TÀI LIỆU ÔN TẬP GIẢI TÍCH- PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Phương trình vi phân cấp 1 có thể chia thành các dạng chính như sau : ???? = ???? Nghiệm là: ∫ ???? = ∫ ???? Dạng này ta thấy cách làm ngay từ cái tên của nó, tức là đưa về mỗi vế của ph

TÀI LIỆU ÔN TẬP GIẢI TÍCH 1

 Tài liệu được biên soạn bởi Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến

 Đây là tâm huyết của các anh/chị/bạn trong CLB [CTCT], gửi tặng đến các em, các

bạn sinh viên K18 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU)

 Bản quyền thuộc về cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến

 Mọi ý kiến phản hồi, đóng góp xin gửi về fanpage Chúng Ta Cùng Tiến hoặc liên hệ trực tiếp tại Văn phòng: Phòng 102 – Nhà thi đấu Đại học Bách Khoa

PHẦN 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Muốn làm được dạng này trước tiên ta phải nắm vững và thuần thục các thao tác khi tích

phân bất định Phương trình vi phân cấp 1 có thể chia thành các dạng chính như sau :

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 Nghiệm là:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦

Dạng này ta thấy cách làm ngay từ cái tên của nó, tức là đưa về mỗi vế của phương trình chỉ

có một biến

Gợi ý làm bài: dạng này đề thi thường không có, ví chúng khá đơn giản, đề thi sẽ xuất hiện

phương trình vi phân cấp một dạng khó hơn một chút và ta sẽ đưa về dạng tách biến để giải,

vì vậy chúng ta cần nắm rõ cách làm dạng này, khi chúng xuất hiện trong bài toán sẽ có hai

𝑦′ =𝑔(𝑦)𝑓(𝑥)

Về bản chất 2 dạng trên là giống nhau thông qua vài biến đổi đơn giản như sau

DẠNG 1: TÁCH BIẾN

𝑦′=𝑔(𝑦)𝑓(𝑥) =

1𝑓(𝑥)1𝑔(𝑦)

= 𝐹(𝑥)𝐺(𝑌)

Thường khi ta giải phương trình vi phân cấp 1 (hay cả cấp 2 và hệ phương trình vi phân)

nghiệm sẽ “dính” 1 (hay vài) hằng số 𝐶, nếu đề bài không nói gì thêm thì ta có thể kết luận

nghiệm, nếu có thêm vài dữ kiện ví dụ 𝑦(0) = 1 thì ta phải giải cụ thể ra hằng số 𝐶 đó

Ví dụ 1.3 : Giải ptvp 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦√1 − 𝑥2𝑦′= 0

Giải :

Gợi ý : Ta viết lại dạng như nói trên phần lưu ý

𝑦′= −𝑥(𝑦 + 1)𝑦√1 − 𝑥2 = −

𝑥

√1 − 𝑥2

𝑦

𝑦 + 1

Sau đó viết lại 𝑦′= 𝑑𝑦

𝑑𝑥 và giải như bình thường

Nghiệm của phương trình là: 𝑦 − ln|𝑦 + 1| − √1 − 𝑥2+ 𝐶 = 0

nhường cho bạn đọc

Bình luận: Thật ra trong bài toán trên ta có thể đặt 𝑢 = 𝑥 − 2𝑦 cũng có thể giải ra nhưng vì

(𝑥 − 2𝑦 − 1) nằm trong một cái bình phương nên ta ưu tiện đặt u như cách trên cho đơn giản hơn

Kinh nghiệm giải:

Ở dạng tách biến này khá đơn giản chỉ lưu ý bài Ví dụ 1.4 như trên, nghĩa là nếu hai vế thấy xuất hiện một hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) (thường là bậc nhất theo 𝑥, 𝑦) bên còn lại là một hàm có thể biểu diễn theo 𝑓(𝑥, 𝑦) thì ta sẽ đặt 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦), thật vậy trong ví dụ trên ta chọn 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 −

2𝑦 + 1

𝑦′= 𝑓 (𝑦

𝑥) Cách giải, đặt

𝑢 = 𝑦𝑥Khi đó phương trình trở thành về dạng tách biến:

𝑑𝑢𝑓(𝑢) − 𝑢 =

𝑑𝑥𝑥Dạng tách biến này thường xuất hiện dưới 2 hình thức chính

1 (Dễ nhận ra) Khi bạn dùng tay che 𝑦′ đi trong phương trình, thì trong phương trình

còn lại là một hàm đa thức hai biến 𝑓(𝑥, 𝑦), trong đó tổng bậc của x,y là một hằng số,

ví dụ

𝑥𝑦𝑦′ = 𝑥2− 𝑥𝑦 + 𝑦2

Sau khi che tay ta thu được

𝑥𝑦(𝑐ℎ𝑒 𝑡𝑎𝑦) = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2

Chúng ta thấy rằng đây là một đa thức 2 biến 𝑥, 𝑦 trong đó tổng bậc của 𝑥, 𝑦 trong

mỗi số hạng là 2 Nghĩa là ta có thể nhận dạng được dạng đẳng cấp này

Sau đó ta sẽ đưa về dạng

𝑦′= 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦)Trong đó 𝑓 và 𝑔 là hai hàm đẳng cấp cùng bậc, khi đó, ta chia cả tử và mẫu cho cùng một lượng 𝑥𝑎𝑦𝑏, trong đó 𝑎 + 𝑏 là bậc của hàm đẳng cấp nói trên để đưa về 𝐹 (𝑦

𝑥), 𝑎,

𝑏 là các số phù hợp với từng bài toán

Trong ví dụ trên ta đưa về

𝑦′= 𝑥

𝑦− 1 +

𝑦𝑥

2 (Ẩn thân hơn 1 chút) Phương trình sẽ ở dạng

𝑦′= 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦)Trong đó f và g là hai hàm bậc nhất theo 𝑥 và 𝑦, và có thêm 1 “hằng số dư” nữa, nếu

nó không có “hằng số dư” thì nó sẽ ở dạng 1 bên trên

Ví dụ: 𝑦′= 2𝑥−𝑦

3𝑥−4𝑦+5

Như đã nói ở trên nếu không có “hằng số dư” pt sẽ trở về dạng 1, nên ở dạng này ta sẽ

cố gắng làm mất “hằng số dư” (sẽ phân tích trong ví dụ)

Đầu tiên ta sẽ phân tích dạng đẳng cấp 2.1, dạng này khá đơn giản để nhận ra như tác giả đã chỉ ra ở trên Ở đây chỉ nêu thêm 1 vài ví dụ để các bạn làm thử

⇒ 𝑢′𝑥 + 𝑢 =1

𝑢− 1 + 𝑢 1

𝑥𝑑𝑥 =

𝑢

1 − 𝑢𝑑𝑢 Đến đây phương trình trở về dạng tách biến, phần lời giải còn lại xin nhường cho bạn đọc

Nghiệm phương trình là −𝑦

𝑥− 𝑙𝑛|𝑥 − 𝑦| = 𝐶

Nghiệm phương trình là 𝑦 = 𝑥 √3(𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶)3

Ví dụ 1.8 : (cách giải cho dạng đẳng cấp 2.2) Giải ptvp

𝑦′= 2𝑥 − 𝑦3𝑥 − 4𝑦 + 5

Ở đây tác giả chỉ trình bày cách giải, vì đã sắp tới ngày thi rồi :)), không còn quan trọng bản chất nữa, chỉ cần biết cách làm là ok :v

Trình bày đi thi

Đặt X=x-1, Y=y-2 suy ra 𝑌′= 𝑦′, nên phương trình được viết lại thành

𝑌′= 2𝑋 − 𝑌3𝑋 − 4𝑌 =

2𝑋

𝑌 − 13𝑋

𝑌 − 4

= 𝑓(𝑋

𝑌)

Đã trở lại dạng đẳng cấp 2.1, bạn đọc tự giải tiếp

 Tóm tắt cách giải như sau

𝑦′= 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑔(𝑥, 𝑦)

Ta giải hệ phương trình bậc nhất(do đã quy ước trong dạng này là bậc nhất)

{𝑓(𝑥, 𝑦) = 0𝑔(𝑥, 𝑦) = 0

Hệ có nghiệm là {𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏

Ta đặt 𝑋 = 𝑥 − 𝑎, 𝑌 = 𝑦 − 𝑏 suy ra 𝑌′ = 𝑦 rồi đưa về dạng đẳng cấp 2.1

Đầu tiên phải kiểm tra điều kiện sau ∶ {𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

𝑃𝑦′ = 𝑄𝑥′

Ta có thể phát biểu thành lời như sau: Hai hàm 𝑃 dính với 𝑑𝑥, 𝑄 dính với 𝑑𝑦, hàm dính với

𝑑𝑥 thì đạo hàm theo 𝑦, dính với 𝑑𝑦 thì đạo hàm theo 𝑥, hai cái đạo hàm bằng nhau thì làm

theo dạng toàn phần

Nghiệm là 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝐶, trong đó

𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑃(𝑥, 0) + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)

𝑦 0

𝑥 0

Ta đi vào ví dụ để bạn đọc rõ hơn nhé

Ví dụ 1.9 : Giải ptvp : (3𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 + (2𝑥 − 9𝑦)𝑑𝑦 = 0

Giải :

𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2𝑦 Đạo hàm P theo biến y ta có

𝑃𝑦′= 2 Tương tự

𝑄𝑥′ = 2 Vậy ta có thể xét với ptvp toàn phần

𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 3𝑥𝑑𝑥

𝑥 0

Vậy nghiệm tổng quát là :

Ví dụ 1.10 : Giải ptvp : (3𝑥2𝑦2+ 7)𝑑𝑥 + (2𝑥3𝑦)𝑑𝑦 = 0

Giải :

𝑃(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦2+ 7 Đạo hàm P theo biến 𝑦 ta có

𝑃𝑦′ = 6𝑥2𝑦 Tương tự

𝑄𝑥′ = 6𝑥2𝑦 Vậy ta có thể xét với ptvp toàn phần

𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 7𝑑𝑥

𝑥 0

+ ∫ 2𝑥3𝑦𝑑𝑦 = 7𝑥 + 𝑥3𝑦2

𝑦 0

Ở dạng này chỉ cần học thuộc công thức, tác giả chỉ cho một vài ví dụ để bạn đọc làm thử

Giải các bước tương tự như kiến thức đã học bên trên

Vậy nghiệm của phương trình là

𝑦(𝑥) = 𝑥 (𝑥2

2 + 𝐶)

DẠNG 4: TUYẾN TÍNH

𝑦′+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑦𝛼, 𝛼 ≠ 0,1 (nếu 𝛼 = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝛼 = 1 thì pt đã trở lại dạng 4 phương trình tuyến tính)

Cách làm : Đặt 𝑧 = 𝑦1−𝛼 và đưa về dạng tuyến tính trở lại

Ví dụ 1.13 : Giải phương trình vi phân : 𝑦′+ 2𝑥𝑦 = 𝑥𝑒𝑥2𝑦3

Tới đây ta đã trở về dạng tuyến tính

Bình luận : Trong lúc đi thi thì chắc chắn không có ai nói rằng ta phải làm bài toán bằng

cách này hay bằng cách khác, do vậy làm sao ta biết được bài này phải giải bằng dạng nào??? Tác giả xin được gợi ý cho bạn vài cách để có thể “xoay sở” trong phòng thi với các bài toán này

1) Dựa vào kinh nghiệm: thường kinh nghiệm có 2 dạng

 Dạng 1: Làm bài tập nhiều đến nổi chỉ cần nhìn vào là có thể nhận ngay ra dạng bài đó

 Dạng 2: Học hỏi kinh nghiệm từ các anh chị, các bạn có kinh nghiệm, ví dụ như tác giả đưa ra một vài lưu ý trong bài cũng là một chút gì đó gọi là kinh nghiệm bản thân

2) Liệt kê: Có thể bạn chưa có kinh nghiệm hoặc đã tích lũy được kinh nghiệm nhưng do

không khí thi cử làm cho bạn căng thẳng và không nghĩ ra được gì, đừng lo hãy làm theo những chỉ dẫn dưới đây

o Hít thở thật sâu

o Uống một ngụm nước(đừng để đổ nước vào làm nhé :v, tạch đấy :v)

o Hãy liệt kê tất cả những gì bạn đã được học về phần đó

Ví dụ như bạn đang giải phương trình vi phân cấp 1: bạn viết ra 5 dạng của nó: tách

biến, đẳng cấp, toàn phần, tuyến tính và bernulli

DẠNG 5: BERNULLI

- Thứ nhất nó giúp cho bạn giữ bình tĩnh

- Thứ hai nó giúp bạn nhìn được dạng bài mà mình đang làm

- Nếu giả sử bạn vẫn không nhìn ra dạng, hãy thử từng dạng một với bài toán đang xét

(với điều kiện là còn thời gian, tốt nhất nên cân nhắc thời gian để làm các bài trong khả

năng trước)

Còn sau đây là một số dạng lạ mà tác giả rút kinh nghiệm được trong quá trình làm bài,

nếu các bạn có đóng góp thêm các dạng lạ như thế, hãy gửi đến fanpage để bài viết càng hoàn thiện hơn

3ln |

𝑧 − 1

𝑧 + 2| = ln|𝑥| + 𝐶1Vậy:

𝑥𝑦 − 1

𝑥𝑦 + 2= 𝑐𝑥

3

DẠNG 7: TÁCH BIÊN

→ 𝑥′−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦

4𝑠𝑖𝑛2𝑦2𝑥 (∗)

Phương trình (*) là phương trình vi phân Bernoulli

Kết quả: 𝑥2 = 𝐶𝑒𝑠𝑖𝑛𝑦− 8(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑦)

DẠNG 8: ĐỔI BIẾN

→ 𝑥 = ln | 𝑡

𝑡 + 1| Vậy nghiệm của phương trình là:

chúng ta phương trình thì sẽ cho ta dữ kiện để thiết lập phương trình

Điển hình tác giả lấy ví dụ bài toán sau, đọc đến đây hãy lấy viết và giấy ra, bạn đọc cố

thử lập phương trình giải bài toán sau trước khi xem lời giải nhé!

DẠNG 9: DẠNG KHUYẾT

Ví dụ 1.18: Giả sử ở tuổi 25 bạn lên kế hoạch tiết kiệm tiền cho con cái, mỗi năm bạn gửi 𝑘

triệu đồng với lãi suất 6%/ năm, bạn về hưu ở tuổi 65 Hỏi 𝑘 bằng bao nhiêu để bạn có 1 tỷ

đồng tiết kiệm khi về hưu?

Giải :

Gọi 𝑆(𝑡) là số tiền bạn có sau t năm

Khi đó 𝑆(𝑡 + ∆𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝑟∆𝑡𝑆(𝑡) + 𝑘∆𝑡 (r là lãi suất )

(*) có 2 nghiệm phân biệt 𝑘1, 𝑘2, nghiệm thuần nhất là

o Phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất – Dạng 1 :

𝑦′′+ 𝑝𝑦′+ 𝑞𝑦 = 𝑃(𝑥)𝑒𝛼𝑥 (1)

𝑦𝑟 = 𝑥𝑠𝑄(𝑥)𝑒𝛼𝑥Trong đó s là số nghiệm trùng của 𝛼 với phương trình đặc trưng (*)

Q(x) là một đa thức tổng quát có cùng bậc với P(x)

Trong dạng này, chủ yếu ta giải các hệ số của Q(x) bằng cách thế lại vào phương trình (1)

nghĩa là

𝑦0 = 𝐶1𝑒2𝑥+ 𝐶2𝑥𝑒2𝑥

Ví dụ 6.3(phương trình vi phân thuần nhất)

𝑦′′− 2𝑦′+ 10𝑦 = 0 Xét phương trình đặc trưng : 𝑘2 − 2𝑘 + 10 = 0

→ [𝑘 = 1 + 3𝑖

𝑘 = 1 − 3𝑖 Vậy nghiệm thuần nhất của phương trình là:

𝑦0 = 𝑒𝑥(𝐶1cos(3𝑥) + 𝐶2sin(3𝑥))

Lưu ý : Các vị dụ sau, tác giả sẽ không trình bày phần tìm nghiệm thuần nhất nữa, nhưng khi

đi thi các bạn vẫn phải trình bày đầy đủ để được 10 điểm giải tích 1 nhé

là nghiệm kép (nghĩa là trùng với 2 nghiệm) của phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = 2

Vậy ta có nghiệm riêng của phương trình là:

→ {−8𝑏 + 6𝑎 + 8𝑏 = 22𝑏 = 1

→ {

𝑎 =13

𝑏 =12Vậy nghiệm

nghiệm đơn (nghĩa là trùng với 1 nghiệm) của phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = 1

Vậy ta có nghiệm riêng của phương trình là:

𝑦𝑟= 𝑥𝑠𝑄(𝑥)𝑒𝛼𝑥 = 𝑥1(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑒−𝑥

𝑦𝑟′ = (−𝑎𝑥2+ 2𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑏)𝑒−𝑥

𝑦𝑟′′ = (𝑎𝑥2− 4𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 2𝑎 − 2𝑏)𝑒−𝑥Thay vào phương trình đã cho ta có

𝑦𝑟′′− 3𝑦𝑟′− 4𝑦𝑟= 2𝑥𝑒−𝑥Đồng nhất hệ số 2 vế ta được

→ {−10𝑎 = 2 2𝑎 − 5𝑏 = 0 → {

Ta có 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 3 nên Q(x) cũng là đa thức bậc 2 có dạng 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝛼 =

−2, không là nghiệm (nghĩa là trùng với 0 nghiệm) của phương trình đặc trưng nên → 𝑠 = 0

Vậy ta có nghiệm riêng của phương trình là:

→{

Lưu ý: Nguyên lý chồng chất nghiệm:

Nếu 𝑦𝑟1và 𝑦𝑟2lần lượt là nghiệm riêng của phương trình

𝑎𝑦′′+ 𝑏𝑦′+ 𝑐𝑦 = 𝑓1(𝑥)

𝑎𝑦′′+ 𝑏𝑦′+ 𝑐𝑦 = 𝑓2(𝑥) Khi đó nghiệm riêng của phương trình

𝑎𝑦′′+ 𝑏𝑦′+ 𝑐𝑦 = 𝑓1(𝑥) + 𝑓2(𝑥) Chính là

𝑦𝑟 = 𝑦𝑟1+ 𝑦𝑟2Bạn đọc tự áp dụng vào ví dụ sau đây

Ví dụ 2.6 : (không thuần nhất dạng 1-áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm)

𝑦′′+ 6𝑦′+ 8𝑦 = 𝑥(𝑒−𝑥+ 𝑒−2𝑥)

Mẹo hay làm bài dạng này:

Nếu vế trái của phương trình vi phân cấp 2 có 2 lũy thừa cơ số e khác nhau thì ta sẽ áp dụng

nguyên lý chồng chất nghiệm nói trên, vì khi đó hai hàm số lũy thừa độc lập tuyến tính với

nhau(muốn biết độc lập tuyến tính là gì, mời bạn đọc xem sách giáo khoa giải tích 1 để biết thêm)

Chúng ta còn thêm một số trường hợp dùng nguyên lý này trong các ví dụ sau

o Phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất – Dạng 2 :

𝑦′′+ 𝑝𝑦′+ 𝑞𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑎𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) (2)

𝑦𝑟 = 𝑥𝑠𝑒𝛼𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Trong đó s là số nghiệm trùng của 𝛼 + 𝛽𝑖 với phương trình đặc trưng (*)

Trong dạng này, ta giải hệ số A,B thỏa phương trình sau:

Nên

𝑦𝑟 = 𝑒2𝑥(𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥)

𝑦𝑟′ = 𝑒2𝑥(3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑦𝑟′′ = 𝑒2𝑥(3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝐵𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥) Thay vào phương trình

𝑦𝑟′′+ 𝑝𝑦𝑟′+ 𝑞𝑦𝑟 = 𝑒2𝑥sin (𝑥)

Ta tìm được {𝐴 = −

1 2

𝐵 = 0Vậy nghiệm là

𝑦 = 𝐶1𝑒𝑥+ 𝐶2𝑥𝑒𝑥+ 𝑒2𝑥(−1

2) 𝑐𝑜𝑠𝑥

Ví dụ 2.8 : (không thuần nhất-dạng 2)

𝑦′′+ 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 Đáp số: 𝑦 = 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥 −1

2𝑠𝑖𝑛𝑥)

Ví dụ 2.9 : (không thuần nhất-dạng 2-áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm)

𝑦′′− 6𝑦′+ 9𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥2+ 𝑠𝑖𝑛𝑥)

Lưu ý: Ta nhận thấy trong bài này có các hàm đa thức và hàm lượng giác sinx(chúng độc

lập tuyến tính, nên ta phải tách chúng ra và áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm)

o Phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất – Dạng 3 :

𝑦′′+ 𝑝𝑦′+ 𝑞𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑃(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) (3)

𝑦𝑟 = 𝑥𝑠𝑒𝛼𝑥(𝐻(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐾(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) Trong đó s là số nghiệm trùng của 𝛼 + 𝛽𝑖 với phương trình đặc trưng (*)

H(x),K(x) là các đa thức có bậc là bậc lớn nhất của P(x) và Q(x)

Trong dạng này, ta giải hệ số của H(x),K(x) thỏa phương trình sau:

𝑦𝑟′′+ 𝑝𝑦𝑟′+ 𝑞𝑦𝑟 = 𝑒𝛼𝑥(𝑃(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥)

Ta thấy thực chất dạng 3 này là kết hợp của dạng 1 và dạng 2, hay nói cách khác là một sự

tổng quát hóa của hai dạng nói trên:

1 Khi cho 𝛽 = 0, thì dạng 3 sẽ trở về dạng 1

2 Khi cho P(x) và Q(x) là 2 đa thức có bậc 0 thì dạng 3 sẽ trở về dạng 2

Nói cách khác, khi đi thi ta chỉ cần nhớ cách giải dạng 3 thì ta sẽ làm được tất cả các bài

phương trình vi phân cấp 2

Những năm gần đây,đề thi thường chỉ xuất hiện dạng 1 và dạng 2, ít khi thấy dạng 3, nếu có

ra dạng 3 thì hàm P(x) và Q(x) đề cho sẽ rất đơn giản(nếu không đơn giản thì do xui thôi : )))

Mời bạn đọc giải thử một số ví dụ sau:

-Đây là các trường hợp riêng của dạng 1 và dạng 2

*Đối với 𝑒−3𝑥 áp dụng với dạng 1 khi P(x)=1, hoặc áp dụng với dạng 2 khi a=b=0

*Đối với (𝑥2+ 2𝑥) áp dụng với dạng 1 khi 𝛼 = 0

*Đối với 𝑠𝑖𝑛𝑥 áp dụng với dạng 2 khi 𝛼 = 0, a=0

Ví dụ 2.13 :

𝑦′′+ 𝑦 = sin(𝑥) cos (3𝑥) Bài này chính là bài toán cô Hoàng Hải Hà cho đề tài matlab giải tích của một ca nào đó tác

giả không nhớ rõ :))) Có nhiều bạn thắc mắc bài toán này vì thậm chí chưa biết cách giải tay, làm sao làm nó trên matlab

Nên tác giả xin hướng dẫn một gợi ý nhỏ như sau:

Do sin(𝑥) cos(3𝑥) không thuộc loại nào trong 3 dạng không thuần nhất trên, ta thấy có e mũ nhân với đa thức và nhân với sin hoặc cos, ta chưa thấy bài nào có hai hàm lượng giác nhân

nhau, vậy ta phải tách nó hoặc ghép nó thành 1 hay tổng(hiệu) các hàm lượng giác

Từ ý tưởng đó ta sẽ tách thành tổng hai hàm lượng giác như sau:

sin(𝑥) cos(3𝑥) = 1

2(sin(4𝑥) − sin(2𝑥)) Sau đó ta sẽ giải nghiệm riêng của từng phương trình với 1

2sin(4𝑥) và 1

2sin(2𝑥), vì dễ thấy chúng độc lập tuyến tính với nhau

Đáp số: 𝑐𝑜𝑠(𝑥) +22

15sin(𝑥) − 1

30sin(4𝑥) −1

6sin (2𝑥)

PHẦN 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Do năm nay một số lớp chưa được học đại số tuyến tính nên ta chỉ được học giải hệ phương

trình vi phân bằng phương pháp khử

Nội dung phương pháp khử

Đưa hệ phương trình vi phân về phương trình vi phân cấp cao hơn bằng cách đạo hàm một

phương trình rồi khử các hàm chưa biết

Từ đó giải nghiệm phương trình vi phân rồi thế lại vào hệ để tìm các hàm khác

Ưu điểm: Giải hệ phương trình rất nhanh

Nhược điểm: Rất khó giải hệ nhiều phương trình, nhiều hàm

Chúng ta tạm chia thành 2 loại hệ phương trình vi phân trong đề thi:

1 Hệ 2 phương trình 2 ẩn 𝑥1, 𝑥2 , khi giải ta thường thu được phương trình vi phân cấp 2

ở dạng thuần nhất hoặc không thuần nhất(để giải nó chúng ta xem lại dạng 6 bên trên)

2 Hệ 3 phương trình 2 ẩn 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, khi giải ta thường thu được phương trình vi phân

cấp 3 ở dạng thuần nhất hoặc không thuần nhất(ít gặp hơn) (chúng ta sẽ bổ sung

kiến thức cho phương trình vi phân cấp 3 dưới phần ví dụ)

Ta sẽ đi vào ví dụ để làm rõ phương pháp trên

𝑥2′′ = 4𝑥1′+ 3𝑥2′ Thay vào (*) ta được

Vì một số bạn làm phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2 đã có “thói quen”,hằng số nào cũng

là hằng số nên đến đặt luôn hằng số là 𝐶1, 𝐶2, ta thấy rằng điều này không đúng vì 𝑥1, 𝑥2 phụ thuộc tuyến tính nên phải thay vào giải như hệ phương trình bình thường ta vẫn làm

𝑥1′′ = 3𝑥1′ + 𝑥2′ + 𝑒𝑡Thay vào (*)

Ví dụ này tương tự Ví dụ 3.1 chỉ có thêm vài hàm nên phương trình vi phân thu được là ở

dạng không thuần nhất

o Loại 2-hệ phương trình vi phân 3 ẩn

Bổ sung kiến thức giải phương trình vi phân cấp 3:

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 3 thuần nhất:

𝑦′′′+ 𝑝𝑦′′+ 𝑞𝑦′ + 𝑟𝑦 = 0

Giải nghiệm phương trình đặc trưng: 𝑘3+ 𝑝𝑘2 + 𝑞𝑘 + 𝑟 = 0(*)

(*) có 3 nghiệm phân biệt 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3, nghiệm thuần nhất là

nghiệm phức vì đây là pt bậc 3 có ít nhất 1 nghiệm thực)

𝑦0 = 𝑒𝛼𝑥(𝐶1cos (𝛽𝑥) + 𝐶2sin (𝛽𝑥)+𝐶3𝑒𝑘 3 𝑥

Còn dạng phương trình vi phân cấp 3 không thuần nhất, tác giả để lại cho bạn đọc suy nghĩ

thêm nhé <3