ly thuyet cac dang toan va bai tap phuong trinh bac nhat mot an

* Nghiệm của phương trình A x =B x là giá trị của x mà khi thay vào phương trình, giá trị tương ứng của hai vế bằng nhau.. * Muốn xem số a có phải là nghiệm của phương trình hay không,

B x là hai biểu thức của cùng một biến x

* Gía trị x0 của ẩn x để A x( 0)=B x( 0) được gọi là nghiệm

2 * Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình đó

* Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình

* Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương

3 Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn được một phươngtrình mới tương đương với phương trình đó

4 Nghiệm duy nhất của phương trình a x+ =b 0 (a≠0) là x b

* Nghiệm của phương trình A x( )=B x( ) là giá trị của x mà khi thay vào phương trình, giá

trị tương ứng của hai vế bằng nhau

* Muốn xem số a có phải là nghiệm của phương trình hay không, ta thay x a= vào hai vế

của phương trình, tức là tính A(a) và B(a)

Nếu hai vế của phương trình bằng nhau, tức là A a( )=B a( ) thì x= là nghiệm của phươnga

trình Còn nếu A(a)≠B(a) thì x= không là nghiệm của phương trình.a

Vậy x= − là nghiệm của phương trình 4 1 31 x− = x− 2

b) Với x= − : Vế trái có giá trị : 1 ( 1) 1− + =0

Vế phải có giá trị : 2.( 1 3)− − =2.( 4)− = −8

Vậy x= − không là nghiệm của phương trình 1 x+ =1 2(x 3)−

c) Với x= − : Vế trái có giá trị : 1 2.( 1 1) 3− + + =3

Vậy t= − là nghiệm của phương trình 1

- Thay t= vào phương trình được :0

(0 2)+ =3.0 4+ ⇔2 =4 : đúng

Vậy t= là nghiệm của phương trình 0

- Thay t= vào phương trình được :1

(1 2)+ =3.1 4+ ⇔3 =7 : sai

Vậy t= không là nghiệm của phương trình 1

Ví d ụ 3 (Bài 3 trang 6 SGK)

Xét phương trình x+ = + Ta thấy mọi số thực đều là nghiệm của nó Hãy 1 1 x

cho biết tập nghiệm của phương trình ?

3(x− =1) 2x−1 (a)

11

x

x = −+ (b)

x= là nghiệm của phương trình (b)

D ạng 2 XÉT HAI PHƯƠNG TRÌNH CÓ TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU KHÔNG

Phương pháp giải

* Hai phương trình được gọi là tương đương nếu mọi nghiệm của phương trình này đều lànghiệm của phương trình kia và nghược lại Nói cách khác, hai phương trình tương đương làhai phương trình có các tập nghiệm bằng nhau

Đặc biệt : Hai phương trình cùng vô nghiệm được xem là hai phương trình tương đương (vìcác tập nghiệm của chúng bằng nhau và bằng ∅)

* Nếu chỉ ra được một nghiệm của phương trình này mà không là nghiệm của phương trìnhkia hoặc một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm thì kết luận được haiphương trình không tương đương

* Để chứng tỏ hai phương trình (1) và (2) tương đương, ngoài phương pháp chứng tỏ haiphương trình (1) và (2) có các tập nghiệm S1; S2 bằng nhau, ta có thể dùng phương pháp khác là dùng phép biến đổi tương đương để biến (1) thành (2) ; hoặc biến đổi (2) thành (1)

1) Theo công thức S =BH BC.( +DA) : 2 ;2) S=S ABH +S BCKH +S CKD.

Sau đó sử dụng giả thiết S =20 để thu được hai phương trình tương đương

với nhau Trong hai phương trình ấy, có phương trình nào là phương trình bậc

x + x =

và 2 11 20

2

x + x=Trong hai phương trình ấy, không có phương trình nào là phương trình bậc nhất

C B

3 (Dạng 1) Thử lại rằng phương trình 2mx+ =2 6m− + luôn nhận x 5 x= làm nghiệm, dù3

m lấy bất cứ giá trị nào

4 (Dạng 2) Hai phương trình sau có tương đương không?

Cách giải phương trình thu gọn được về dạng ax b+ = : 0

- Quy đồng mẫu thức hai vế

- Nhân hai vế cho mẫu thức để khử mẫu thức

- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

- Thu gọn và giải phương trình

B CÁC D ẠNG TOÁN

D ạng 1: TÌM CHỖ SAI VÀ SỬA LẠI CÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải

-Chú ý đến quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển vế một hạng tử từ

vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

- Quy tắc nhân: Ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0

Ví d ụ 1: Tìm chỗ sai và sửa lại các bài giải sau cho đúng:

Ví dụ 2: Bạn Hòa giải phương trình x x( +2)=x x( +3) như dưới đây Theo em, bạn

Hòa giải đúng hay sai? Em sẽ giải phương trình đó như thế nào?

x x+ =x x+ ⇔ + = + ⇔ − = − ⇔x x x x x= (vô nghiệm)

-Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức.

- Thực hiện các quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân để tìm nghiệm

x= − nghiệm đúng phương trình (3)

Ví d ụ 6: Giải phương trình

a) 7 2+ x=22 3− x b) 8x− =3 5x+12c) x− +12 4x=25 2+ x−1 d) x+2x+3x−19=3x+5e) 7−(2x+4)= − +(x 4) f) (x− −1) (2x− = −1) 9 x

Gi ải

a) 7 2+ x=22 3− x⇔2x+3x=22 7− ⇔5x=15⇔ =x 3

b) 8x− =3 5x+12⇔8x−5x=12 3+ ⇔3x=15⇔ =x 5

c) x− +12 4x=25 2+ x− ⇔ +1 x 4x−2x=25 1 12− + ⇔3x=36⇔ =x 12d) x+2x+3x−19=3x+ ⇔5 3x=24⇔ =x 8

Dạng 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải:

- Chọn ẩn và xác định điều kiện của ẩn

- Biểu thị các số liệu chưa biết qua ẩn

- Tìm mối liên hệ giữa các số liệu để lập phương trình

- Giải phương trình

- Chọn kết quả thích hợp để trả lời

Ví dụ 8: Một chiếc xe máy khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng với vận tốc trung bình

32km/h Sau đó 1 giờ, một chiếc ô tô cũng khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng, cùng đường với người đi xe máy và với vận tốc trung bình là 48 km/h Hãy

viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi hành

Gi ải

Sau x giờ, kể từ khi ô tô khởi hành xe máy đi được (x+ giờ Khi đó ô tô đi được1)

đoạn đường dài 48x (km) và xe máy đi được 32(x+ (km)1)

Phương trình biểu thị ô tô gặp xe máy sau x giờ kể từ khi ô tô khởi hành là:

Đố Trung bảo nghĩa hãy nghĩ ở trong đầu một số tự nhiên tùy ý, sau đó Nghĩa

thêm 5 vào số ấy, nhân tổng nhận được với 2, được bao nhiêu đem trừ đi 10,

tiếp tục nhân hiệu tìm được với 3 rồi cộng thêm 66, cuối cùng chia kết quả cho

6 Chẳng hạn, nếu Nghĩa nghĩ đến số 7 thì quá trình tính toán sẽ là :

Nghĩa đã thử mấy lần, Trung đều đoán đúng, Nghĩa phục tài Trung lắm Đố

em tìm ra bí quyết của Trung đấy!

C LUY ỆN TẬP

Muốn giải phương trình ( ) ( )A x B x = ta giải hai phương trình ( ) 00 A x = và ( ) 0B x = rồi

lấy tất cả các nghiệm thu được

B CÁC D ẠNG TOÁN Dạng 1 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG A x B x( ) ( ) =0

Phương pháp giải

• Giải hai phương trình ( ) 0A x = và ( ) 0.B x =

• Lấy tất cả các nghiệm thu được

• Viết tập hợp nghiệm S

Ví d ụ 1 (Bài 21, trang 17 SGK)

Giải phương trình : a) (3x−2 4)( x+ = ;5) 0 b) (2, 3x−6, 9 0,1)( x+2)=0;c) ( )( 2 )

x x

Phương pháp giải

• Chuyển tất cả các số hạng sang vế trái, vế phải bằng 0

• Rút gọn rồi phân tích đa thức thu được ở vế trái thành nhân tử

• Giải phương trình tích rồi kết luận

3 3 1 0

x − x + x− = ; d) x(2x− −7) 4x+14= ;0e) ( )2 ( )2

x x

Vậy : S ={ }1;3

Ví d ụ 4 (Bài 23, trang 17 SGK)

Giải phương trình :

a) x(2x− =9) 3x x( − ;5) b) 0, 5x x( − =3) (x−3 1, 5)( x−1);c) 3x−15=2x x( − ; d) 5) 3 1 ( )

= −

+ =

4x − 12x+ = 5 0.

4 (Dạng 2) Cho biểu thức : A = ( 5 x − + 3 y 1 7 )( x + 2 y − 2 )

a) Tìm x sao cho với y= 2 thì A=0

b) Tìm y sao cho với x= − thì 2 A= 0

BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

A TÓM T ẮT LÝ THUYẾT

1 Điều kiện xác định của phương trình.

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là giá trị của ẩn để tất cả các mẫu thứctrong phương trình đều khác 0

2 Cách gi ải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức.

• Tìm điều kiện xác định của phương trình

• Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu thức.

• Giải phương trình vừa nhận được

• Kết luận : Với giá trị x tìm được, kiểm tra điều kiện xác định của phương trình rồi

Bạn Hà cho rằng Sơn giải sai vì đã nhân hai vế với biểu thức x− có chứa 5

ẩn, Hà giải như sau:

5

x x x

⇔ = (loại vì không thỏa ĐKXĐ)

Vậy phương trình ( )1 vô nghiệm

D ạng 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU

Phương pháp giải

• Tìm ĐKXĐ.

• Quy đồng mẫu thức và bỏ mẫu thức

• Giải phương trình không chứa ẩn ở mẫu

x x

2 2

− + =

00

1( 1)( 2) 0

2( khong thoa DKXD)

x x

x x b

a) Giải phương trình với a= − 3

b) Giải phương trình với a= 1

Bước 1 (Lập phương trình) Bao gồm :

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Từ đó lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2 (Giải phương trình) Giải phương trình thu được

Bước 3 (Trả lời) Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa

mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi trả lời

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử của nó là 3 Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm hai đơn

vị thì được phân số mới bằng phân số 1.

2 Tìm phân số ban đầu

Gi ải

Gọi tử số của phân số là x thì mẫu số là x+3 3(x≠ − )

Sau khi tăng thêm đơn vị tử số là x+ và mẫu sẽ là: 2 x+ + = + 3 2 x 5

Vì phân số mới bằng 1

2 nên ta có phương trình : 2 1

x x

Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng 1

8 số học sinh cả lớp Sang học kì hai, có thêm

3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số học sinh giỏi bằng 20 % số học sinh cả

lớp Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh ?

Gi ải

Gọi x(xnguyên dương) là số học sinh lớp 8A

Số học sinh giỏi của lớp 8A ở học kì một là : 1

Ví d ụ 3: (Bài 36 trang 26 SGK) (Bài toán nói về cuộc đời nhà toán học Đi-ô-phăng, lấy trong

hợp tuyển Hi Lạp - cuốn sách gồm 46 bài toán về số, viết dưới dạng thơ trào phúng)

Thời thơ ấu của Đi-ô-phăng chiếm 1

Vậy Đi-ô-phăng sống 84 tuổi

Ví d ụ 4: Năm nay tuổi mẹ gấp 3lần tuổi Phương Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ

chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?

Giải

Gọi x là tu ổi của Phương năm nay Điều ki ện x ngu yên dương

13năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình :3x+ =13 2(x+13)

Giải phương trình trên ta được x= (thỏa điều kiện) nên Phương năm nay 13 tuổi 13

Ví d ụ 5 (Bài 41 trang 31 SGK)

Một số tự nhiên có hai chữ số; chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu thêm

chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn ban đầu là 370 Tìm số ban đầu

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ

số 2 vào bên phải số đó thì ta được một số lớn gấp 153 số ban đầu

Giải

Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số

Khi viết thêm một chữ số 2 vào bên trái và một chữ số 2 vào bên phải số đó thì ta được một

a) Tử số của phân số là số tự nhiên có một chữ số;

b) Hiệu giữa tử số và mẫu số bằng 4;

c) Nếu giữ nguyên tử số và viết thêm vào bên phải của mẫu số một chữ số đúng bằng tử số,thì ta được một phân số bằng phân số 1

 Loại toán chuyển động có ba đại lượng tham gia vào bài toán là: vận tốc (v), thời gian (t)

và quãng đường đi được (s) và ta có công thức s = v.t

Ví d ụ 8: Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng

xuất phát từ A đuổi theo xe máy với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20 km/h Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9giờ 30 phút sáng cùng ngày Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy

Gi ải

Goi x (km/h) là vận tốc trung bình của xe máy (x> 0)

Thời gian xe máy đi từ A đến B là: 9giờ 30ph. Thời gian xe ôtô đi từ A đến B là:

Ta có phương trình: 3, 5 ⋅ =x 2, 5(x+ 20) ⇔ 3, 5.x= 2, 5.x+ 50 ⇔ =x 50(thỏa điều kiện)

Vậy vận tốc trung bình xe máy là: 50km/h và quãng đường AB là : 3, 5.50 = 175km

Ví d ụ 9: (Bài 46, trang 31 SGK)

Một người lái ôtô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h Nhưng sau khi đi được một giờ

với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút Do đó, để kịp đến B đúng thời gian

đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính quãng đường AB

Giải

Tacó:10 10 1

60 6

ph= = h G ọi x (km) là quãng đường AB (x> )0

Đoạn đường từ A đến C (điểm nghỉ 10 phút) là 48 km Ta lập bảng sau:

Vân t ốc (km/h) Th ời gian (h)

Vậy quãng đường AB là 120km

D ạng 3 TOÁN VỀ CÔNG VIỆC

Phương pháp giải: Chú ý: Tỉ lệ phần trăm a%

100

a

=

Ví d ụ 10 (Bài 39, trang 30 SGK)

Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, trong đó đã tính

cả 10 nghìn đồng thuế giá trị gia tăng (thuế VAT), biết rằng loại hàng thứ nhất,

thuế VAT là 10%, loại hàng thứ hai thuế VAT l à 8% Hỏi nếu không kể thuế

VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng bao nhiêu tiền?

Giải

Gọi x(nghìn) là số tiền loại hàng thứ nhất không kể thuế VAT m à Lan phải trả (x>0)

Tổng số tiền Lan phải trả nếu không kể thuế VAT là :120 10 110− = nghìn, ta lập bảng sau:

Ti ền không tính VAT Ti ền thuế VAT

100 ⋅ +x 100 −x = ⇔ x+ − x= ⇔ =x (thỏa điều kiện)

Vậy số tiền Lan phải trả (không kể thuế VAT) loại hàng I là 60 nghìn đồng và loại hàng II là

50nghìn đồng

Ví dụ 11:

Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một tấm thảm len trong 20 ngày Do cải tiến kỹ thuật, năng

suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20 % Bởi vậy, chỉ trong 19 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm 24 tấm nữa với chất lượng cao Tính số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng

Bà An gởi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a %( a là một số cho

trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau

a) Hãy viết biểu thức biểu thị:

+ Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;

+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất;

+ Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai

b) Nếu lãi suất là 1,2 % tức là a=1, 2 và sau 2 tháng tổng số tiền lãi là 48,288 nghìn đồng,thì lúc đầu bà An đã gởi bao nhiêu tiền tiết kiệm?

⇔ =

Vậy số dân tỉnh A năm ngoái là 2,4 triệu và số dân tỉnh B năm ngoái là 1,6 triệu

D ạng 4 TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC

Phương pháp giải

* Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia: toàn bộ công việc, phần làm việctrong một đơn vị thời gian (1 ngày, 1 giờ,…) và thời gian làm công việc

* Nếu một đội nào đó làm xong công việc trong x ngày thì một này đội đó làm được 1

x công

việc

Ví d ụ 14 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy Mỗi giờ lượng

nước vòi I chảy được bằng 1,5 lượng nước chảy được của vòi II Hỏi mỗi vòi

chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể?

Gọi x (giờ) là thơi gian vòi II một mình chảy đầy bể (x>0) Ta lập được bảng sau:

Thời gian chảy đầy bể (h) 1 giờ chảy được (bể)

Ta có phương trình:

x+ x =

Giải phương trình ta được: x=12 (thỏa mãn điều kiện)

Vòi II chảy một mình trong 12 giờ đầy bể

Trong 1 giờ, vòi I chảy được: 5 1 1

24−12= (bể)8Vòi I chảy 1 mình trong 8 giờ đầy bể

⇔ = (thỏa mãn điều kiện) x 3

Vậy số điểm 5 của tổ là 3 và số điểm 9 của tổ là 1

⇔ =x 50(thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh của lớp là 50 và số điểm 4 của lớp là 8

Ví d ụ 17 (Bài 49, trang 32 SGK)

Đố Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC

vuông tại A, cạnh AB=3cm Lan tính rằng nếu cứ

cắt miếng bìa đó ra một hình chữ nhật có chiều dài

2cm như hình bên thì hình chữ nhật ấy có diện tích

bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu Tính

độ dài canh AC của tam giác ABC

Gi ải

2 (Dạng 1) Tổng của hai số bằng 90 Số này gấp đôi số kia Tìm hai số đó

3 (Dạng 1) Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 13 Nếu tăng tử số lên 3 đơn vị và giảm

mẫu số 5 đơn vị thì ta được phân số bằng 3 / 4 Tìm phân số đã cho

4 (Dạng 1) Tỉ số của hai số bằng 3 / 5 Nếu chia số thứ nhất cho 9 và chia số thứ hai cho 6thì thương thứ nhất nhỏ hơn thương thứ hai là 3 Tìm hai số đã cho

5 (Dạng 2) Tổng của bốn số bằng 45 Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2,

số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì bốn kết quả đó bằng nhau Tìm bốn số ban đầu

6 (Dạng 2) Một ô tô đi từ A đến mất 2 giờ 30 phút Nếu nó đi với vận tốc nhỏ hơn

10km h thì nó s/ ẽ mất nhiều thời gian hơn là 50 phút Tính quãng đường từ A đến B

7 (Dạng 2) Một người dự định đi xe máy trên một quãng đường dài 120km trong 2 giờ 30phút Đi được 1 giờ người ấy nghỉ 15 phút Để đến đích đúng dự định người ấy phải tăng vận

tốc gấp 1, 2 lần vận tốc lúc đầu Tính vận tốc lúc đầu của người ấy