Chuyên đề Khảo sát hàm số51050

GV Nguy n V Minh KH O SÁT HÀM S

CH NG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN N KSHS

@@@@@@@

V N 1: TI P TUY N V I TH

nh lý : o hàm c a hàm s y=f(x) t i đi m x0 là h s góc c a ti p tuy n

v i đ th t i đi m M(x ; y o o = f(xo)): k =f '(x )o

yêu c u bài toán Ph ng trình ti p tuy n

Ti p tuy n t i M(x ; y )o o ∈(C)

y = f '(x ).(x − x ) + y (1)

'( )o

k = f x :h s góc

Ti p tuy n có

h s góc k cho tr c

_G i M(x ; y )o o ∈(C)là ti p đi m

_Gi i pt : f '( xo) = ⇒ k xo ⇒ yo

_Áp D ng (1)

Ti p tuy n song song

v i đ ng th ng (d) cho tr c :

y = k xd + b

_G i M(x ; y )o o ∈(C)là ti p đi m

_Gi i pt : f '( x o)=k d ⇒ x o ⇒ y o

_Áp D ng (1)

Ti p tuy n vuông góc

v i đ ng th ng (d) tr c :

y = k x bd +

_G i M(x ; y )o o ∈(C)là ti p đi m

_Gi i pt : '( o) 1 o

d

o

k

= − ⇒ ⇒ y

_Áp D ng (1)

Ti p tuy n đi qua đi m

( A; A)∉( )C cho tr c _G i M(x ; y )o o ∈(C)là ti p đi m

tt t i M là ( )Δ : (1)

_ ( )Δ qua A: thay t a đ A vào

(1)⇒ x o ⇒ y o ⇒ PTTT

A x y

L u ý : hai đt : vuông góc v i nhau

1 1

y k x c

y k x c

⎧

⎨ = +

song song ⇔ k1 = k2 V i k k1, 2 là h s góc

VD1: Cho hàm s y = x3 – 3x + 1 L p ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s

t i M(2;3)

L i gi i: Ta có : y'=3x2 − 3

H s góc ti p tuy n t i M là y’(x0) = y’(2) = 9

Ph ng trình ti p tuy n t i M: y – 3 = 9(x – 2) = 9x – 15

VD2: Cho (C) y = x3 – 3x + 1 L p ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t ti p

tuy n song song v i (d): y = 9x – 4

L i gi i : Ta có h s góc c a đ ng th ng d là 9

G i M(x ;y )o o ∈(C)là ti p đi m

H s góc ti p tuy n t i M là ( ) 2

y' x =3x −3

Ti p tuy n song song v i (d) ( ) 2

+ V i x0 = 2 ⇒ y0 = 3 ⇒ ph ng trình ti p tuy n: y – 3 = 9(x – 2) = 9x–15

+ V i x0 = –2 ⇒ y0 = –1 ⇒Ph ng trình ti p tuy n : y +1= 9(x–2)= 9x +17

VD 3 : Cho hàm s y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C)

Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) có h s góc nh nh t

Gi i : g i M(x0; y0) ∈( )C là ti p đi m

H s góc ti p tuy n t i M là k = f’(x0) = 3 2 6 0 9

0 + x −

x

Ta có k = x3( 0 +1)2 −12≥−12 suy ra kMIN = − 12 khi x0 = – 1 ⇔ M(–1; 16)

Ph ng trình ti p tuy n : y – 16 = – 12.(x + 1)

VD 4 : y = x3 + mx2 + 1 (Cm)

Tìm m đ (Cm) c t (d) y = – x + 1 t i 3 đi m phân bi t A(0; 1), B, C sao

cho các ti p ti p v i (Cm) t i B và C vuông góc nhau

Gi i : Ph ng trình hoành đ giao đi m (d) và (Cm) : x3

+ mx2 + 1 = – x + 1 x.(x2 + mx + 1) = 0 (*) t g(x) = x 2 + mx + 1

⇔

(d) c t (Cm) t i 3 đi m phân bi t ⇔ g(x) = 0 có hai nghi m phân bi t khác 0

( ) ⎢⎣⎡ < −

>

⇔

⎩

⎨

⎧

≠

=

>

−

= Δ

⇔

2

2 0

1 0

0 4

2

m

m g

m g

Vì xB , xC là nghi m c a g(x) = 0

⎩

⎨

⎧

=

=

−

= +

=

⇒

1

C B

C B x x P

m x

x S

Ti p tuy n t i B và C vuông góc ⇔ f ′( ) ( )x C f ′ x B = −1

[ 9 + 6 + + 4 2] = − 1

⇔ xBxC xBxC m xB xC m

( )

⇔ m m m ⇔ m 2 2 = 10 ⇔ m = ± 5 (th a đi u ki n)

VD 5 : Cho hàm s y = x3 − x2 +m (1)

3 Tìm m đ ti p tuy n c a đ th (1) t i đi m có hoành đ b ng 1 c t các tr c

Ox, Oy l n l t t i các đi m A và B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 3 2

GV Nguy n V Minh KH O SÁT HÀM S

Gi i

V i x0 =1⇒ y0 = m−2 M(1 ; m – 2)

Ti p tuy n t i M là d: y = (3x02 −6x0)(x− x0) + m−2

⇒ d: y = -3x + m + 2

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⇒

+

=

⇔ + +

−

3

2 3

2 2

3

- d c t tr c Oy t i B : y B = m+2⇒ B(0; m+2)

m

+

⎢

⎣

⎡

−

=

=

⇔

⎢

⎣

⎡

−

= +

= +

⇔

5

1 3

2

3 2

m

m m

m

VD 6 : G i (Cm) hàm s :y = x3− 3mx + 2, v i m là tham s th c Tìm m đ

ti p tuy n c a (Cm) t i đi m có hoành đ b ng 1 vuông góc v i đ ng th ng

x−9y+ = 1 0

Gi i : ng th ng x − 9y + = 1 0 có h s góc là 1/9

Cóy '=3x2−3m

ti p tuy n c a (Cm) t i đi m có hoành đ b ng 1 vuông góc v i đ ng

th ngx − 9y + = 1 0 c n và đ là y '(1).1 1 (3 3m).1 1 m 4

Bài T p :

Bài 1 : Cho hàm s có đ th là ( C ) Tìm h s góc và vi t pttt v i (C)

t i đi m

( )

y = f x

o M a) (C) :

2

1

y

x

=

− v i M o ∈ (C)có hoành đ x o = 2 b) (C) : y = x3+ +x 1 v i M o( 2; 9)− − ∈( )C

c) (C) : y= x4 −2x2 + 5 v i Mo∈ (C )có tung đ yo = 8

2 , M 1

x y

x

+

=

− − là giao đi m c a (C) và Oy e) (C) :

2

o

, M 3

y

x

=

− là giao đi m c a (C) và Ox f) (C) : 3 là giao đi m c a (C) v i đt

o

g) (C) : y = 2x3 −x,v i Mo∈ (C)là giao đi m c a (C) và Oy

h) (C) : y = 2x4 −5x2 + 3 v i Mo∈ (C )là giao đi m c a (C) và Ox

k) (C) : y 3x 4

2x 3

+

=

− t i đi m M(1; -7) (TN – THPT – 2007)

Bài 2 : Cho hàm s

3 2

x y x

−

= + ( C ),vi t pttt v i đths : a) T i giao đi m c a ( C ) v i 2 tr c t a đ

b) Bi t ti p tuy n song song v i đt y = 5 x + 2

Bài 3 : Cho hàm s 3 2 ( C ),vi t pttt v i đths :

3

y = x − x + 4 b) T i Mo ∈(C)có hoành đ xo = − 2

c) Bi t ti p tuy n c a ( C ) đi qua đi m (2;0) A

Bài 4 : Vi t pttt v i (C) trong các tr ng h p sau :

a)

2

y

x 1

=

x 2 ,

bi t ti p tuy n vuông góc v i đ ng phân giác th nh t

c a h tr c Oxy ( H Nông Nghi p – 98)

( S : y = − +x 1 và y = − +x 9)

b) 3 , bi t ti p tuy n song song v i đ ng th ng

c) 3 bi t ti p tuy n đó vuông góc v i đt

x 3x

3

( S : )

d)

( H An Ninh – 0 3x 1

y = − +

2

2x 7

y= − x 7 ,

x 2

+

− bi t ti p tuy n song song v i đt (d):

( H Lu t – 99)

y = + x 4 ( S : y = −x 3)

e)

3

2

x

= − 2 + 3 − 1 3

y x x , bi t ti p tuy n đó qua K(0; 1) −

2

3 1

, 2

y

x

− +

=

− bi t ti p tuy n song song v i đt y = 2x+3

f)

Bài 5 : cho (C) :

2

4x x

x 1

=

− tìm pttt v i (C) trong các tr ng h p sau : C) t i

− a) Ti p xúc v i ( A(2;−4) b) Song song v i ( ) :d1 y =13x+1

2

1 ( ) :

4

c) Vuông góc v i d)V t

Bài 6 : cho (C) :

M(1;5)

y = x −3x +2

GV Nguy n V Minh KH O SÁT HÀM S

a) L p pttt v i (C) t i đi m có hòanh đ x o = −3

b) L p pttt v i (C) bi t tt vuông góc v i đ ng th ng 1 19

9

y= − x+

c) L p pttt t i đi m u n c a (C) H s góc là l n nh t hay nh nh t

Bài 7 (TN- THPT – 2013) : Cho hàm s y x = 3 − 3 x − 1 ( ) C

Vi t ph ng trình ti p tuy n c a ( ) C , bi t h s góc c a ti p t y n u đó b ng 9

2

h ti p tuy n v i ( C ) bi t ti p tuy n đó :

Bài 8 : cho (C) : y = − +x3 3x2−5x+

Vi t ph ng trìn

a) Song song v i đt : 2x+ − = y 3 0

b) Vuông góc v i đt : x−29y+ =2 0

Bài 9 :

2

2x

y = Vi t ph

2x−1 ng trình ti p tuy n trong các tr ng h p sau :

đi m có ho

1 đi m

a) T i ành đ xo =1

b) Song song v i đt 8x − y 1 9 + = 0

c)Vuông góc v i đt 25 x + 24y − = 2 0

Bài 10 : cho (C) : y = 3 2 và

t ti p tuy n qua A

1

A

x = −

Vi t pttt v i (C) bi

3

Bài 11 (Kh i B – 2004) : cho (C) : 2 2 3

3

x

y = − x + x có đ th là ( C ) Vi t pttt

ti p tuy n t i đi m

v i ( C ) t i đi m u n Ch ng minh u n có h s góc nh nh t

(C ) : y = 3x − 2 x + 3.G i M là đi m thu c ( Cm)có hoành đ b ng

L

1

− Tìm (Cm)t i đi m M song song t 5 x − = y 0

u ý :

Hai đ th ti p xúc nhau khi và ch khi ph ng trình hòanh đ giao đi m

c a chúng có nghi m kép

Ti p tuy n t i đi m u n có h s góc ho c l n nh t ho c nh nh t

Bài 14: (C) :

3

x

y = −

Vi t pttt v i ( C ) bi t :

1

x+

a) T i M là g c a ( C ) và Oy b) T

c) Ti p tuy n song song v i đt y =4x+ d) Vuông góc v i đt 42 x+ − = y 3 0

Bài 15: Cho hàm s : y = − +x3 3x2 − 4 (C)

a) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m có hoành đ là x = 12

b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) , bi t h s góc c a ti p tuy n k 9

4

=

c) Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) , bi t ti p tuy n song song v i đ ng

th ng ( )d : y =3x+2010

+ 3x2 + 2x + 3 có

h s góc nh nh t

góc l n nh t

Bài 18: Cho hàm s (C) :y 2x 1

x 1

−

=

− , Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t

ti p tuy n c t tr c hoành t i A và tr c tung t i B sao cho sao cho OA = 4OB

Bài 19 (Kh i A – 2009): Cho hàm s 2

2

x y

+

= + (1)

Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s (1), bi t ti p tuy n đó c t tr c

hoành, tr c tung l n l t t i hai đi m phân bi t A, B và tam giác OAB cân t i

g c t a đ O

Bài 20 (Kh i D – 2010): Cho hàm s : y = − −x4 x2 +6.Vi t ph ng trình ti p

tuy n c a (C), bi t ti p tuy n vuông góc v i đ ng th ng 1 1

6

y = x−

VD 7 : Cho hàm s 3

3

y = − x + −x

3 có đ th là ( ) C G i M là đi m thu c đ

th ( ) C có hoành đ x = 2.Tìm các giá tr c a tham s m đ ti p tuy n v i

( ) C t i M song song v i đ ng th ng ( 2 ) 9 + 5

3

m

d y = m − +

3

⎜

⎝ 3

⎞

⎟

⎠ Ti p tuy n Δv i( )C t i M có ph ng trình :

y= y x− − ⇔ = −y x− − ⇔ y= −3x+

GV Nguy n V Minh KH O SÁT HÀM S

Ta có

2

1

m

m m

=

⎧

m

− = −

⎧

⎪

≠

⎪⎩ ⇔ ⎨⎩ ≠ ⇔ = − V y m = − 1

Bài 21 : ( )

m

m 1 x m (C ): y

x m

=

− nh m đ ti p tuy n v i (Cm) t i đi m có hoành

đ x0 = 4 song song v i đ ng phân giác th 2 c a h tr c t a đ ( m = 2)

Bài 22 : Cho hàm s (C) :y x 4

x 1

−

=

− , Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t

ti p tuy n t o v i đ ng th ng (D1) : y = − 2x + 2013 góc 450

HD : 1 2

1 2

tan

1 k k

−

=

− ta có k = 3 sau đó vi t ti p tuy n

y

Bài 23 : Cho hàm s (C) : = x −3x +2, Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C)

bi t ti p tuy n c t Ox, Oy l n l t t i A và B sao cho

2

OAB

OB

18

Bài 24 : Cho hàm s (C) :y 2x 2

x 1

+

=

− , Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t

ti p tuy n :

a/ Song song v i đ ng th ng y= −4x+2 ( S : y= −4x 14+ )

b/ T o v i 2 tr c t a đ m t tam giác vuông cân ( S : y = − − x 1, y = − + x 7)

Bài 25 : Cho hàm s (C) :y 2x

x 2

=

a/ Tìm trên (C) nh ng đi m mà ti p tuy n t i đó song song v i đ ng th ng

y =4x+3 ( S : M( 1, 3) − − )

b/ Kho ng cách t I ( 2, 2) − đ n ti p tuy n b ng 2

HD : Kho ng cách t đi m M(x0, y0) đ n đ ng th ng (d) : ax + by + c = 0

d M,(d)

a +b

=

Bài 26 : Cho hàm s (C) :y = x3 −3x2 + 2, Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C)

bi t ti p tuy n c t Ox, Oy l n l t t i A và B th a mãnOB = 9.OA

( s : y=9x+7, y =9x−25)

Bài 27 : Cho hàm s (Cm) : 3 2 ( )

y = x −2x + m 1 x− +2m

a/ Tìm m đ ti p tuy n v i đ th (Cm) t i đi m có hoành đ x = 1 song song v i

đ ng th ng y =3x 12+

b/ Tìm m đ ti p tuy n v i đ th (Cm) có h s góc nh nh t vuông góc v i

đ ng th ng ( )Δ : y = 2x 1+ ( S : 11

m 6

= )

VD 8 : Cho hàm s y =

1

x

x− Tìm t a đ đi m M thu c (C), bi t r ng ti p tuy n

c a (C) t i M vuông góc v i đ ng th ng đi qua đi m M và đi m I(1; 1)

Gi i : V i x0 ≠ 1, ti p tuy n (d) v i (C) t i M(x0 ; 0

0 1

x

x − ) có ph ng trình :

0 0

2

( 1)

1

2 0

1

0

x

x y

(d) có vec – t ch ph ng 2

0

1

u

x

= −

−

r

0

1 ( 1;

1

x

− ) uuur

(d) vuông góc IM đi u ki n là :

0

0

2

x

x

=

⎡

⎣

r uuur

+ V i x0 = 0 ta có M(0,0) + V i x0 = 2 ta có M(2, 2)

Bài 28 (TN – THPT – 2008) : (C): y = x4 −2x2 Vi t pttt v i (C) t i đi m có

hoành đ x 0 = –2

Bài 29 : Vi t ph ng trình ti p tuy n v i đ th : y 2x1

x

=

− , bi t

a H s góc c a ti p tuy n b ng −2 S: y = −2x+8, y = −2x

b Ti p tuy n song song v i đ ng th ng (d): x + 2y = 0

S: 1 27, 1

y = − x+ y = − x−7

4

c Ti p tuy n vuông góc v i đ ng th ng (Δ): 9x − 2y +1=0

S: 2 32, 2

y = − x+ y = − x+8

9

Bài 30 : L p ph ng trình ti p tuy n c đ th (C): y 2x 13

x

+

= + t i nh ng đi m thu c đ th có kho ng cách đ n đ ng th ng (d): 3x + 4y − 2 = 0 b ng 2

S: y = x + 3, y = 9x− − −13, 9 47, 1 2

16 16 16 16

y= − x+ y = − x+ 3

GV Nguy n V Minh KH O SÁT HÀM S Bài 31 : Vi t ph ng trình ti p tuy n (d) v i đ th (C) : y x 22

x

+

=

− , bi t (d) đi qua đi m A( 6;5) S: y = − − x−1, 7

4 2

x

y = − +

Bài 32 : Cho hàm s Tìm m đ ti p tuy n

c a đ th hàm s t i đi m có hoành đ b ng 1 đi qua đi m A(2; 1)

y = x − (m 1)x − + (3m 1)x + + − m 2

−

S: m = 2 −

Bài 33 : G i (C) là đ th c a hàm s y f(x) x 1

x 3

−

+

G i M là m t đi m thu c (C) có kho ng cách đ n tr c hoành đ b ng 5 Vi t

ph ng trình ti p tuy n c a (C ) t i M S: y = 4x + 21

Bài 34 : Cho hàm s

4 2

Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t ti p tuy n song song v i (D): y = 2x−2 S: y 2x 3

4

Bài 35 : Cho hàm s

3 2

2x

3

= − + + − 2 , g i đ th c a hàm s là (C) a) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) có h s góc l n nh t

S: y 9 x 2

2 b) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) đi qua đi m A(2;9)

S: y = 8x + 25 −

Bài 36 : G i (C) là đ th c a hàm s

3 2 x

a) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) t i giao đi m c a (C) v i tr c tung

s: y = 2x+1

b) Vi t pttt c a (C) vuông góc v i đ ng th ng y x

5 2

= − +

S: y 5x 8

3

ho c y = 5x – 8 c) Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C) bi t ti p tuy n đó c t tr c hoành, tr c

tung l n l t t i A,B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là góc t a đ )

S: y x 4

3

= +

VD 8 : Cho hàm s

1

x y

x

−

=

− (C) Vi t ph ng trình ti p tuy n d c a (C), bi t

r ng ti p tuy n c t các tr c Ox, Oy l n l t t i A, B sao cho AB = 82.OB

Gi i :

OB

OB AB

AB OB

OA

9

82 2

2

2 2

2

=

⇒

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

= +

⇒H s góc c a ti p tuy n đ c tính b i k OB 19

OA

= ± = ±

G i M ( x0; y0)là ti p đi m c a ti p tuy n (d) và (C)

⇒ hoành đ ti p đi m là nghi m c a ph ng trình: f /( x0) = k hay:

0

2 0

9

( 1) 9

2

( 1)

x

x

x

−

⎣

VN

9

k = − và ti p đi m 4; 7

3

⎟

⎠

⎜

⎝ , ta có pt ti p tuy n :

4 hay

y = − x − + y = − x +

V i và ti p đi m , ta có pt ti p tuy n:

5 2;

3

⎜

⎝

1 9

⎠

1 ( ) 5 1

2 hay

y = − x + + y = − x + 13

9

VD 9 : Cho hàm s 1

1 2 +

+

=

x

x

y ( C ); Tìm t a đ đi m M sao cho kho ng cách t I( 1; 2) − t i ti p tuy n c a M là l n nh t

1

1 2

;

0

x x

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

− thì ti p tuy n t i M có pt

) (

) 1 (

1 1

1

0 0

x x x

x

+

= + +

GV Nguy n V Minh KH O SÁT HÀM S

hay ( ) ( 1) ( 2) ( 0 1) 0

2 0

0 2

0

4 0

0 4

0

0 0

) 1 (

) 1 (

1

2 )

1 (

1

1 2

1 1

) 1 (

) 1

(

+ +

+

= +

+

+

= +

+

+

−

−

−

=

x x

x

x x

x x

d

.do

2 )

1 (

)

1

(

0 2

0

≥ +

+

) 1 (

1

0

2 0

2 0

2 0

−

=

⇔

= +

⇔ +

=

suy ra M(−2;3) ho c M(0;1)

Bài 37 : (C) :

1

x y

x

+

=

− Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t kho ng cách

t tâm đ i x ng c a (C) đ n ti p tuy n b ng 5 26 13

Bài 38 : (C) : 1

x y

x

=

− Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) bi t kho ng cách t tâm đ i x ng c a (C) đ n ti p tuy n b ng là l n nh t

VD 10 (D B -2007) Cho hàm s 1 ( )

1

x

ti p tuy n d c a (C) sao cho d và hai ti m c n c t nhau t o thành m t tam giác cân

Gi i : G i d là ti p tuy n c a (C) t i đi m M x y( 0; 0), thì d :

0

1

= −

0

1

x x

+

- N u d c t ti m c n đ ng : x = -1 t i đi m B : ( 00 )

1 1;

1

x B

x

+

- Khi d c t ti m c n ngang : y =1 t i đi m A , thì : ⇒ A ( 2 x0 + 1;1 )

- Goi giao hai ti m c n là I(-1;1) Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA = IB

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

− +

−

+

=

− +

−

⇔

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− +

−

= +

⇔

=

⇔

2 2

1 1 1

2 2

1 1

1

1 1

1 )

2 2

(

0 0

0

0 0

0 2

0

0 2

0 2

2

x x

x

x x

x

x

x x

IB IA

2

2

3

⎡

VD 11 : Cho hàm s 3 2 Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C)

y= − +x 3x −1

bi t ti p tuy n đó vuông góc v i đ ng th ng (d) : y 1x 2009

9

(d) : y 1x 2009

9

= − có h s góc là 1

9

Ti p tuy n c a (C) có d ng y−y0 = f x'( 0)(x− x0)

Ti p tuy n vuông góc v i (d) f'(x )0 1 = − ⇔ 1 f'(x )0 = − 9

9

⎡

⎣

2

x x

V y có hai ph ng trình ti p tuy n c a (C) tho đi u ki n là: ⎡⎢ = − +⎣ = −99 −62

y x

y x 6

CÁC EM H C SINH CÓ TH T I THÊM T I LI U

TOÁN H C 12 WEB SITE www.nguyenvuminh.com