BÀI TẬP GIẢI TÍCH Chương I VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Hãy viết phương trình mặt phẳng đi qua hai tiếp tuyến với hai thiết nói trên với mặt cầu tại... Tính thể tích vật trong không gian giới hạn bởi mặt cong có phương 87... Tìm tọa độ trọng

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2

Nguyễn Xuân Viên

Chương I VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

2.5 ( , ) = . 1 + ( + ) ế ( , ) ≠ (0,0)

0 ế = = 0

ℎô ê ụ ạ (0,0): lim( , )→( , ) ( , ) = = 1 ≠ (0,0), V455

3 Chứng minh rằng hàm số = ( , )

3.1 = ( + + ) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

3.2 = + thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng

− + − = 0; ( ), ( ) là các hàm khả vi { 422}

5 Đưa phương trình đạo hàm riêng theo các biến x, y về phương trình đạo hàm riêng theo các biến u, v biết rằng

2( − ) = (V342) 5.4 Phương trình + 2 + = 0 và == −+ , từ đó tìm

từ đó suy ra hàm số này không khả vi tại (0,0); (0,0) = (0,0) = 0 b) , có liên tục tại (0,0) không? { ℎô , 456 }

7 Cho hàm số

0 ế = = 0a) Chứng minh ( , ) khả vi trên toàn mặt phẳng;

, ê ụ ạ ( , ) ≠ (0,0); ℎả ạ (0,0) ℎ đ

b) có (0,0) = 0; (0,0) = 1;

c) Hàm này không thỏa mãn điều kiện nào của định lý Schwarz

0 ế = = 0Chứng minh rằng

a) ( , ) có các đạo hàm riêng , gián đoạn tại (0,0);

b) Chứng minh các đạo hàm riêng cấp một , liên tục

ợ ý: (0,0) = (0,0) = 0, ℎ = + , = + { = 1 + ; đó , , → 0 ℎ , → 0 ( 438)}

12 Ứng dụng vi phân hàm hai biến , tính gần đúng giá trị

12.1 32 59 {0,2726; đú : 0,2729}

12.2 (4,05) + (3,13) {5,11800, đú : 5,118535}

13 Tính đạo hàm

tại (1,1) theo hướng phân giác góc vuông thứ nhất √

14 Tìm góc giữa các gradient của hàm số = tại các điểm ( , ) và (1,1) =

( − , − ) = 0 trong đó ( , ) là hàm khả vi thì

25 Qua điểm M(3,4,12) của mặt cầu + + = 169 vẽ hai mặt

phẳng vuông góc với các trục Ox, Oy tương ứng Hãy viết phương trình

mặt phẳng đi qua hai tiếp tuyến với hai thiết nói trên với mặt cầu tại

27 Chứng minh rằng pháp tuyến với mặt (tròn xoay)

= + ; ≠ 0, tại điểm bất kỳ đều cắt trục qoay (0z)

28 Tìm bán kính cong R của đường cong (độ cong k =1/R)

28.1 = − 4 − 18 tại gốc tọa độ (Бер 1529) = ; = 36

28.2 Axtroit: = , = tại = (Бер 1544) =3

228.3 Cardioid: = (1 + )

b) Tính gần đúng bằng vi phân giá trị (0,1; 1,1) { (0,1; 1,1) = 2,05} ( 456)

32 Tìm cực trị hàm

32.1 = + 3 − 15 − 12

{(1,2) ; (−1, −2) ; (−2, −1) = 28 ; (2,1) = −28, 449}

32.2 = ( − 4 + 2 ) { (1,2) = −2 , 96} 32.3 = ( − 2 ) {(0,0) ; (−4, −2) = 8 , 97}

, 1,1 = 4, 423 32.13 = 2 + + − − 6 − 2 + 2

33.1 Hàm = + trong điều kiện + = 1 , =

33.2 Hàm = + 2 trong điều kiện + = 5

33.9 (Viên) Hàm = trong điều kiện

Gợi ý: Đưa về cực trị có điều kiện hàm hai biến: = − + 2 trong điều

kiện + = 2 hoặc thành lập hàm Lagrange cho hệ điều kiện = +

+ ( + − 2) + ( + − 2)

34 Tìm tam giác có chu vi 2p khi quay xung quanh một cạnh nào đó tạo

thành vật tròn xoay có thể tích lớn nhất

= = , = = , 463

Gợi ý: trục quay cạnh y thì ~ = ( )( )( ) Có thể giải ngắn bằng PP

sử dụng2 lần bđt Cauchy cho 2 số: thoạt đầu cho ( − ) và ( + − )

35 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập compact

Chương II TÍCH PHÂN BỘI

39 Hãy đổi thứ tự trong các tích phân sau:

Gợi ý: Đổi biến { 628}

42 Tính = ∬ ; trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi đoạn thẳng

AB với A(0,2), B(1,1) và cung tròn tâm (0,1) bán kính 1 {1/6, 628}

43 (Viên)Tính = ∬ ; trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi các

50 (Viên) ∬ ; trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi đường

61 (Viên) Tính tích phân suy rộng = ∬ ; trong đó D là miền

phẳng giới hạn bởi các đường = 1, = , = 0

62 (Viên )Tính tích phân suy rộng ∬ ; trong đó D là miền phẳng

82 Tính thể tích vật trong không gian giới hạn bởi mặt cầu

+ + = và phía ngoài của mặt nón = + √2, 487

83 Tính thể tích vật trong không gian giới hạn bởi mặt cong có phương

87 Tìm moment quán tính của miền phẳng D giới hạn bởi Hypebol = 4

và đường thẳng + − 5 = 0 đối với đường thẳng ∆: =

16 2 − , 492

Gợi ý: Moment quán tính của D đối với đường thẳng ∆ là

∆ = ∬ ∆( , ) ; trong đó ∆( , ) là khoảng cách từ điểm ( , ) ∈

đến ∆

88 Tìm moment quán tính của miền phẳng D giới hạn bởi Parabol =

và đường thẳng − = 0 đối với đường thẳng ∆: = − , 493

89 Tìm tọa độ trọng tâm của hình phẳng giới hạn bởi các trục tọa độ và

105 Chứng minh rằng, mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, đáy

là đường cong C: AB, chiều cao = ( , ), ( , ) ∈ có diện tích tính được theo công thức

a) Trong miền nào trên mặt phẳng thì tích phân đường

= ∫: + không phụ thuộc đường cong L nối A, B?

(−1,2), (1,2) và L là đường cong = 1 + theo hai cách: tích phân không phụ thuộc đường cong ( theo đường thẳng AB) và công thức (1)

{ ∶ ≠ 0; ∶ ≠ 0} = −2 = 2 2 − = ( ) − ( )

{ ℎ đó ( ) − ( ) = 2 2, tức là không phải hàm thế năng của ⃗ trong bài toán này.} (V500)

109 Tính tích phân đường loại hai

a) = ∮ ( ) ( ) ; : + = theo chiều kđh {2 }

b) = ∮ ( ) ( ) ; là đường cong tùy ý (trơn hoặc trơn từng

khúc) bao quanh gốc tọa độ O ngược kđh {−2 }

c) = ∫: ( ) ( ) ; (−1,1), (1,1), : = + (hoặc

L là đường cong nào đó không cắt trục Ox) { /2, 501}

Gợi ý c): Chứng minh tích phân không phụ thuộc đường cong sau đó có thể tính trực tiếp trên đường thẳng nối A, B hoặc tìm hàm thế năng trong miền đơn liên chứa L:AB là = ( + ) + ( ≠ 0)

110 Tính ∫ : ( + − 2 ) + − 4 + 1 trong đó C là đường Elip − + = 1 nối (−1, −1), (1,1) {−1/3, 505}

111 Tính ∫: + − ; là đường nối (1,0, −3), (6,4,8) {−2}

Gợi ý: ( , , ) = ∫ ( , , ) + ∫ ( , , ) + ∫ ( , , )

= ( ) − ( )

112 Tính công của lực hút trái đất nếu chất điểm có khối lượng m dịch

chuyển từ điểm ( , , ) đến điểm ( , , ) { − }

Gợi ý: lực hút ( , , ) = (0,0, )

113 Chứng minh rằng, nếu ( ) là hàm liên tục và C là đường cong kín trơn từng khúc thì ∮ ( + )( + ) = 0 { 507}

Chú ý không sử dụng được công thức Green vì thiếu điều kiện f khả vi

114 Chứng minh rằng, nếu C là đường cong kín, s là độ dài cung, ⃗ là

vectơ pháp tuyến ngoài của C thì

( ,⃗ ⃗) = 0

{ 507}

115 Chứng minh rằng, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong

kín C tính được theo công thức: = ∮ { 508}

116 Áp dụng bài 115 tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường

trong các trường hợp sau:

a) C là biên của miền phẳng giới hạn bởi hai đường tròn + = 1 và

+ = 2 theo chiều dương;

b) C là nửa đường tròn ( − 2) + = 1, ≥ 0 theo chiều tăng của x

đường cong lấy tích phân C Từ đó tính tích phân I trong các trường hợp

sau: ℎ( ) = a) (1,1), 1, √3 ; + 2

123 (Viên)Tìm hàm ℎ( ); = + thỏa mãn điều kiện ℎ(1) = 1 sao

cho tích phân = ∫ : ℎ( )( − ) không phụ thuộc vào đường

cong lấy tích phân C Từ đó tính tích phân I trong trường hợp sau:

126 Tìm khối lượng mặt của của hình lập phương {0 ≤ ≤ 1,0 ≤ ≤ 1},

0 ≤ ≤ 1 Nếu mật độ mặt tại điểm ( , , ) là = , 73

127 Tính ∬( ) + + ; trong đó ( ) là 1/8 mặt cầu

+ + = ( ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0) , 517

của nửa mặt cầu + + = ( ≥ 0) , 518

129 Sử dụng công thức Stox, tính

− , 79

132 Tính

a) ⃗ { } b) ⃗ ⃗ {0}c) ( ⃗) ⃗ ⃗ + ⃗ d) ⃗( ⃗) ⃗ ⋀⃗+ ⃗ ⃗

(V524)

133 Chứng minh rằng, nếu (S) là mặt cong kín (trơn hoặc trơn từng mảng),

⃗ là một hướng cố định bất kỳ, ⃗ là vectơ pháp ngoài của (S) thì

Chương IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giải các phương trình phân ly biến số hoặc phương trình đưa về phân ly

146 Tìm đường cong đi qua điểm (2,0) mà đoạn thẳng tiếp tuyến nằm

giữa tiếp điểm và trục Oy có độ dài không đổi bằng 2

167 Tìm đường cong mà tung độ của điểm cắt trục tung của tiếp tuyến bất

kỳ nhỏ hơn 2 đơn vị so với hoành độ tiếp điểm

Gợi ý:Sử dụng định lý tồn tại duy nhất nghiệm, nghiệm đặc biệt

Định lý về cấu trúc nghiệm của phương trình tuyến tính cấp hai (202-209)

202 Các hàm , thỏa mãn phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất Lập pt đó và tìm NTQ { − 6 + 12 = 0, 585}

203 Các hàm , thỏa mãn phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất Tìm nghiệm của pt thỏa mãn (1) = 1, (1) = 0 = 3 − 2 3

204 Giải pt + + = 0 biết một nghiệm =

217 ( + 1) − 2 + 2 = ( + 1) biết rằng phương trình thuần nhất có nghiệm là các đa thức