TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ ( CÓ GIẢI CHI TIẾT)

Dành cho học sinh khá giỏi, luyện thi đại học

TIM HQ NGUYEN HAM CUA MOT HAM SỐ

11 1) Xác định các hằng số a và b sao cho:

3x+l ¬— A B (+b? Œ&%+U” (@&x+UẺ

2) Dựa vào kết quả trên, tìm họ nguyên hàm của hàm số:

3x+l f(x) =

(= BaD

Hướng dấn:

1 Qui đồng mẫu số chung và trục mẫu số; hai vế là hai đa thức

đồng nhất Do đó các số hạng có cùng bậc thì có hệ số bằng nhau=>A, B

2 Nhắc lại rằng hàm số có dạng `- thì có nguyên hàm la—; u u hàm số có dạng + thì có nguyên hàm là at

u

2u

GIẢI

(xD? @x+ÙẺ) @œ+D)

Vậy: A=-2 ;B=3

Chú ý: Thay vì vận dụng đa thức đồng nhất để tìm A và B, ta có thể tìm các

hằng số A và B bằng cách cho x hai trị số đặc biệt

Thí du: Cho x lần lượt các giá trị là 0 và 1, ta có:

1=A+B ° =-2 4=A+2B B=3

An G&D?

Do đó, họ nguyên hàm cia f(x) la: F(x) = 5

(&x+U“ x+1

3x? +3x+3

12 Cho ham sé:y =

6 hàm SOY =o 3a +2

1) Xác định các hằng số A, B, C, để:

_œ-U° x-l x#2

y

2) Tìm họ nguyên hàm của y

Hướng dấn:

a) Xem bài 11

b) Nhắc lại: - Họ nguyên hàm của là In|x ~ø|+C,

x-ư

a1

— Ho nguyên hàm của $ nguy 2 q=PP là —— xB +

GIẢI

1) Theo giả thiết, ta có:

x°-3x+2 (@x-U” x-l x+2

với x # 1,x # ~2

Qui đồng mẫu số chung và trục mẫu, ta có:

3x2 + 8x + 38 = A(x + 2) + B(x — 1)(x + 2) + C(x- 1)?

= (B+ C)x’? + (A + B~ 2C)x + 2A - 2B + C

Do dé ta cé: }A+B-2C=3 (2) @®)

2A -2B+C=3 (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta có: 3A=9 = A=3

ệ (®) trở h:

Vay: A=3;B=2; C=1

3 2 1

+

(x-1)? x-1 X42

2) Ta có: y =

Suy ra họ nguyên hàm của y là:

FŒ) = ——— + 2In|x~ 1| +|x + 2|+ œ,œ là hằng số tham số M

1

[ 18 Tính tích phan: I = lạc sa x(4¢x +x 5

Hướng dấn:

Đặt: 1 La, ĐC px+q, : mx+n

x4+x”°1+x”) x 14x? 44x? 44x")?

> L=a(l+x?)(4 + x?)? + (bx + e)x(4 + x?)?

+ (px + q)x(1 + x?)(4 + x?) + (mx + n)xΠ+ x?)

= (a+b + p)x® + (x + q)x° + (9a + 8b + 5p + m)x*

+ (8c + 5q + n)x’ + (24a + 16b + 4p + m) x”

+ (16c + 4q + n)x + 16a

Do đó ta có:

a+b+p=0 c+q=0 9a + 8b + ðp + m = 0 1

24a+16b+4p+m=0 | _ọ

n=0

1447 ,_12 _

44x? (44x)?

jg ind +9) + og In(4 + x!) - Fe HC

14 Tìm họ nguyên hàm của:

va g(x) = cosx.cos2x.sin4x

Hướng dấn:

+ Nhân tử và mẫu của hàm số f(x) với lượng liên hiệp của mẫu

+ Dùng công thức biến đổi tích số thành tổng số:

cosacosb = 2 feos(a +b) +eos(a ~ b)]

sinxcosb = sizm(a +b) + sin(a — b)]

Cần nhớ rằng: + Họ nguyên hàm của coskx là rên kx+C

+ Ho nguyên ham cia sinkx la eos kx+C

GIAI

2x _ 2x(x - Vx” =1) xVx?-1 0 (x + vx? -1)(x- Vx? -1)

= 2x(x — Vx? =1) = 2x? - 2xVx? =1

Hàm số: 2xVx?~1 có dang u've =u‘, với u = x”~ 1, nên có

nguyên hàm là uÁn, tức là Zot px? -1

Ta c6 thé viét: f(x) =

Do đó, họ nguyên ham cia ham f(x) là:

F(x) =x ' S08 - e140

© Ta có: cosxcos2x = 5 (cosdx + cosx)

=> g(x) = cosxcos 2xsin4x = 2 (cos 3x + cos x)sin 4x

= sen 4xcos3x + sin 4X cos x)

Nhưng: sin4xcos3x =2 (sinTx + sinx)

sin4xcosx = $ (ind + sin3x)

= g(x) oF (sintx + sindx + sin3x + sinx)

Do đó, họ nguyên hàm của hàm g(x) 1a:

=1(1 ” 1 1 \

G(x) = —| =cos7x ++ cos 5x += cos 3x + cosx |+C

Chú ý: Có thể nhóm sin 4xcos2x hodc sin4xcosx,

15 Tính |———————

Hướng dấn: Nhân tử và mẫu với lượng liên hiệp của mẫu

GIẢI

Tacé: I= [———=-= |(x-V1-x’)’dx

(œ%x+v1+x?)? J

= [(Gx? +1~2xV1 + x”)dx

= 3x! +x~ [dt với t= 1+x?

X0 +x=g01+x9J1+ xế +C

= 2x ox Zax xế +C Vậy:

16 Tính các tích phân:

1) 1= [J1-x?dx 2) J= [ýx” —1dx

Hướng dấn:

1 Đặt x = sint hoặc viết: V1- x? =

2 Ta viết:

1) Xem tích phân I= va -x’dx Dat x = sint => dx = costdt

1+ cos 2t at Tacé: I= Joos? tdt = Í 5

=5 (t+ 2 sin 2) + =2 (4+ sin teos) +Ơ

= š.(Aresin x + xÍT = XẼ) +C

Vậy: I= ƒI-x4x = g taresin x + x1 = XÃ) +C

« Cách 2: Ta có thể viết:

= arcsinx — K

Ta hay tinh tich phan K

=K=-xV1~x” ~ JML-x”4x = -xÝ1- x? +140,

Do dé ta cé: I = aresinx -(-xv1- x? +1) +C,

© t= Ftaresinx + xfi-¥)+C

2) Ta có thể viết: J = Me = he eo

vx? -1

Ta hay tinh tich phan L = : Roa

x -1

x°dx

Chon: xdx =>

dv = v=vVx?-1

vx -1

=L=xvx?- ¬= =xvx? -1-J3+C,

Do đó tá có: 3=xx =1 ~g ~la|x + Jế =1| +,

I= hex? =1- Inf vie a +0

Vậy: [ñỞ ~1dx= sishf=1 - la|x + vs =1) +OK

17 Tính các tích phân sau:

3xdx

a

oie Spee 21 le

Hướng dấn: 1 Đặt x = 2sin ft; 2 Dat 2x” = y

GIAI

1) Xem tích phân I= fy Taco: Ox => 0 2 0<x <2

Ý2x—x?

Do đó ta dat: x = 2sin?t = dx = 4sinteostdt

¬——

Vay: I= = 2aresin > +C

ies x?

2) Xem tích phân J = fs Đặt 2x? = y = xdx slay

Do đó ta có: J =— ==—In(y+j9+y?)+C

4 le

=5 Ga? +v9+4x')+C M

4

18 Tính I= [= dx

v1l+x?

Huéng dan: Dat x = tant

GIẢI

4 x“dx Xem tích phan! =

J V1+x?

dt

Đặt x = tet = dx = (1 + tan’t)dt = —

cos” t

=I- j= t + tan” t)dt i ty

V1 + tan?t cos”t

Xem tích phân K,„„, = f° dt với m, pe Z, => 1= Kuss cos? t

Ta có;| Sim ¬ t),_ (m-1)sin™™ tcos! sp 1)sin” tcos? Ý t

;am-2 in

cos’? t cos? t

‘sin! ta

sin™ | t sin’

Do đó ta có: =(m-1 {at s(p-1

sin"t

= (m - DK in-2.p-2) + (P- DKiny) = —r:

+ Chọn m=4,p =5 Ta cố: 8Ka¿ + 4Kuø = ST,“ Œ)

+ Chọn m = 2, p=3 Tac: Ky + 2K ey = 2 (2)

T ` cosỐ £

Véi Ky, = [2 = tahe( +8) +C, (3)

cost

Từ (1), (2), (8), ta có:

" - 2sin*t 3sint +c

SE ~ Bow = cost cos’ t

©K„¿;=——_ ——m†

4đ 4eastt 8eosft 8

Với = V1 + tan? t, ta có:

cost

J= (3 tan*t ~Zeant i + tan” t tấm tan(

3

Vay: f xi -(Ý-3)Mts cận le

dx

l 19 Tính tích phânI = [—“

1-xvV1-x?

Hướng dan: Nhân tử và mẫu số với lượng liên hiệp của mẫu

Cách 2: Đặt x = sint

GIẢI

dx Xem tích phân: I= |_————=

i -xV1-x?

Ta có thể viết:

2) 1-x?4-x?)

1-xji-x? 1-xd- x) 1-x°q-x?)

In si + ` *|

1 +arctan x] +C

ala ®

+C

nil

—+carctan x

4 2

“ dx dx

¢ Tatinh l;= |——>——:= |————

Ta có: xf —x?+1=(x? +1)? -3x? = @xÊ + xV8 + Đ(Š - x8 +1)

x3 +1

= 1=(Ax +BY x? —xV3 +1) + (Ex + F)(x? +xv3 +)

=(A+E)x? +(-Av3 + B+ EV3 + F)x? +(A-BV3)x+B+F

A+E=0

-AV3+B+EV3+F=0 _ |8=

A-By3 +E+Fv3 =0

B+F=1

1 eo! 2

-x +1 6x +xý3+1l 6 x°-xV8+l1

Do đó ta có:

L =} oi8 Dee 1 (i v3

3)dx

-xv8+1

W5

x?+x/3+1l 6x

= 3 Bale + x3 +1) + 3aretan (2x V3)

~Fin(x’ ~ x8 +1) arctan (2-8) +Ơ

2

7 8 nŠ tt +ä [aretan(2x + V8)+ aretan(2x - v3) |+

12 x”-xv3+1l 2

V3, @?®+xj3+12 1 (3x + V3) + (2x - v8)

xt -x?4+1 2 1~ (3x + J3)(2x — V3) Js)"

VB, (x? +xv8+0? 1

a9! Saal + yarctgs—a +e "

Ta có: = 1-td-t) int 4 at = 3 ft — q- ae Đ+1

2

_Y Tacé: I,= |————d)

Ta hãy tìm các hằng số A, B, E, F sao cho với mọi y, ta có:

wi ay +B Exo

yi-y’4+1 y?+yV84+1 y?-yJ8341 'Tương tự như trên, ta có:

1 =- ;B=0;E=- _"

2,

l= _¬ B fy

Ta có:

w

“i ydy "" 2 ay

yetyv3+1 y? +yV3 41

= “ee + yv3 +1)- V3 arctan(2y + V3) + Cc,

= tuy ~ vs +1) + V8 aretan(3y ~ V3) + C„

" 1

33, nữ? +5 +17 - arctan 1 y

gia arctan(2y + V3 V3) + arctan(2y - v8)]+C

„1C

- 8, @-%+

Suy ra: I= 1, + lạ

* Cách 2: Đặt x = sint Học sinh tự giải

20 Tinh I= [V1+2x°dx

Hướng dấn:

5 sấy ¬—s 1+¢?

Cách 1: Đặt t = x2 và viết [1+ t?dt =

Cach 2: Dat x J2 = tana

y

Cách 3: Đặt x V2 =°Š

Xem tích phân I= M +2x?dx

* Cách 1: Đặt t = xV2—= dx = -Ldt Do đó ta có:

v2

1= [N1+2xˆdx agg hie at

1 peek dt = 1 j_at_ 44 Lẻ Cát

2

Ta tinny = [tat bằng phương pháp tích phân từng phần

l1+t

ust [au= at

Chon tdt >

=J= (1+? = [1+ Cát = bít + t? 2 +C,

—InŒ+V1+tP)+-E<@1+tP - BÐ) +;

Ta sigintt+ 148) +o tiv +c

Suy ra:

==L_In+xv8+V1+2x5)+ 1x13 9x2 +C

Vậy: [{1+2x”dx = gine + Sa) Sats 2x? +C

* Cách 2:

pat xV2 = tana = dx = L(t + tan’ oda vei O<a<naze

1 + tan? œ.(1 + te’a)da = 55

=1l= gi

1 stan a|+C cosœ Ỉ

t= tana + tan? œ + ein

nh t+ sini ax? +xV8|+C

Vay: I= ay: 22 B+ v(1+9x2)+Š 2 ý

a= Vivien Ít =} ay

*zE fe +e + Day

=—=(e? =e?* +2y)+C

— _L_v¿G aa” 1

= xv2 oe” ~ 2xV2.e’ -1=0

eo eo = xJ2 4+ V1 + 2x? = y = In(xV2 + V1 + 2x2)

+ e# =(xV8 + v1 + 9x2)? =1+4x? + 9x9 J1 4 2x?

=(Q1+8xŠ ~ x9)? =1+ 4x? ~ 2x2 (1 + 2x?

=e -e** = 4xV2.V1+ 9x2

Do đó ta có:

1=T—.4xV8I+8xE +—T—(xV8 + V1+ 8x2) +O

-š/+2x +20 InGxV8 + Ý1+ 23) + C Vậy: T= pg inte + Ít + 8) + ễ Vi + 2x” +Cm

Ghú ý: Ta có thể viết:

Ta có:

2

1+tan ( + tan 3] l+tan' 2tane

1-tanf 1-tan?& 1-tan? = 1-tan?& C08E

| 21 Cho I, = faim et

yp”

1) Tim hệ thức giữa I„ và I„.¡

2) Tinh Iz

Hướng dấn: Dòng phương pháp tích phân từng phân bằng cách

chọn du = dx

= eae + 2m -1) (m1 + In)

© Am-DI, = ~ GET pT 2 Bly 1

Vậy: Hệ thức giữa I„ và I„_ phải tìm là:

x

2(m - DI, = ~ GEL per im - 8y ¡

=„=-————_—-m-3¡

m 200 - DG? - Dp"? 10m-1) "3

2) Ta Pa cols = c6:1, = -——>— oa eal - =],

? 2w7-1U2 3!

3x +e x-1

deb? * 8G? 1) 16 Jx+1

22 Tìm điểu kiện để tích phân I= [Tá là

(x? + px+q)?

một hàm hữu tỉ theo x

Hướng dấn:

Giả sứ tam thức x” + px +q có hai nghiệm phân biệt œ và 3

x?+ax+b

(x? + px +q)?

có mẫu số là x — a, (x ~ a)’, x- B, &« - BY > dpem

GIẢI

Giả sử tam thức x” + px + q có hai nghiệm phân biệt là § và œ

Phân tích phân thức thành tổng của 4 phân thức

= x?+px+q =(x— ơ)(% ~ B)

x°tax+tb _ x°+ax+b

(œ%°+px+q) ` (x-ơ)œx-B)°

2

(?+px+q)? x-a (x-g) ` x-B (x-6)

Tích phân của các hàm số —Ê_ và

Do đó để tính tích phân I đã cho là một hàm hữu tỉ thì ta phải

có: A =C =0 Suy ra:

(+ px+q)? (x-a)? ” (=p?

là những hàm lôgarit

> x’ + ax +b = B(x-B) + Doxa)?

= (B + D)x’ + (-2BB — 2Da)x + BB? + Da?

© |2BB + 2Da = -a © | B(9B~ 9ø) = ~a ~ 2ø

BB? + De? =b Bip? - a?) = b-a?

= 2B) _ T329 Boa b-a 2B +) + 2nB + 2b = 0

Nhung a+ = -p;aB =q Do đó ta có: -ap + 2q + 2b = 0

Vậy: Điều kiện phải tìm là: 9q -ap + 2b =0 =

| 23 Tìm họ nguyên hàm của hàm sé: f(x) = cos*xsin8x ]

Hướng dấn: + Thay cos”x = 1⁄cos3x + 3⁄(cosx

+ Vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

sinacosb = 1 [sin(a + b) + sin(a - b)]

GIAI

Tacó: cos*x = $ (eos 3x +3008 x)

=> f(x) = F (cos 3x +3cos x)sin 8x

= co 8xcos 3x + 8sin 8x cos x)

Nhung: sin8xcos 3x = 5 (sin J 1x + sin 5x)

sin 8xcosx = sen 9x + sin 7x)

=> fx) = Flsin 11x + sin bx + 3sin 9x +3sin 7)

Do đó, họ nguyên hàm cia ham f(x) la:

F(x) = zin» + x cos bx + + sos9x + 3 osx +cm 8 \il 5 3 TÔ)

24 Chitng minh ring ham sé: f(x) = 25! +Pe0sk 66 ho

esinx +dcosx

nguyén ham dang F(x) = Ax + Bin|e sin x + dcosx|+C

Hướng dấn: Cân tìm hai hằng số A và B sao cho ta có:

asinx + beosx = A(csinx + đeosx) + B(ccosx — dsinx)

GIẢI

Dat: asinx + beosx = A(csinx + deosx) + B(ccosx — dsinx)

= (Ac — Bd)sinx + (Ad + Be)cosx Hai vế bằng nhau với mọi x Do đó ta có:

In “ng = ao + bđ

Cân có c? + dể z 0 nghĩa là c và d không đông thời bằng 0

ac +bd be-ad

Tacó: A=-z—;: B=-z—y

=> f(y = 28K + beosx _ y , pocosx—dsinx

csin x + dcos x csinx + dcosx

Vi (csinx + deosx)’ = ecosx — dsinx, nén ho nguyén ham cia f(x)

1a: F(x) = Ax + Bln|csinx +dcosx|+C @

[ 25 Tinh tich phan I = [e'* cos” xdx

GIẢI

Ta có: I= fe cos? xdx = fot 22087 ax

=i fet*dx +! fe cos2xdx = Let+ 1k

Voi K = fe' cos 2xdx Ta hay tinh K

{du = 4e*dx

u=e#

dv = eos2xdx v= ria 2x

=K-= se” sin 2x 2 fo sin 2xdx

=K= 2e” sin 2x = 2H + C, Với H= [e'" sin 2xdx

u=e* jeu = 4e!*dx

dv = sin 2xdx lv =~ 5082

=H=- se" cos 2x ~ 2 fe" cos 2xdx 2K = —Zel sin 2x -2K +C,

Thay H = - at eos2x + 2K + C; vào (2), ta có:

=K= -h sin 2x~2-Ze cos2x + 2K} +C,

© 5K = ze" sin 2x + e'* cos 2x +

c> K = [TÔ sản + boos e* +C,

Thay giá trị của K vào (1), ta có:

totems 3( Sain 2x + 2eos2x]e"* +C

8 2\10 5

@)

(2)

4x S—+G

2

“(]+ gen t2 eos

4 10 5

4x

Vay: fe" cos? xdx = Π+ a sin 2x + z cos 2x) Sim

« Cách 2: Gọi J = fe* sin? xdx

I+Jd= fe* cos? xdx + fe sin? xdx

= fettax = 40% +6, @)

4 Mặt khác, ta có:

1-3 = fe’ cos® xdx + fe sin® xdx

= fe cos 2xdx =| Jo 2x + 5008 2x e*+C, (4)

J

Từ (3) và (4) =I M

26 Chứng tỏ rằng hàm sé: F(x) =

|- Ina +|x)

x

là một nguyên hàm trên R của hàm số : f(x) = isk

+|x|

Hướng dấn: Xét các khả năng x> 0; x< 0

GIẢI Ham s6: F(x) = |x|— In( + |x|) xác định với mọi x e R

— Nếu x>0, ta có: F(x) = x— ln(1 + x)

=FElŒ) (x) =1 †1šFT1-x = =f (x)

— Nếu x <0, ta có: F(x) = —x — ln(1 — x)

=> F(x) †TZ F1 £(x)

Do dé ta c6: F(x) = f(x), Vxe R

Vay: F(x) =

= Ind + fx)

là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cn "

iPad