Vi phân trong tích phân hàm ẩn lớp 12 | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Đây là một phẩn chuyên đề, thầy cô có thể truy cập tải bản đầy đủ tại địa chỉ - http://bit.ly/2HJSPsf. DẠNG 1: Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức    .[r]

3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM ẨN

(CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ẨN)

Đây là một phẩn chuyên đề, thầy cô có thể truy cập tải bản đầy đủ tại địa chỉ

-http://bit.ly/2HJSPsf

DẠNG 1: Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức

         

u x f x u x f x h x

Biết trước u x  , h x  Tìm f x  ?

Từ đẳng thức u x f x   u x f x    h x 

     

f x u x  h x

Suy ra f x u x    h x x d  f x .

Đây là một phẩn chuyên đề, thầy cô có thể truy cập tải bản đầy đủ tại địa chỉ

-http://bit.ly/2HJSPsf

Lời giải

Ta có 2 x f x x f x2   3x2 1 x f x2  3x21

Lấy nguyên hàm hai vế ta có

LÝ THUYẾT.

I

=

=

=

I

II

=

=

=

I

[Mức độ 3 ] Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn và Tính

Câu 1

     

2 dx= 3 2 1 dx 2 3

 

3 2

4

x x

x

 

         

Lời giải

Ta có f x  2x33x2 x f x    f x x f x   2x33x2 x f x  2x33x2

Lấy nguyên hàm hai vế ta có

4

d = 2 3 d

2

x

xf x  x x  x x xf x  x C

 

 

3

x

Lời giải

Ta có:

2sin 2 x f x  1 cos 2 x f x sin 2 3sinx x4   1 cos 2 x f x sin 2 3sinx x4 Lấy nguyên hàm hai vế ta có





 

2sin x f x 2sin x 4sin x C

Mà

2

3

2

f          C

Vậy

f x  x  f   

Đây là một phẩn chuyên đề, thầy cô có thể truy cập tải bản đầy đủ tại địa chỉ -http://bit.ly/2HJSPsf

[Mức độ 3 ] Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn và Tính

Câu 2

[Mức độ 3 ] Cho hàm số liên tục trên và thoả mãn Biết Tính

[Mức độ 3 ] Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn và Tính

Câu 3

Lời giải

Lấy nguyên hàm hai vế ta được

x

Mà f  1 5 53.12ln1 2. 1C C 0

Lời giải

Xét phương trình 2xf x  f x  2x

, vì yf x 

có đạo hàm trên 0;  

nên liên tục trên khoảng này

2

x



      x f x   x

x f x  x x x

 

4 4

3 1

1

          

6

Đây là một phẩn chuyên đề, thầy cô có thể truy cập tải bản đầy đủ tại địa chỉ -http://bit.ly/2HJSPsf

Lời giải

[Mức độ 3 ] Cho hàm số liên tục trên và thoả mãn Biết Tính

Câu 4

[Mức độ 3 ] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn , , Tính giá trị của biểu thức

Câu 5

[Mức độ 3 ] Cho hai hàm số và có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn hệ thức

Tính

Câu 6

Ta có f x g x x f x  g x    f x g x dxx f x  g x dx.

x

Vì f  1 g 1 C C4

Do đó f x  g x  4

x

4

1

I  f x g x  x

Lời giải

Ta có f x  f x  sinx

, với mọi xR nên suy ra ex f x ex f x  e sinx x, với mọi xR

 

ex f x  e sinx x

 

   

hay

 

ex f x dx e sin dx x x

1

2

x f x x x x

2

π

2

Lời giải

Từ giả thiết, ta có x x 1  f x f x  x2x 

 

 2  

1

 

f x



   

1

x

f x

x x x





 hay x  x1.f x   x ln x 1 C

Mặt khác, ta có f 1 2ln 2 nên C  Do đó 1 1.  

x

f x

Với x  thì 2  

2

2 2

Suy ra

3 2

a 

và

3 2

b 

Vậy

2 2 9

2

a b 

[Mức độ 3] Cho là hàm số liên tục trên thỏa mãn với mọi và Tính

Câu 7

[Mức độ 4]

Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện và Giá trị , với Tính

Câu 8

Lời giải

Ta có:  f x  2 f x f x    15x412x

, x  

    15 4 12

f x f x  x x

    

1 3 6

f x f x x x C

Do f  0 f  0 1 nên ta có C 1 1. Do đó: f x f x    3x56x21

 

1

3 6 1

2 f x x x



     

   f2 x x64x32x C 2

Mà f  0 1

nên ta có C 2 1. Do đó f2 x x64x32x1

Vậy f2 1 8

Lời giải

0;1

x

  2   4

x xf x   f x   x 4 2f x  xf x   x24x2xf x  x f x2  

 

   

 

2 2

2







   

2 4



 



  

 

Đặt tsinx dtcosx xd , đổi cận

1

x  t

,

3

x  t

3 2 2 2 1 2

4 d

t t

f t



  

3

2 2

1 2

t

f t



2

2

1 3

2

2 f

f

   

   

   

   

 

 

 

 

a b



[Mức độ 4 ] Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn , và Tính

Câu 9

[Mức độ 4] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng và , Biết rằng , và ,

Tính tích phân theo và

Câu 10

Lời giải

1

0

'

x

e f x  f x dx ae b  



 

1

'

0

x

e f x dx ae b

 

      1  1  0 1

0

x

Vậy a1;b1

2018 2018 2

Q a b 

Lời giải

 1; 

x

1 (x 1) thì ta được:

2 2

2

( 1)

2 ( 1)

3

x x

x





( ) 1

x







2

1

( )

f x







 

2

1







0 0

1

3 1

x

x





f

[Mức độ 4] Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn Biết

Tính

Câu 11

[Mức độ 3 ] Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên Biết đẳng thức được thỏa mãn Tính giá

trị

Câu 12

LÝ THUYẾT.

I ===I

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

II ===I

1



Câu 1

DẠNG 2: Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức

         

u x f x   u x f x   h x

Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức u x f x    u x f x    h x    2

Biết trước u x h x   , Tìm f x  ?

Phương pháp chung:

Cơ sở của phương pháp 2

u u v uv



 Bước 1 Chia hai vế của (2) cho u x  ta được2( ) 0

 

 

 

2

u x f x u x f x h x



 

       

 

 

 

2 d ( )

x

u x u x

 

2 d ( )

h x x

u x



, từ đó suy ra f x .

Lời giải

Với x  , ta có0

xf x f x

xf x f x x

x











  2

f x x Cx

Vì f  1  nên 1 C  Do đó 0 f x  x2 Vậy

 

1 4

0

1

x

xf x x x x 

 2 

f

Câu 2

 1 

f

Câu 3

1

0

d



Câu 4

Lời giải

2

2 3 xf x f x 2 3 f x 2 3





 

f x

x

   

Do f  1 4

nên C  0 f x  x33x2

Vậy f  2 20

Lời giải

Ta có:

 

 

 

 

 

 

2

f x f x f x

x C

   

 

 

 

   

2 ln

2

x

     

2

4

; 0 1; 2

x

x x

f x e   f e

Lời giải

Xét x  :0

Từ giả thiết 3 f x  xf x  x2018

,nhân hai vế cho x2 ta được

 

 

4

4

0

f

f

Câu 5

 1  .

f

Câu 6

Chia hai vế cho x6 ta được:

     





Suy ra

  2014   2015

1 2015



2018

2015

x

C  f x 

1

0

f x x x x x 



 

Lời giải

Chia cả hai vế cho e x ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

1

3

x

x

e f x e f x

e

¢

-¢

¢

Cho x  , ta có 4

 

4

4 9

f

C

e  

Cho x  , ta có 0  

1 0 3

f  C

Vậy

 

 

4

0

3

f

f

Lời giải

Chia hai vế cho e x2 để thu được đạo hàm đúng, ta được

( )

2 2

2 2

2

2

2

2

2 2

x

f x

e

¢

é ù

¢ - ê ú

= Û ê ú=

ë û

Û = +

 1  .

f

Câu 7

 1 

f 

Câu 8

P a b  

Câu 9

Cho x  , ta có 0 Cf  0  Suy ra ( )2 f x =(x2 - 2)e x

Cho x  , ta có 1 f  1  e

Lời giải

Chia hai vế cho e 2018x để thu được đạo hàm đúng, ta được

 

2

2018



Thay x  vào hai vế ta được 0 C2018 f x x20182018e2018x

Vậy f  1 2019e2018

Lời giải

 

2 0 f x 2

f x f x

f x



 

ln f x  2

Thay x=1 vào hai vế ta được C=- Þ2 f x( )=e2x- 2

Vậy f  1 e3

Lời giải

Ta có

f

Câu 10

2

2

sin cos cot sin

sin 1

sin sin 2

x f x x f x

x

 



 

      

 





ta có

18 3 36 2 sin

3

C C

     

        







ta có

6

72 6 144 2 sin

6

f

C



 

 

       

Khi đó

2 1 3

6 48 3

f

f



 

  

 

     

Lời giải

Vì x   nên ta có :(1; ) x f x2  ( ) 2 ( ) ln  xf x  xx4 xf x( )

2

x



x





( ) ln

f x x

x C x

  2

2

( ) ln

( )

ln

x x C

f x x



ln

x

x

   

Do đó

8 (2) =

ln 2

f

DẠNG 3: Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thức f x  f x g x 

Biết trước g x 

Tìm f x 

Từ đẳng thức f x f x  g x 

e f x e f x e g x

e f x  e g x

Suy ra:

e f x e g x x f x

Các dạng mở rộng

1)  f x e  kx  e f x kx  ke f x kx  

2)  f x e  kx  ekx.f x  ke f x kx   ekx f x( ) kf x( )

3)  f x e  kx  ekx f x( ) 2 kf x( )k f x2 ( )

4)  f x e  kx  e kx f x( ) 2 kf x( )k f x2 ( )

.

Lời giải

Ta có f x   0

với mọi x thuộc nên f x 2f x 0

 

f x

f x



 

ln f x( )  2 ln f x   2x C f x  e 2x C

Suy ra f 1 e2 1 2  e4

LÝ THUYẾT.

I

=

=

=

I

II

=

=

=

I

[Mức độ 3 ] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn và với mọi Biết và Tính

Câu 1

Lời giải

Ta có

( ) 2 ( ) 0 ( ) 2 ( ) f x( ) ( ) 2

f x

¢

(do f x >( ) 0

)

( )

(ln ( )f x )¢= Û2 lnf x( ) =2x C+

(do f x >( ) 0

)

4

1

e

Lời giải

Ta có: f x( )+f x¢( ) = - 2," Î ê úx é ùë û0;2.

e f x e f x¢ e

e f x  e

( ) ( 2 d) 2

Do f  0  nên 2 C  4

x

e

Vậy

 

1

0

Lời giải

Ta có: f x( ) +f x¢( ) = " Î -êx x, éë 1;1ùúû.

e f x e f x¢ xe

[Mức độ 3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và Biết rằng , Tính giá trị của

Câu 2

[Mức độ 3 ] Cho hàm số liên tục; có đạo hàm trên đoạn và thỏa mãn, Tính .

Câu 3

[Mức độ 3 ] Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên đoạn và , Tính .

Câu 4

( )

e f x ¢ xe

( ) d

e f x xe x xe e C

Do f( )0 = - 1

nên C = 0 Khi đó: e f x x ( ) =xe x- e x Þ f x( ) = -x 1