Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et phục vụ chuyên đề 4 Dạng 5: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.. Chứng minh phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt vớ
Trang 1Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)
CHUYÊN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI+HỆ THỨC VI-ÉT
A- TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
I-Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) = b 2 - 4ac
* Nếu > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b - ; x2 =
2a
-b +
2a
* Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: x 1 = x2 = -b * Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
II-Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiệm thu gọn ' = b' 2 - ac
* Nếu ' > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b' - ' ; x2 =
a
-b' + '
a
* Nếu ' = 0 phương trình có nghiệm kép: x 1 = x2 = -b' * Nếu ' < 0 thì phương trình vô nghiệm
III- Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :
1 Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 bx c 0(a 0) thì : 1 2
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
2 Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : 2
x Sx P 0 (Điều kiện để có u và v là S2 4P 0)
3 Nếu a + b + c = 0 thì phương trình 2 có hai nghiệm :
ax bx c 0(a 0) x1 1; x2 c
a
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình 2 có hai nghiệm :
ax bx c 0(a 0) x1 1; x2 c
a
IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
* Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có:
1 Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2 Vô nghiệm < 0
3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5 Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6 Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9 Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S < 0
12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S > 0
* Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1 2 ( 1 2 1 2 2) 2 1 2 ( 1 2) 2 1 2
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x x x1 x2 x1 x2
x x x x x x x x x x x x
( x ) ( x ) x x x x x x
Trang 2Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Dạng 5: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.
Tổng quát: Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số Giải hệ tìm tham số m.Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?
Bài 1 Cho hai phương trình: x2 x m 0 và 2
1 0
x mx
Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là x = 1 )
Giải: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình ta có
Bài 2 Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.
và ( Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1) 2
2 0
x mx 2
x x m
B- BÀI TẬP I-CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1 Giải các phương trình sau :
2
c / 2x 3x 5 0
e / x 3x 2x 6 0 4 2
d / x 3x 4 0 x 2 6
Giải
Vậy phương trình có nghiệm
a / 2x 8 0 2x 8 x 4 x 2 x 2
Vậy phương trình có nghiệm 2
x 0
x 0
3x 5 0 x
3
5
x 0; x
3
2
c / 2x 3x 5 0 2
2x 3x 5 0 Nhẩm nghiệm:Ta có : a - b + c = 2 + 3 - 5 = 0 => phương trình có nghiệm : x1 1; x2 5 5
2 2
Đặt Ta có phương trình : a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
d / x 3x 4 0 t x (t2 0) t2 3t 4 0
=> phương trình có nghiệm : t1 1 0 (thỏa mãn); t2 4 4 0(loại) Với:
1
t 1 x 1 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 1
Vậy phương trình có nghiệm x 3; x 2
(ĐKXĐ : ) Phương trình :
3
2
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
4 x 6x 3x 30 15x 6x 30 4x 15x 4 0
15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17
=> phương trình có hai nghiệm : x1 15 17 1(thỏa mãn ĐKXĐ), (thỏa mãn ĐKXĐ)
2.( 4) 4
15 17
2.( 4)
Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a.2x2 + 2012x – 2014 = 0 , b 17x2 + 221x + 204 = 0 c.x2 + ( 3 5)x - 15 = 0 d.x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0
Giải
a) 2x2 + 2012x – 2014 = 0 có a + b + c = 2 + 2012 +(-2014) = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 = 2014
1007 2
c a
Trang 3Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)
b) 17x2 + 221x + 204 = 0 có a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , x2 = - = - 12
17
204
a c
c) x2 + ( 3 5)x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :
x1 + x2 = -( 3 5) = - 3 + 5
x1x2 = - 15 = (- 3) 5
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5 (hoặc x1 = 5 , x2 = - 3)
d ) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0 có : ac = - 6 7 < 0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2
) 7 3(-2 7 6 -x
x
7 2 -3 x x
2 1
2 1
7
Bài 3 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b.(m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Hướng dẫn : a,x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 Hoặc x2 =
3
1
m
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành – 4x – 4 = 0 x = - 1
* m – 3 0 m 3 (*)
3
2 2 1
2 1
m
m x
x
Bài 4: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0
a) Tính: A = x1 + x2 , B = x1 x2 , C= , D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
1
1 1
1
2
1 x
x
blập phương trình bậc 2 có các nghiệm là và
1
1
1
1
2
x
Giải ;Phương trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có + A = x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1 x2 = S2 p 4 37
1
1 1
1
2
1 x
1 1
2 )
1 )(
1 (
2 ) (
2 1
2
S p
S x
x
x x
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x1 + x2 ) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta có :S = (theo câu a) p =
9
1 1
1 1
1
2 1
1 1
1 )
1 )(
1 (
1
2 1
x
Vậy và là nghiệm của hương trình : X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
1
1
1
1
2
9
1 9
Bài 5: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.Ta có = (m + 1)/ 2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ Nếu > 0 / m2 – 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - m2 9 x2 = m + 1 + m2 9
+ Nếu = 0 / m = 3
- Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2 + Nếu < 0 / -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm
Kết kuận:
Trang 4Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)
Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = m + 1 - m2 9 x2 = m + 1 + m2 9
Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm
Bài 6: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
Hướng dẫnNếu m – 3 = 0 m = 3 thì phương trình đã cho có dạng - 6x – 3 = 0 x = -
2 1
* Nếu m – 3 0 m 3 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số = m/ 2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- Nếu = 0 / 9m – 18 = 0 m = 2 phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = - = - 2
3 2
2
/
a b
- Nếu > 0 / m >2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 =
3
2 3
m
m m
- Nếu < 0 / m < 2 Phương trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phương trình có nghiệm x = -
2 1 Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m 3 phương trình có nghiệm x 1,2 =
3
2 3
m
m m
Với m < 2 phương trình vô nghiệm
Bài 7 : Cho phương trình : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
1 Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2 Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3 Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) Tìm k để : x1 + x2 > 0
Giải.1 Phương trình (1) là phương trình bậc hai có: = (k -1) 2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k +
5
6 5 9
= 5(k2 – 2 k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
5
3
25
9 25
36
5
3 5 36
2.Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 - k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2 k + + ) < 0
2
1 4
1 4 7
-(k - )2 - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k
2
1
4 7
3 Ta có x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)Vì phương trình có nghiệm với mọi k Theo hệ thức viét ta có
x1 + x2 = k – 1 và x1x2 = - k2 + k – 2
suy ra: x1 + x2 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
x1 + x2 = (k – 1)[(2k - )2 + ]
4
5 16 87
Do đó x1 + x2 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0 k – 1 > 0 ( vì (2k - )2 + > 0 với mọi k)
4
5 16
87
4
5 16 87
k > 1 Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 8: Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
1 Giải phương trình (1) với m = -5
2 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
3 Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2.)
Giải
1 Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9
2 Có / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5
/ = m2 + 2.m + + = (m + )2 + > 0 với mọi m.Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
2
1 4
1 4
19
2
1 4 19
Trang 5Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)
3 Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4
Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]
2
1 4 19
4
19 ) 2
1 ( m 2
4
19 2
2
1
2 1
Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -
2 1
Bài 9 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
1.Giải phương trình khi m = - 2.Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
2 9
3.Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia
Giải:
1) Thay m = - vào phương trình đã cho và thu gọn ta được 5x2 - 20 x + 15 = 0
2 9
phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phương trình đã cho trở thành; 5x – 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số :
= (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = = x2 =
) 2 ( 2
5 1 2
m
m
1 4 2
4 2
m
m
2
3 )
2 ( 2
) 3 ( 2 ) 2 ( 2
5 1 2
m
m m
m m
m
Tóm lại phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta xét 2 trường hợp
Trường hợp 1 : 3x1 = x2 3 = giải ra ta được m = - (đã giải ở câu 1)
2
3
m
m
2 9
Trường hợp 2: x1 = 3x2 1= 3 m + 2 = 3m – 9 m = (thoả mãn điều kiện m - 2)
2
3
m
m
2
11
Kiểm tra lại: Thay m = vào phương trình đã cho ta được phương trình :
2 11
15x2 – 20x + 5 = 0 phương trình này có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = = (thoả mãn đầu bài)
15
5 3 1
Bài 10: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số
1.Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1) 2.Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu
3.Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 x =
4 3
+ Nếu m 0 Lập biệt số = (m – 2) / 2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m = - m + 4
< 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) vô nghiệm
/
= 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm képx1 = x2 =
-/
2
1 2
2 4 2
/
m
m a b
> 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệtx1 = ; x2 =
/
m
m
m 2 4
m
m
m 2 4
Vậy : m > 4 : phương trình (1) vô nghiệm; m = 4 : phương trình (1) Có nghiệm kép x =
2 1
0 m < 4 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 =
m
m
m 2 4
m
m
m 2 4
m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x =
4 3
Trang 6Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)
2 (1) có nghiệm trái dấu < 0 < 0
a
c
m
m 3
0
0 3 0
0 3
m m m
m
0 3 0 3
m m m m
Trường hợp không thoả mãn Trường hợp 0 < m < 3
0
3
m
m
0
3
m
m
3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm 0 / 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phương trình (1) ta có : 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m =
-4 9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả mãn
4 9
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm được m = - Sau đó thay m = - vào phương /
4
9
4 9
trình (1) : - x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0 có = 289 – 189 = 100 > 0 =>
4
9
4
9
4
9
9 7 3
2
1
x x
Vậy với m = - thì phương trình (1) có một nghiệm x= 3
4 9
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = - vào phương trình đã cho rồi giải phương trình để tìm được x2 = (Như phần trên đã làm)
4
9
9 7
Cách 2: Thay m = - vào : x1 + x2 = x2 = - x1 = - 3 =
4
9
9 34 4
9
) 2 4
9 ( 2 ) 2 ( 2
m
m
9
34
9
34
9 7
Cách 3: Thay m = - vào công trức tính tích hai nghiệm x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 =
4
9
9 21 4
9
3 4
9 3
m
m
9
21
9
21
9 7
Bài 11: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép
2 Tim k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x1 + x2 = 10
Giải.
1.Phương trình (1) có nghiệm kép / = 0 k2 – (2 – 5k) = 0
k2 + 5k – 2 = 0 ( có = 25 + 8 = 33 > 0 ) k1 = ; k2 =
2
33
5
2
33
5
Vậy có 2 giá trị k1 = hoặc k2 = thì phương trình (1) Có nghiệm kép
2
33
5
2
33
5
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:
0 k2 + 5k – 2 0 (*) Ta có x1 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
/
Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - - 2k và x1x2 = 2 – 5k
a b
Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0 (Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -
2 7
Trang 7Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lượt k1 , k2 vào / = k2 + 5k – 2
+ k1 = 1 => / = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k2 = - => = không thoả mãn Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
2
8
29 4
8 70 49 2 2
35 4
49
Cách 2 : Không cần lập điều kiện 0 /
Cách giải là:Từ điều kiện x1 + x2 = 10 ta tìm được k1 = 1 ; k2 = - (cách tìm như trên)
2 7
Thay lần lượt k1 , k2 vào phương trình (1)
+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3
+ Với k2 = - (1) => x2- 7x + = 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) Phương trình vô nghiệm Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
2
7
2
39
Bài 12: Cho phương trình 2 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức M = 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất
24 6
HD
a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = b 2 m; P =
a
c m 2
a
24
6 ( 1) 3
m
2
( m 1) 3
lớn nhất khi m = 1 nhỏ nhất khi m = 1, Vậy M đạt GTNN là - 2 khi m = 1 2
6 ( 1) 3
M
6 ( 1) 3
M m
-II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : 2
8 15 0
x x Không giải phương trình, hãy tính
1 x12 x22 2
1 1
x x
b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1
1 1
x x , 2 x12 x22
2
8 x 72 x 64 0
c) Cho phương trình : 2
14 29 0
x x Không giải phương trình, hãy tính: 1
1 1
x x 2 x12 x22
d) Cho phương trình : 2
2 x 3 x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính:
1
1 1
1 x 1 x
e) Cho phương trình 2
4 3 8 0
x x có 2 nghiệm x 1 ; x 2 , không giải phương trình, tính 12 1 2 22
1 2 1 2
Q
Bài tập 2: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phương trình với m = - 5 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấud)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 3: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phương trình với m = 3 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Trang 8Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4) Bài tập 4Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0
a) Giải phương trình với m = - 2 b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x1 + x2 = 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x1 + x2
Bài tập 5: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 6: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x1 + x2
Bài tập 7: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2
Bài tập 8: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x1 + x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất d) Tìm m để C = x1 + x2 - x1x2
Bài tập 9: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 4 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x2x1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài tập 10: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 11:a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0(1) x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại
Bài tập 12:Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm GTLN biểu thức:A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài tập 13: Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)
1 Giải phương trình (*) với a = 1 2 Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a
3 Gọi x1,x2là hai nghiệm của phương trình (*) Tìm giá trị của a để biểu thức: N= x12 ( x1 2)( x2 2) x22 có GTNN
Bài tập 14: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thứcA = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài tập 15: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 10x1x2 +x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó
-III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI ( MỨC ĐỘ -YÊU CẦU- ĐÁP ÁN)
Bài 1 (4,0 điểm) Cho phương trình x 2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
a.Giải phương trính (1) khi m = 1 b.Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.
c.Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x 2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích)
Giải a Khi m = 1, pt(1) trở thành: x 2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0 0
3
x x
Vậy khi m = 1, phương trình (1) có hai nghiệm x 1 = 0; x 2 = 3.
b.Phương trình (1) có nghiệm kép khi có = 0 (-3) 2 – 4 1.(m – 1) = 13 – 4m = 0 m = 13
4
Trang 9Các bài tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyên đề 4)
Vậy khi m = 13 thì phương trình (1) có nghiệm kép.
4
c ĐK để pt(1) có hai nghiệm x 1 , x 2 là 0 13 – 4m 0 m 13.
4
Khi đó pt(1) có: x 1 x 2 = c = m – 1
a
Theo đề bài, ta có: x 1 x 2 = 2 m – 1 = 2 m = 3( thỏa ĐK)
Vậy khi m = 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).
Bài 2 (2,0 điểm).Cho phương trình: 2 (1) (với ẩn là )
2( 1) 2 0
1) Giải phương trình (1) khi =1.2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m m
3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là ; Tìm giá trị của để ; là độ dài hai cạnh của một tam giác x1 x2 m x1 x2
vuông có cạnh huyền bằng 12
Giải Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 Giải phương trình được x1 2 2; x2 2 2Tính 2
' m 1
Khẳng định phương trình luôn có hai nghiệm phân biệtBiện luận để phương trình có hai nghiệm dương 2m 2 0 m 0
2m 0
Theo giả thiết có x1 + x2 = 12 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12 2 m2 + m – 2 = 0
4(m 1) 4m 12
Giải phương trình được m = 1 ( thoả mãn), m = -2 (loại)
Bài 3 (2,0 điểm):1 Cho phương trình 2 2 (1), trong đó m là tham số
x - 2m - (m + 4) = 0 a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để x + x12 22 20
Giai 1 a) ' ( 1)2 1 ( m2 4) m2 5 Vì m2 0 , m ' 0 , m
Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Áp dụng định lý Vi –ét
) 4 (
2
2 2
1
2 1
m x
x
x x
2
x x x x x x m m m
vậy m= 2Thì phương trình có nghiệm và thỏa mãn 2 2
x + x 20
Bài4: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số
1) Giải phương trình khi m = 1
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện 1 2
8 3
HD:1) Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – 3 = 0 x = -1 hay x = 3 (có dạng a–b + c = 0)
2)Với x1, x2 0, ta có : 1 2 3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2
8 3
3( x x ) 8 x x
Ta có : a.c = -3m2 0 nên 0, m
Khi 0 ta có : x1 + x2 = b 2 và x1.x2 = 0
a
2
3
c m a
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 0 mà m 0 > 0 và x1.x2 < 0 x1 < x2
Với a = 1 x1 = b ' ' và x2 = b ' ' x1 – x2 = 2
2 ' 2 1 3 m
3(2)( 2 1 3 m ) 8( 3 m )
2 2(hiển nhiên m = 0 không là nghiệm)
1 3 m 2 m
4m4 – 3m2 – 1 = 0 m2 = 1 hay m2 = -1/4 (loại) m = 1
Trang 10Cỏc bài tập phương trỡnh bậc 2- Vi-et (phục vụ chuyờn đề 4) Bài 5 (1,5 đ)Cho phương trỡnh: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0
1) Chứng minh rằng : Phương trỡnh trờn luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 với mọi giỏ trị của m
2) Tỡm giỏ trị của m để biểu thức A = 2 2 đạt giỏ trị nhỏ nhất
x x
HD (1,5 đ)Cho phương trỡnh: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0
1) Chứng minh rằng : Phương trỡnh trờn luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 với mọi giỏ trị của m
Ta cú (m 2) 2m24m 3 1 > 0 với mọi m
Vậy phương trỡnh đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 với mọi giỏ trị của m
2) phương trỡnh đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2với mọi giỏ trị của m Theo hệ thức Vi-ột ta cú :
2
1 2
x x 2(m 2)
x x m 4m 3
A = x12 x22 = (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10
A = 2(m2 + 4m) + 10 = 2(m + 2)2 + 2 (≥ 2 )với mọi m
Suy ra minA = 2 m + 2 = 0 m = - 2 Vậy với m = - 2 thỡ A đạt min = 2
Bài 6 Cho phương trỡnh: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = 0 (ẩn x) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 thỏa món điều kiện : 2 2
x x 7 Giải+ Phương trỡnh đó cho cú = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, m Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt m + Theo ĐL Vi –ột, ta cú: 1 2 2
1 2
4 1
x x x x x x
(4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 10m2 – 4m – 6 = 0 5m2 – 2m – 3 = 0
Ta thấy tổng cỏc hệ số: a + b + c = 0 => m = 1 hoặc m = 3 Trả lời: Vậy
5
Bài 7(2.0 điểm) : Cho phương trỡnh : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0
1 Giải phơng trỡnh khi m = 4 2 Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
Giải
1 Khi m = 4, ta cú phương trỡnh: x2 + 8x + 12 = 0 cú ’ = 16 – 12 = 4 > 0
Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1 = - 4 + 2 = - 2 và x2 = - 4 - 2 = - 6
2 Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt: x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0
Cú / = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – 4 Để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt thỡ > 0/
=> 2m – 4 > 0 => 2(m – 2) > 0 => m – 2 > 0 => m > 2
Vậy với m > 2 thỡ phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
Bài 8: (1,5 điểm)Cho phương trỡnh (ẩn số x): 2 2
x x m
1 Chứng minh phương trỡnh (*) luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m
2 Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh (*) cú hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2 5 x1
Giải: (1,5 điểm) Cho phương trỡnh (ẩn số x):
16 4 12 4 4 4 0;
2 Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh (*) cú hai nghiệm x x1, 2 thỏa x2 5 x1
Theo hệ thức VI-ET cú :x1.x2 = - m2 + 3 ;x1+ x2 = 4; mà x2 5 x1 => x1 = - 1 ; x2 = 5
Thay x1 = - 1 ; x2 = 5 vào x1.x2 = - m2 + 3 => m = 2 2
Bài 9: 2 điểm:Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m là tham số)
a) GiảI phương trình khi m = 3 b.Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 2
x x
Giải: (2,0 điểm) a, Thay x = 3 vào phương trỡnh x2 - 2(m - 1)x + m2 - 6 = 0 và giải phương trỡnh:
x2 - 4x + 3 = 0 bằng nhiều cỏch và tỡm được nghiệm x1 = 1, x2 = 3