằm giữa hai điểm

+) Gọi là điểm đối xứng với qua , khi đó ta có

, dấu “=” xảy ra Ba điểm thẳng hàng

d Cho đoạn thẳng và điểm không thuộc , là điểm di động trênđoạn thẳng , khi đó Để tìm giá trị nhỏ nhất của

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi TN THPT Quốcgia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán về khoảng cáchtrong không gian luôn xuất hiện Trong bài toán trắc nghiệm với các mức độ

VD, VDC đa số các em học sinh còn lúng túng trong tư duy, phương pháp giảicũng như trong quá trình giải toán Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lýthuyết hoặc tâm lý mặc định “khó quá bỏ qua” Đặc biệt hiện nay thi trắc

nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm Do đó, hướngdẫn các em học sinh có kĩ năng, phương pháp, cách giải kể cả quá trình giải làviệc cần thiết Từ đó HS có thể giải nhanh các bài tập dạng trắc nghiệm.

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (haynhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đóyêu cầu khả năng lựa chọn hướng giải trên cơ sở phân tích bài toán khoảng cáchtrong không gian

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thứccủa học sinh

- Trong mỗi bài toán đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chấtcũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

điểm biểu diễn số phức và Khi đó từ

giả thiết suy ra , tập hợp

điểm biểu diễn số phức là đường trung trực

∆ của AB

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Ta có nhỏ nhất khi khi M là

hình chiếu vuông góc của N trên d và

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Gọi là số phức thỏa mãn nhỏ nhất Giá trị của biểu thức là:

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Ta có nhỏ nhất khi khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆,

Gọi là các điểm biểu diễn số phức và

Từ giả thiết trung trực của AB có phương trình

biểu diễn số phức và Khi đó từ giả

tròn tâm I bán kính R Ta có: lớn nhất

và P nhỏ nhất Khi đó:

và

(Điểm E có thể nằm trong hoặc ngoài đường tròn).

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức:

A B C D

Lời giải

Ta có: tập hợp điểm M biểu diễn

số phức là đường tròn tâm bán kính

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là 2 sốphức làm cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất Tính

và Khi đó từ giả thiết suy ra , tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường trung trực ∆ của AB;

TH1: H, K nằm khác phía so với đường thẳng ∆

Ta có:

Dấu bằng xảy ra

Khi đó

TH2: H, K nằm cùng phía so với đường thẳng ∆

Gọi H’ là điểm đối xứng của ∆

Khi đó:

Dấu bằng xảy ra

Khi đó

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Gọi

sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó là:

Gọi H’ là điểm đối xứng của

Ta có: tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ phương trình

Suy ra

Lại có:

Dấu bằng xảy ra Phương trình đường thẳng H’K là:

cho đạt giá trị nhỏ nhất Giá trị nhỏ nhất đấy bằng

Lời giải

Ta có:

nên M thuộc đường thẳng trung

trực của AB có phương trình ,

gọi và là các điểm biểu diễn

số phức và

Ta có: và 2 điểm H, K cùng

phía so với đường thẳng ∆

Gọi H’ là điểm đối xứng của

Ta có: tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ phương trình

điểm biểu diễn số phức và

Khi đó từ giả thiết suy ra

, tập hợp điểm biểu diễn số

phức là đường trung trực ∆ của AB;

Gọi I là trung điểm của

nhỏ nhất khi là hình chiếu vuông góc của I xuống

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Gọi z là số phức thoả mãn biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất Tính

(với là trung điểm của HK)

Do đó hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống , khi đó

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu

A B C D

(với là trung điểm của HK)

Do đó hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống , khi đó

Chọn A.

 Dạng 5: Cho số phức thỏa mãn Tìm số phức thỏa mãn

đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

điểm biểu diễn số phức và

trong đó là các số phức đã biết Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp: Đặt lần lượt là các

điểm biểu diễn số phức và

Điểm M thuộc đường tròn tâm bán kính ,

thuộc trung trực của AB với

Lại có:

Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn và số phức thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Gọi là điểm biểu diễn số phức Khi đó

Gọi là điểm biểu diễn số phức Khi đó

Hay tập hợp điểm N trong mặt phẳng Oxy là đường tròn

Ta có

không cắt đường tròn

Lại có dựa vào hình vẽ ta thấy

Bài toán có thể hỏi thêm là tìm số phức

hoặc để thì ta chỉ cần viết phương trình đường thẳng sau đó

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A B C D

Lời giải

Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức và

Điểm M thuộc đường thẳng tròn tâm

bán kính

Điểm N thuộc đường thẳng trung trực của

AB với

 Dạng 7: Cho hai số phức thỏa mãn và trong đó

là các số phức đã biết Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp: Đặt lần lượt là các điểm biểu diễn số phức và

Điểm M thuộc đường tròn tâm tâm bán kính và thuộc đường tròn tâm bán kính Dựa vào các vị trí tương đối của 2 đường tròn để tìm

Ví dụ 1: Cho hai số phức thỏa mãn và Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức

Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2018]

khi giá trị biểu thức đạt giá trị lớn nhất

A B C D

Lời giải

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Ta có

Gọi là trung điểm

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn

Ví dụ 3: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2017] Xét các số phức thỏa mãn

điều kiện: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

Vậy giá trị biểu thức Chọn B.

Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn điều kiện: Gọi

M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tính

Ví dụ 5: Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểuthức đạt giá trị lớn nhất Tính môđun của số phức

Ví dụ 7: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Giả sử là hai trong các

số phức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của

Ví dụ 8: Cho là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện và

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm , bán kính

Ví dụ 10: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Cho số phức thỏa mãn

không phải là số thực và là số thực Giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tính giá trị của M.m

Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A B C D

Lời giải

(BĐT Swart)

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Giá trị của bằng

nhất của là

Câu 12: Cho số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của Giá trị của là

Câu 13: Gọi là điểm biểu diễn số phức ( với là số thực thay đổi) và là điểm biểu diễn số phức biết Độ dài ngắn nhất của đoạn bằng

Câu 16: Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn và

(trong đó ) Gọi là hai số phức thuộc sao cho lớn nhất, khi đó giá trị của bằng

Câu 17: Cho hai số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của là

Câu 18: Cho số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giá trị của bằng

Câu 19: Gọi là số phức thỏa mãn điều kiện

và có môđun nhỏ nhất Giá trị của là

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Giá trị là

D

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoànthiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạynhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh

Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đãhứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học

lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bịđộng, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ đó nâng cao đượcchất lượng giáo dục trong nhà trường Đây là tiền đề để phụ huynh học sinhcũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà

trường

Trong năm học 2021 – 2022 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cholớp 12A1, 12A2 không áp dụng cho lớp 12A3 Sau khi kết thúc kỳ thi THPTQuốc gia năm 2021 kết quả làm bài cho thấy tại lớp 12A2 có 76% học sinh giảiđược các bài toán cực trị về số phức, lớp 12A1 có 68% học sinh giải được cácbài toán về cực trị số phức trong khi lớp 12A3 chỉ có 15,33% Năm học 2021 –

2022 tôi tiếp tục áp dụng vào lớp 12B3 và 12B5 kết quả bước đầu tại kỳ thi thử

do Sở GD&ĐT Thanh Hóa ra đề học sinh tại 2 lớp đều làm tốt phần cực trị Sốphức

3 Kết luận – Kiến nghị.

3.1 Kết luận

Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệutham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã áp dụng phương pháphình học để giải các bài toán cực trị số phức Từ đó phân tích và khắc sâu chohọc sinh trong quá trình giảng dạy, giúp các em nhanh chóng tìm ra lời giải vàđáp số của bài toán

Với các kết quả đối chiếu ở trên cho thấy những kinh nghiệm nêu ra cũng

đã bước đầu có hiệu quả Do đó, tôi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn gópphần nâng cao hơn nữa kết quả thi THPT hàng năm

Trong năm học này chúng tôi tiếp tục áp dụng cho một số lớp khối 12,đồng thời tìm tòi, thu thập thêm những ví dụ, những dạng toán khác và bổ sung

để sáng kiến ngày hoàn thiện hơn

Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp mộtphần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh khai thác tốtphương pháp hình học trong bài toán cực trị số phức Đồng thời hình thành khảnăng tư duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm, từ đó tạo hứng thúcho các em khi học toán Tuy nhiên do trình độ bản thân còn hạn chế nên tôi rấtmong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạnđồng nghiệp

3.2 Kiến nghị

- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học;

Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn

- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa các

buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi kinhnghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biếnrộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình,không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Xuân Thông

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Châu Văn Điệp và nhóm tác giả, Công phá toán 3, Nxb ĐHQG Hà

[5] Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán tập 2, Nxb ĐH

Quốc Gia Hà Nội