Vi phân suy rộng của hàm khoảng cách và ứng dụng

Ước luợng dưới vi phân qua giới hạn của hàm khoảng cách.. Nam 2005 thu được các côngthức ước lượng dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân qua giới hạn của hàmkhoảng cách và các mở rộng của

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1.1 Các khái niệm cơ bản 41.2 Ước luợng dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách 6

2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 162.2 Ước luợng dưới vi phân qua giới hạn của hàm khoảng cách 19

3.1 Bài toán Fermat-Torricelli cổ điển 303.2 Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng 32

Kết luận 37

MỞ ĐẦU

Hàm khoảng cách đóng vai trò nổi bật trong giải tích biến phân và lýthuyết tối ưu Nó thường xuất hiện khi chúng ta sử dụng các kỹ thuậtphạt, xấp xỷ và nhiễu để giải các bài toán tối ưu, điều khiển tối ưu vàkhảo sát các tính chất ổn định của các hệ ràng buộc và hệ biến phân chứatham số (xem [1, 2, 3, 6])

Ngay cả khi dữ liệu bài toán là trơn thì hàm khoảng cách cũng có thểkhông trơn Vì thế, việc nghiên cứu các tính chất vi phân suy rộng củahàm khoảng cách là cần thiết và quan trọng

Hướng nghiên cứu này đã và đang thu hút được sự quan tâm củanhiều nhà toán học A Shapiro (1987, 1988) tiến hành khảo sát tínhchất khả vi theo hướng L Thibault (1991) đưa ra các công thức tínhdưới vi phân Clarke Đối với dưới vi phân Fréchet, một số công thức ướclượng đã được thiết lập dưới những điều kiện nhất định bởi A Jourani,

L Thibault, J M Borwein, Nhiều kết quả liên quan khác cũng có thể tìmthấy trong các nghiên cứu của R T Rockafellar, F H Clarke, R B Vinter,

A D Ioffe, R A Poliquin

Gần đây, B S Mordukhovich và N M Nam (2005) thu được các côngthức ước lượng dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân qua giới hạn của hàmkhoảng cách và các mở rộng của chúng Đặc biệt là chúng được sử dụng

để khảo sát tính chất ổn định Lipschitz của các ánh xạ đa trị và nghiêncứu thành công một số bài toán thực tế (xem [4, 5])

Với mục đích hệ thống lại, trình bày chi tiết và phân tích một số kết quảgần đây về vi phân suy rộng của hàm khoảng cách, tạo điều kiện thuận

lợi cho việc tham khảo và sử dụng chúng, trên cơ sở bài báo Subgradient

of distance functions with applications to Lipshitzian stability [Math.Program Ser B 104, (2005) 635-668] và một số tài liệu liên quan, chúngtôi đã tiếp cận và thực hiện nghiên cứu đề tài "Vi phân suy rộng củahàm khoảng cách và ứng dụng"

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Danh mục các tài liệu tham khảo,luận văn được chia thành ba chương Chương 1 được dành cho các ướclượng khác nhau của dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách và mốiliên hệ giữa dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách và nón pháp tuyếnFréchet của tập tương ứng Chương 2 trình bày các kết quả liên quan đếndưới vi phân qua giới hạn của hàm khoảng cách và mối liên hệ của chúngvới nón pháp tuyến qua giới hạn Bài toán Fermat-Toricelli suy rộng vàứng dụng của các kết quả được trình bày ở phần trước vào việc khảo sátbài toán này được giới thiệu ở Chương 3

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn tới Thầy về sự hướng dẫn Nhân dịp này, tác giả xin cám ơn các Thầy

Cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, khoa Sau Đại học của Trường Đạihọc Vinh, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tácgiả trong suốt quá trình học tập

Mặt dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và bạn bè

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Phạm Thị Hiền

CHƯƠNG 1DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET CỦA HÀM KHOẢNG CÁCH

Chương này trình bày một số ước lượng của dưới vi phân Fréchet hàmkhoảng cách và các mở rộng của chúng, mối quan hệ giữa nón pháp tuyếnFréchet của một tập hợp với dưới vi phân hàm khoảng cách tương ứng vớitập hợp đó

1.1 Các khái niệm cơ bản

Trong mục này, nếu không nói gì thêm, không gian định chuẩn được xétđến là không gian Banach thực X có không gian đối ngẫu tôpô là X∗ và

Ω là một tập con khác rỗng của X

1.1.1 Định nghĩa (i) Với mỗi ε > 0, tập ε− pháp tuyến Fréchet của

Ω tại x ∈ Ω¯ được xác định bởi

ở đây x → ¯Ω x nghĩa là x → ¯x với x ∈ Ω Nếu x /¯ ∈ Ω thì Nbε(¯x; Ω) := ∅ vớimọi ε > 0

(ii) Khi ε = 0, tập N ¯b x; Ω
:= Nb0 x; Ω¯
được gọi là nón pháp tuyếnFréchet của tập Ω tại điểm x ∈ Ω¯

1.1.2 Nhận xét Nếu Ω là một tập con lồi của X thì nón pháp tuyếnFréchet của Ω tại x¯ trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa của giải tích lồi,tức là

b

N ¯x; Ω
= nx∗ ∈ X∗|hx∗, x − ¯xi 6 0, ∀x ∈ Ω

o

1.1.3 Định lý Cho X1, X2 là các không gian Banach, Ωi là tập concủa Xi (i = 1, 2) và (x1, x2) ∈ Ω1 × Ω2 Khi đó,

1.1.5 Nhận xét Ta luôn có N (¯b x; Ω) = b∂δ(¯x; Ω), ở đây δ(x; Ω) := 0nếu

x ∈ Ω và δ(x; Ω) := +∞ nếu x ∈ X\Ω là hàm chỉ của Ω Nếu ϕ là mộthàm lồi thì ∂ϕ(¯b x) trùng với dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi, tức là

b

∂ϕ(¯x) = {x∗ ∈ X∗| hx∗, x − ¯xi 6 ϕ(x) − ϕ(¯x) ∀x ∈ X}

1.1.6 Định nghĩa Cho Z, X là các không gian Banach và F : Z ⇒ X

là một ánh xạ đa trị Ta nói F có tính chất Lipschitz-like quanh điểm

(¯z, ¯x) ∈ gphF := (z, x) ∈ Z × X | x ∈ F (z) nếu và chỉ nếu tồn tại

` > 0, W ∈ N (¯z) và U ∈ N (¯x) sao cho

F (z1) ∩ U ⊂ F (z2) + `kz1− z2kB,

với mọi z1, z2 ∈ W, ở đây N (¯z) và N (¯x) tương ứng là tập hợp tất cả cáclân cận mở của z¯và x¯, B là hình cầu đơn vị đóng trong X

1.1.7 Định lý (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) là một khônggian mêtric đầy đủ, ϕ : X → R ∪ {+∞} là một hàm chính thường, nửaliên tục dưới và bị chặn dưới trên X Giả sử ε > 0 và x0 ∈ X thỏamãn ϕ(x0) 6 inf

X ϕ + ε Khi đó, với mỗi λ > 0, tồn tại xλ ∈ X sao cho:

(i) ϕ(xλ) 6 ϕ(x0);

(ii) d(xλ, x0) 6 λ;

(iii) ϕ(x) + ε

λd(x, xλ) > ϕ(xλ) với mọi x ∈ X\{xλ}

1.2 Ước luợng dưới vi phân Fréchet của hàm khoảng cách

Mục này trình bày một số ước lượng dưới vi phân Fréchet của hàm khoảngcách và các mở rộng của chúng

1.2.1 Mệnh đề Cho F : Z ⇒ X là ánh xạ đa trị giữa các không gianBanach, (¯z, ¯x) ∈ Z × X, r := d ¯x; F (¯z)
và Fr là một mở rộng của F,nghĩa là Fr(z) := x ∈ X | d(x; F (z) 6 r với mọi z ∈ Z Khi đó, cáckhẳng định sau đây là đúng đối với bất kỳ ε ≥ 0

(i) Nếu r = 0 thì

b

∂ερ(¯z, ¯x) ⊂

n(z∗, x∗) ∈ bNε (¯z, ¯x); gphFr
, kx∗k 6 1 + εo.(ii) Nếu r > 0 thì

với mọi (z, x) ∈ intBδ(¯z) × intBδ(¯ ∩ gphFr Điều này có nghĩa là

(z∗, x∗) ∈ bNε (¯z, ¯x); gphFr
Trong (1.1), đặt z = ¯z, ta suy ra x∗ ∈b

∂εd ¯x, Ω
với Ω := F (¯z) Điều này kéo theo kx∗k ≤ 1 + ε trong cả haitrường hợp (i) và (ii) Vì d(., Ω) là hàm liên tục Lipschitz với modulus

` = 1 Nếur > 0 như ở trong trường hợp (ii), chúng ta nhận được x /¯ ∈ clΩ

và do đó 1 − ε 6 kx∗k 6 1 + ε Mệnh đề đã được chứng minh 

1.2.2 Định lý Cho F : Z ⇒ X là một ánh xạ đa trị có đồ thị đóng

và hàm khoảng cách ρ(z, x) := d x; F (z)
(z ∈ Z, x ∈ X) là Lipschitzđịa phương quanh điểm (¯z, ¯x) ∈ Z × X với r = d ¯x, F (¯z)
, ở đây Z và

X là các không gian Banach Khi đó, các khẳng định sau đây là đúngđối với bất kỳ ε ≥ 0 đủ nhỏ

(i) Nếu r = 0 thì tồn tại α > 0 không phụ thuộc vào ε sao cho

Chứng minh Đầu tiên chứng minh cho khẳng định (i) với r = 0 Vì

F có đồ thị đóng nên trong trường hợp này Fr = F và x ∈ F (¯¯ z) Lấy

(z∗, x∗) ∈ bNε (¯z, ¯x), gphF
thỏa mãnkx∗k 6 1+ε Từ định nghĩaε−pháptuyến ta thu được

Cho (z, x) → (¯z, ¯x) trong cả hai trường hợp (z, x) ∈ gphF và (z, x) /∈gphF, ta có

kx0k = 1 và hx∗, x0i ≥ 1 − ε − η > 0 Theo định nghĩa của ε−pháp tuyến,tồn tại δ > 0 để với mọi (z, x) ∈ intBδ(¯z) × intBδ(¯
∩ gphFr, ta có

hz∗, z − ¯zi + hx∗, x − ¯xi 6 (ε + η)(kz − ¯zk + kx − ¯xk) (1.3)

Vì hàm ρ Lipschitz địa phương quanh điểm (¯z, ¯x) ∈ gphFr nên hàm

ρr(z, x) := d x, Fr(z)
là Lipschitz địa phương quanh điểm (¯z, ¯x) vớicùng modulus Lipschitz Do đó, sử dụng khẳng định (i) của định lý, chúng

và lấy (z, x) ∈ (¯z, ¯x) + ¯δ(B × B) Xét hai trường hợp sau đây của (z, x):

Tiếp theo xét trường hợp (b) Ta có d x; F (z)
6 r Đặt

Đặt α := max{α, 2` + 1}e , trong đó αe đã được chọn trong (1.4) Với lưu ýrằng η > 0 đươc chọn tùy ý, ta suy ra (z∗, x∗) ∈ b∂αερ(¯z, ¯x) 

1.2.3 Hệ quả Dưới các giả thiết của Định lý 1.2.2, với (¯z, ¯x) /∈ gphF,

ta có

b

∂ρ(¯z, ¯x) =

n(z∗, x∗) ∈ bN (¯z, ¯x); gphFr
, kx∗k = 1o, (1.6)với r = d ¯x; F (¯z)
Đặc biệt, nếu Ω là một tập con đóng khác rỗng củakhông gian Banach X, thì

b

∂d(¯x; Ω) = bN (¯x, Ωr) ∩ S∗, (1.7)với r = d(¯x; Ω) > 0, ở đây Ωr :=

n

x ∈ X | d(x; Ω) 6 r

o

và S∗ là mặtcầu đơn vị đóng trong X∗

Chứng minh Theo khẳng định (ii) của Mệnh đề 1.2.1 với ε = 0,

b

∂ρ(¯z, ¯x) ⊂

n(z∗, x∗) ∈ bN (¯z, ¯x); gphFr
, kx∗k = 1o

Theo khẳng định (ii) của Định lý 1.2.2 với ε = 0,

Nói riêng ra,

b

N (¯x; Ωr) = [

λ≥0

λ b∂d(¯x; Ωr),

ở đây r = d(¯x, Ω) và Ω là một tập con đóng khác rỗng của X

Chứng minh Tương tự như trong chứng minh của Hệ quả 1.2.3, chúng

ta có thể suy ra công thức thứ hai từ công thức thứ nhất với F (z) ≡ Ω

Từ Mệnh đề 1.2.1 ta suy ra

[

λ>0

λ b∂ρ(¯z, ¯x) ⊂ N (¯z, ¯x); gphFr

Vì ρ Lipschitz địa phương quanh điểm (¯z, ¯x) ∈ gphF nên ρr(z, x) :=

d x; Fr(z)
cũng Lipschitz địa phương quanh điểm (¯z, ¯x) Do đó, ánh

xạ đa trị Fr là Lipschitz-like quanh điểm (¯z, ¯x) ∈ gphFr Lấy bất kỳ

(z0∗, x∗0) ∈ bN (¯z, ¯x); gphFr
Nếu x∗0 = 0 thì, do Fr là Lipschitz-like quanhđiểm (¯z, ¯x), z0∗ = 0 Với quy ước 0 · ∅ = 0, ta có

Theo Hệ quả 1.2.3, (z0∗, x∗0) ∈ λ b∂ρ(¯z, ¯x) Ta có điều phải chứng minh 

1.2.5 Định nghĩa ChoX là một không gian Banach, Ω ⊂ X và x ∈ X

Ta gọi Π(x, Ω) := {u ∈ Ω | ku − xk = d(x; Ω)} là tập các hình chiếu của

¯ y∈Π(¯ x,F (¯ z))

b

Nε (¯z, ¯y); gphF
, 1−ε 6 kx∗k 6 1+εo

Nói riêng ra,

b

∂εd(¯x; Ω) ⊂ \

¯ y∈Π(¯ x,Ω)

∂εd(.x; )¯ khi x /¯ ∈  := clF (¯z) Do đó, 1 − ε 6 kx∗k 6 1 + ε Điều nàychứng tỏ

b

∂ερ(¯z, ¯x) ⊂

n(z∗, x∗) ∈ \

¯ y∈Π(¯ x,F (¯ z))

b

Nε (¯z, ¯y); gphF
, 1−ε 6 kx∗

k 6 1+εo

Từ đó, bằng cách đặt F (z) = Ω, ta thu được bao hàm thức thứ hai 

1.2.7 Định lý Cho Z, X là các không gian Banach, F : Z ⇒ X làánh xạ đa trị có đồ thị đóng và (¯z, ¯x) /∈ gphF Với η > 0, đặt

1 − ε 6 kx∗k 6 1 + εo

Nói riêng ra, với bất kỳ tập đóng Ω và x /¯∈ Ω, ta có

Nε+η(¯x; Ω) ∩ [1 − ε, 1 + ε]S∗

o,

trong đó Πη(¯x; Ω) := x ∈ Ω | kx − ¯xk 6 d(¯x; Ω) + η

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh bao hàm thức thứ nhất ở trong định

lý, bởi vì bao hàm thức còn lại được suy ra từ bao hàm thức thứ nhấtbằng cách đặt F (z) = Ω với mọi z ∈ Z Lấy (z∗, x∗) ∈ b∂ερ(¯z, ¯x) và η > 0.Với bất kỳ γ ∈ (0, η2), tồn tại δ > 0 sao cho

Điều này kéo theo

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh 

CHƯƠNG 2DƯỚI VI PHÂN QUA GIỚI HẠN CỦA

HÀM KHOẢNG CÁCH

Chương này được dành để khảo sát dưới vi phân qua giới hạn của hàmkhoảng cách và mối quan hệ giữa nó với nón pháp tuyến qua giới hạn củatập tương ứng

2.1.2 Nhận xét Tập N (¯x, Ω) có thể không lồi Trong trường hợp Ω làtập lồi, ta có

N (¯x, Ω) = bN ¯x; Ω
= nx∗ ∈ X∗|hx∗, x − ¯xi 6 0, ∀x ∈ Ω

o

Nếu Ω là tập đóng và X là không gian Asplund, tức là X là không gianBanach có tính chất: mọi không gian con đóng khả ly của X có khônggian đối ngẫu khả ly, thì trong (2.1) ta có thể lấy ε = 0.

2.1.3 Định nghĩa Cho ϕ : X → ¯R := [−∞, ∞] là hữu hạn tại x¯.Dưới

vi phân qua giới hạn của ϕ tại x¯ được xác định bởi

và (¯x, ¯y) ∈ gphF :=

n(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)

o Đối đạo hàm của F

tại (¯x, ¯y) là ánh xạ đa trị D∗F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗ được xác định bởi

2.1.7 Định nghĩa Cho ϕ : X → ¯R := [−∞, ∞] là một hàm số hữuhạn tại x¯.Dưới vi phân qua giới hạn suy biến của ϕ tại x¯ là tập ∂∞ϕ(¯x)

2.1.9 Nhận xét Mọi không gian Banach phản xạ đều có một chuảntương đương là chuẩn Kadec

2.1.10 Định nghĩa Cho ϕ : X → ¯R := [−∞, ∞] là hữu hạn tại x¯.Dưới vi phân qua giới hạn phải của ϕ tại x¯ được xác định bởi

K

(xk, yk) → (¯x, ¯y) và (x∗k, yk∗) ∈ bNεk (xk, yk); K

2.2 Ước luợng dưới vi phân qua giới hạn của hàm khoảng cách

Mục này trình bày một số ước lượng dưới vi phân qua giới hạn của hàmkhoảng cách

2.2.1 Định lý Cho Z, X là các không gian Banach, F : Z ⇒ X làmột ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, (¯z, ¯x) /∈ gphF và r = ρ(¯z, ¯x).Giả sửrằng gphFr là một tập đóng Khi đó,

(i) Bao hàm thức

∂>ρ(¯z, ¯x) ⊂ N (¯z, ¯x); gphFr
∩ (Z∗ × B∗) (2.8)

là đúng Nếu gphFr là SNC tại (¯z, ¯x) đối với X, thì

∂>ρ(¯z, ¯x) ⊂ N (¯z, ¯x); gphFr
∩ Z∗ × (B∗\{0}) (2.9)Hơn thế,

∂>ρ(¯z, ¯x) ⊂ N (¯z, ¯x); gphFr
∩ Z∗ × S∗

(2.10)nếu X là không gian hữu hạn chiều

(ii) Ngược lại, bao hàm thức

N (¯z, ¯x); gphFr
∩ Z∗ × (B∗\{0}) ⊂ [

λ>0

λ∂>ρ(¯z, ¯x) (2.11)

là đúng nếu ρ là Lipschitz địa phương quanh điểm (¯z, ¯x)

Chứng minh Trước hết ta sẽ chứng minh (2.8) Lấy (z∗, x∗) ∈ ∂>ρ(¯z, ¯x).Khi đó, tồn tại εk ↓ 0,

(zk∗, x∗k) ∈ bNεk (zk, xk); gphFr
và 1 − εk 6 kx∗kk 6 1 + εk (2.12)

Trong trường hợp ngược lại, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

(zk, xk) 6∈ gphF với mọi k Khi đó, ρ(zk, xk) > ρ(¯z, ¯x) = r với mọi k và

ρ(z, x) = r+ρr(z, x)với mọi(z, x) 6∈ gphFr, ở đâyρr(z, x) := d x; Fr(z)
.Điều này chứng tỏ

(z∗, x∗) ∈ N (¯z, ¯x); gphFr
và kx∗k 6 1 Điều này chứng tỏ (2.8) đúng.Hơn thế, nếu gphFr là SNC tại (¯z, ¯x) đối với X, thì kx∗k 6= 0 và do đó,

ta có (2.9) Khi X hữu hạn chiều, lấy giới hạn các biểu thức trong (2.12)

và (2.13) khi k → ∞, ta có kx∗k = 1 Do đó, (2.10) được chứng minh.Bây giờ chúng ta chứng minh (ii) Lấy (z∗, x∗) ∈ N (¯z, ¯x); gphFr
với

kx∗k 6= 0 Theo định nghĩa ε-pháp tuyến, tồn tại εk ↓ 0, (zk, xk) →(¯z, ¯x) và

w∗

(zk∗, x∗k) −→ (z∗, x∗) thỏa mãn

ρ(zk, xk) 6 r = ρ(¯z, ¯x) và (zk∗, x∗k) ∈ bNεk (zk, xk); gphF
,

với mọi k ∈ N Do 0 < kx∗k 6 lim inf

k→∞ kx∗kk, bằng cách thay dãy con nếucần, ta tìm được µ > 0 thỏa mãn kx∗kk > µ > 0 và εk < µ với mọi k Từ

Định lý 1.2.2, dưới giả thiết về tính Lipschitz của ρ, tồn tại một dãy bịchặn các số dương αk sao cho

Vì vậy, (ii) được chứng minh

2.2.2 Hệ quả Cho Z, X là các không gian Banach, F : Z ⇒ X làánh xạ đa trị có đồ thị đóng và (¯z, ¯x) 6∈ gphF với r = ρ(¯z, ¯x) Giả sửrằng ρ là liên tục Lipschitz quanh điểm (¯z, ¯x) và gphFr là SNC đối với

X tại điểm (¯z, ¯x) (giả thiết SNC tự động thỏa mãn nếu dimX < ∞ ).Khi đó,

w ∗

(zk∗, x∗k) → (z∗, 0) khi k → ∞ Từ giả thiết SNC của Fr đối với X ta suy

ra kx∗kk → 0 Mặt khác, nhờ tính chất Lipschitz-like của Fr quanh điểm

(¯z, ¯x) với modulus `, ta có kzk∗k 6 `kx∗kk + εk(1 + `), với mọi k ∈ N đủlớn Vì vậy, kzk∗k −→ 0 và z∗ = 0 Điều này chứng tỏ ( 2.15) đúng Từ đó

ta suy ra điều phải chứng minh

2.2.3 Hệ quả Giả sử Ω là một tập con đóng của không gian Banach

X, x 6∈ Ω¯ và r = d(¯x, Ω) Khi đó,

(i) ∂>d(¯x, Ω) ⊂ N (¯x; Ωr) ∩ B∗ Nếu Ωr là SNC tại x¯ thì

∂>d(¯x, Ω) ⊂ N (¯x; Ωr) ∩ B∗ \ {0}.

Hơn nữa, ∂>d(¯x, Ω) ⊂ N (¯x; Ωr) ∩ S∗ miễn là X hữu hạn chiều

(ii) Bao hàm thức sau đây là đúng:

N (¯x; Ωr) = [

λ>0

λ∂>d(¯x, Ω) (2.16)

Chứng minh Vì d(.; Ω) là liên tục Lipschitz nên khẳng định (i) được suy

ra từ Định lý 2.2.1 (i) với F (.) = Ω Tiếp theo, chúng ta chứng minh (ii)

Từ ( 2.8) ta suy ra quan hệ "⊃" trong (2.16) Theo ( 2.11),

(z∗, x∗) ∈ bNε (¯z, ¯x); gphF


=⇒ (z∗, x∗) ∈ λ b∂ερ(¯z, ¯x) với λ := kx∗k + ε + γ

(2.18)

Chứng minh Lấy(z∗, x∗) ∈ bNε (¯z, ¯x); gphF Khi đó, với mỗiη ∈ (0, γ),tồn tại δ ∈ (0, 1) sao cho

hz∗, z − ¯zi + hx∗, x − ¯xi 6 (η + ε)(kz − ¯zk + kx − ¯xk), (2.19)với mọi (z, x) ∈ int Bδ(¯z) × int Bδ(¯  ∩ gphF Nhờ tính liên tục trên của

ρ tại (¯z, ¯x), ta chọn được δ1 > 0 sao cho

2.2.5 Định lý Cho Z, X là các không gian Banach và F : Z ⇒ X làmột ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Giả sử ρ là nửa liên tục trên mộtlân cận của (¯z, ¯x) ∈ gphF Khi đó,

∂∞ρ(¯z, ¯x) =

n(z∗, 0) ∈ Z∗ × X∗ z∗ ∈ DM∗ F (¯z, ¯x)(0)

Ta xét hai trường hợp sau

(i){(zk, xk)}có một dãy con{(zki, xki)} ⊂ gphF Theo Mệnh đề 1.2.1(i),