Bài tập phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

*** BÀI LUYỆN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC... GVGD: Tên thầy..[r]

BÀI 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG

GIÁC.

GIẢI ĐÁP BÀI TỰ LUYỆN:

1 a sin12x cos8x= 3(sin8x cos12x) 

sin cos x



   

sin x sin x cos

       

d Chọn các nghiệm của phương trình:

cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 thuộc 0;14

cos x 2cosx.sin( +x)

2



sin cos

8  8  8

c.2sin2x.sin4x=cos2x+sin3x

d sin x+sin x=12 4

3. Giải các phương trình:

a cosx+2sin2x-cos3x  1 2 sin x cos2x

8 sin x

cosx sinx

4. Tìm các nghiệm của phương trình

cos 3x 9x 16x 80 1

4



Giải:

1 a sin12x cos8x= 3(sin8x cos12x) 

sin12x 3cos12x= 3 sin8x cos8x

sin12x cos12x= cos8x+ cos8x

sin12x.cos sin cos12x=sin8x.cos sin cos8x

sin 12x- sin 8x+

         



sin cos x



   

5 1 6k

(1): Để có nghiệm phải chọn K thuộc Z sao cho:



Với K=0

1

cos x=

10

x arccos k2 x arccos 2k(k z)



           

cos x=

2 6 10

   

x arccos - k2 x arccos - 2k

           





           

sin x sin x cos

       

         

  7

2 sin x cos cos

sin x sin

     

         

d.cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (*)

co3x=cos(2x+2)=cos2x.cosx-sin2x.sinx

=(2cos2x-1)cosx-2sin2x.cosx

=2cos3x-cosx-2(1-cox2x).cosx

=4cos3x-3cosx

(*)

4 cos x 3 cos x 4(2cos x 1) 3 cos x 4 0

4 cos x 8 cos x 0 4 cos x(cosx-2)=0

cosx=0 x= k (K Z)

2



Yêu cầu bài toán: 0 k 14

2



    1

k 14

    

1 14 1 k





=> k=0,1,2,3 từ đây tính ra các nghiệm theo yêu cầu bài toán

2 a. cos 3 x 2cosx.sin( +x)

2



3

cos( x) 2cosx.sin( +x)

2

cos( x) 2cosx.(-sinx)

2

-cos( x) 2cosx.sinx

2

sinx+ 2cosx.sinx=0

sinx(1+ 2cosx)=0

sinx=0 x k

(k Z)

4 2











    



sin cos

8  8  8

2

sin cos 2 sin cos

2

x

1 cos

8 2 2cos 5 cos cos



k2



    

4

x k4 (k Z)

3



     

c 2sin2x.sin4x=cos2x+sin3x

cos2x-cos6x=cos2x+sin3x

cos( -6x)=cos( 3x)

2 R

2





       

k2 x

6 3 (k Z)

k2 x

6 3

  



  



d. sin x+sin x=12 4

2sin x+2sin x=2 1-cos2x+1-cos4x=2

cos4x+cos2x=0 cos4x=-cos2x=cos( -2x)

x= k

6 2 4x= ( -2x)+k2 (k Z)

x=- k

2 2

 



 



3. cosx+2sin2x-cos3x  1 2sin x cos2x (*)

Biến đổi:

cosx+2sin2x-cos3x=+2sin2x.sinx+2sin2x

=2sin2x sinx+1

2

1 sin 2x cos2x=1+2sinx-1+2sin x=2sinx sinx+1 

(*) 2sin2x(sinx+1) 2sin x(sinx+1)

sinx(sinx+1) 0

sin2x(sinx+1)=sinx(sinx+1)

sin2x(sinx+1)=-sinx(sinx+1)







 







sinx(sinx+1) 0

(sin2x-six)(sinx+1)=0

(sin2x+six)(sinx+1)=0







 







sinx 0 x k

sinx+1=0

x k2 (k Z) sin2x=sinx 3

2 sin2x=-sinx x k2

3









8 sin x

cosx sinx

Điều kiện: x k (k Z)

2



Biến đối phương trình:

8 sin 2x.cosx= 3 sinx+cosx

4(1-cos2x)cosx= 3 sinx+cosx

4cosx-4cos2xcos= 3 sinx+cosx

3cosx-2(cos3x+cosx)= 3 sinx

-2cos3x= 3 sinx-cosx cos3x= cosx- sinx

cos3x=cos cosx-sin sinx=cos x







Thỏa điều kiện

6

3

12 2



   





       

     

4 cos 3x 9x2 16x 80 1

4

Điều kiện: 9x2 16x 80 0 

2 2

2

cos 3x 9x 16x 80 1 3x 9x 16x 80 k2

3x 9x 16x 80 8k

3x 8k 9x 16x 80

8k

x (1)

3

9x 48kx 64k 9x 16x 80

8k

x

3

4k 5

x

3k 1

 



 



 



 



 



Xét

2

3k 1 3 9 9(3k 1)



49 9x 12k 4

(3k 1)



=> vế trái nguyên khi và chỉ khi 3k-1 là các ước của 49

2 3k 1 1 k Loai

3 3k 1 1 k 0 x 5 không thoa (1)

8 3k 1 7 k Loai

3

16 5 8( 2)

50 3k 1 49 k Loai

3

4( 16) 5 8( 16)

   

       

   

          



   

          

 

=> Các nghiệm của phương trình : x=-3, x=-21

*** BÀI LUYỆN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 ĐỐI VỚI HÀM SỐ

LƯỢNG GIÁC.

 asin2x+Bsinx+c=0 đặt sinx=t, chỉ nhận nghiệm có t 1

 acos2x+Bcosx+c=0 đặt cosx=t, chỉ nhận nghiệm có t 1

 atan2x+Btanx+c=0 đặt tanx=t, nhận nghiệm thỏa x k

2



  

 acot2x+Bcotx+c=0 đặt cotx=t, nhận nghiệm thỏa x k

2



  

1. Giải phương trình:

a 4 cos 2x 2 3 1)cosx+ 3  0

b 6 cos x 5 sin x 7 02   

sin 2x 3cos2x 5 cos 2x

6



sin sin 3x

2   2

sin x cos x= cos 2x

6



sin x cos x+

4 4



 

 

g. tan x cot x  2(sinx+cosx)

Giải:

a. 4 cos 2x 2 3 1)cosx+ 3  0

Đặt sinx=t, ( t 1), được phương trình

4t2 2( 3 1).cosx+ 3 0

t , t

(K Z)

cosx=

6 2

     







b 6 cos x 5 sin x 7 02   

2 2

6(1 sin x) 5 sin x 7 0

6 sin x 5 sin x 1 0

1

x arcsin k2

3 1

sinx=

1

3 x arcsin k2 (K Z)

3 1

sinx=

5

6





sin 2x 3cos2x 5 cos 2x

6



2

4 sin 2x cos2x 5 cos 2x

2

4 cos2xcos sin 2x sin 5 cos 2x

2

4 cos( 2x) cos 2x 5 0

        

cos 2x 1

6

5 cos 2x (loai)

  

  





  

  



5

k (k Z) 12

          



    

sin sin 3x

2   2

sin 4 sin cos

sin 4 sin 1 sin

sin t (0 t 1)

2   

2 2

4t2 5t 0 t , t

sin 2 sin 1 1 cos3x=1

cos3x=0 3x= k x k

sin x cos x= cos 2x

6



2

1 cos2x 1 cos2x 17

cos 2x

(1 cos2x) +(1 cos2x) 17 cos 2x

1 4 cos 2x 6 cos 2x 4 cos 2x cos 2x+1+4cos2x+6cos 2x+4cos 2x+cos 2x=17 cos 2x

2

2

2cos 2x 5 cos 2x 2 0

1 cos 2x

2 cos 2x 2 (loai)



 





cos 2x 2cos 2x 1 1 cos4x=1

2 cos4x=0 4x= k x= k (K Z)

sin x cos x+

4 4



 

 

4 sin x 4cos x+ 1

4



 

 

2 2

(1 cos2x) + 1+cos(2x+ 1

2 (1 cos2x) +(1 sin 2x) 1



1 2cos 2x cos 2x+1-2sin2x+sin 2x=1

sin 2x cos sin 2x cos2x

1 cos2x.cos sin 2x.sin cos(2x- ) cos

x k



   



 



g. tan x cot x  2(sinx+cosx) (1)

Điều kiện: x k

2



 sinx cosx

cosx sinx

2

2 2

1

2(sinx+cosx) (*) sinx.cosx

2

2(sinx+cosx) sin2x

4

2(1+sin2x) sin 2x

2=sin 2x+sin 2x

sin 2x+sin 2x-2=0 (sin 2x-1)(sin 2x-1)=0

(sin2x-1)(sin 2x+sinx+1+1)=0

(sin2x-1)(sin 2x+sinx+2)=0

sin2x=1 2x= k2 x

2









4



  

Thỏa điều kiện, nhưng chỉ x k2 thỏa (*)

4



  

2. Giải các phương trình:

cos 2x+ 4 cos x

     

2cos 2x cos 10 cos x cosx



c cos x-cos2x+2sin x=04 6

d. tan x cot x 2(t anx+cotx)=62  2 

Giải:

cos 2x+ 4 cos x

     

2

2

cos 2x+ 4 sin x

5

1 2 sin x+ 4 sin x

3

2 sin x+ 4 sin x 0

      

       

      

Đặt sin x t ( t 1)được phương trình:

3



    

1 t

2t2 4t 0

t 2

 



    

 



         





2cos 2x cos 10 cos x cosx



2 2

x

4 cos 2x 2cos 20 sinx 7 cosx

2 4(1-2sin x)+1+cosx-20sinx+7=cosx

-8sin x-20sinx+12=0 2sin x+5sinx-3=0

sinx=-3 (loai) x k2

6 1

5 sinx=

2

6





   





   

c. cos x-cos2x+2sin x=04 6

1 cos2x 1 cos2x

1 cos2x 4 cos 2x 1 cos2x 0

Đặt cos2x=t t 1được phương trình:

1 t 4t (1 t)  0

1 2t t 4t (1 t) 0

(1 t) (1 t) 0 (1 t) (1 1 t) 0

      

         

2 t 2 (loai)

(1 t) (2 t) 0

t 1 cos 2x 1 2x k2 x k (k z)





      



       

d. tan x cot x 2(t anx+cotx)=62  2  Điều kiện: x k

2





tan x cot x 2 2 2(tan x cot x) 6 0

Đặt tanx+cotx=U thì U 2, Được phương trình:

U2+2U-8=0 U 2

U 4





   



t anx+ 2 0

tanx

tan x 2 tan x 1 0 t anx=1

x= k

4



t anx+ 4 0

tanx

2

tan x 4 tan x 1 0

t anx=-2- 3 x arctan(-2- 3) K

(k Z)

t anx=-2+ 3 x arctan(-2+ 3) K

3. Giải các phương trình:

sin sinx-cos sin x 1 2 sin



    

b

sin x cos x 1

(t anx+cotx) sin2x 2

c 2cos 2x cos2x=4sin 2x.cos x2  2 2

d 2 sin x 7 sin x cos x 6 cos x 04  2  2 

Giải:

sin sinx-cos sin x 1 2 sin



    

2

2

sinx sin -2cos sin 1 2 sin 0

sinx sin -2cos sin cos x 0

sinx sin -2cos sin 1 0





2

3

sinx 2cos 1 sin 1 0

sinx 2sin sin 1 0

2

sinx sin 1 2 sin 2 sin 1 0

sinx=0

x k (k Z) x

sin 0

2







b.

sin x cos x 1

(t anx+cotx) sin2x 2

Điều kiện: x k

2





Biến đổi:

sin x cos x 22  2  1 sin x cos x 2  2 

2

1

sin 2x sin 2x 2

sin 2x 0



Không thỏa điều kiện

=> phương trình vô nghiệm

c. 2cos 2x cos2x=4sin 2x.cos x2  2 2

1 cos4x+cos2x=(1-cos4x)(1+cos2x)

1 cos4x+cos2x=1-cos4x+cos2x-cos4xcos2x

2cos4x+cos4x.cos2x=0 cos4x(2+cos2x)=0

cos4x=0 4x= k x k (k Z)

 

 

d 2 sin x 7 sin x cos x 6 cos x 04  2  2 

Đặt sin x t2  0 t 1   được phương trình

2t 7 cos.t 6 cos x 0 

Phương trình bậc hai cũa t này có   49 cos x 48 cos x cos x2  2  2

=>

7 cos x cosx 3

7 cos x cosx

4











* sin x cosx 1-cos x= cosx

 

cosx=-2 loai 2cos2x+3cos-2=0 1

cosx=

2







1



    

* Sin2x=2cosx

1-cos2x=2cosx



 

2 cosx=-1- 2 loai

cos x+2cosx-1=0

cosx=-1+ 2





cosx=-1+ 2   x arccos -1+ 2 k2

2

1 cot x+a tanx+cotx 2 0

a. Giải phương trình khi 5

a 2



b. Định a để phương trình có nghiệm

Giải.

2 2

1

cot x+a tanx+cotx 2 0

cos x

1 tan x cot x+a tanx+cotx 2 0

Điều kiện: x k k Z

2



Đặt tan x cot x U  thì 2 2  2

U 2 , tan x + cot x + 2 = tanx + cotx

Được phương trình

2

U aU 1 0 

a. Khi 5:

a

2

U U 1 0 2U 5U 2 0 2

 

U 2

1

U loai

2

 







  



Với U=-2

2 2

1 tan x cot x 2 t ãn+ 2 0 tan x 2 tan x 1 0

t anx

t anx+1 0 t anx=-1 x=- k k Z

4



b. Cần tìm a để phương trình U2 aU 1 0 có nghiêm U  2

phương trình có  a2 4

Nếu     0 a 2, phương trình có nghiệm U 1 loai 

Nếu   0 a2   4 0 a 2, phương trình có 2 nghiệm

a a -4 a a -4

Để phương trình có nghiệm thì:

2a 4 2a a -4 2a 4 2a a -4

a 2 a a -4 8 hoac a 2 a a -4 8

a a -4 10 a 1 hoac a2 10 a a -4 2

Giải (1): a 10 (1) đúng

2 a 10 thì 1 a a 4 100 20a a

5/2

=> 5 a 2



Giải (2): a 10 2 vế đều dương (2)  a4 20a2 100 a 4 4a2

16a 100 a

2

Vô nghiệm

Theo yêu cầu bài tập: 5

a 2



5. Cho phương trình sin 6x cos6x

m tan x+ tan

a. Giải phương trình khi 1

m

4

 

b. Định m để phương trình có nghiệm

Giải:

tan x tan x tan x cot x 1

                 

              

    

.sin x cos x= sin x  cos x  sin x cos x sin x cos x-sin x.cos x 

2

sin x cos x 3 sin x.cos x

1 sin 2x 1

5 3 cos 4x 8







m

4

 

5 3 cos 4x

1





cos4x=-1 4x= +k2 x= k

4 2

 

Từ: 5 3 cos 4x

m 3 cos 4x 5 8m 8

-8m-5

cos4x=

3



Để phương trình có nghiệm thì:

-8m-5

3

1

1 m

4

    

6. Định a để phương trình 2a sin x (1 a).cos2x+a+3=0 4   có nghiệm:

Giải:

 Nếu a = 0, có phương trình –cos2x+3=0 phương trình vô nghiệm

4

2

2a sin x (1 a).cos2x+a+3=0 1-cos2x a 2(1 a)cos2x+2a+6=0 acos 2x-2(1+a).cos2x+3a+6=0

 



Đặt cos2x=X thì X 1 được phương trình

aX2-2(1+2a)X+3a+6=0

phương trình này có

' 1 4a 4a a(3a 6) a 2a 1 (a 1)

          

1

1 2a a 1 2 a

X

1 2a a 1

a



 

  



Để phương trình có nghiệm thì:

2 a

a



2 a

1 0 a

2 a

1 0 a

2 2a

0 a

2

0

a

a 1 hay a 0

a 0

a 1





  







 

 





  



  

Bài Tự Luyện Tập:

1. Giải các phương trình:

a 2cos2x+4cosx=3sin2x

b 4sin4x+12cos2x=7

c sin2x(1+tanx) + m(tanx + cotx)-1=0

sin x+sin x cos x= sin 2x

  

2. Định m để phương trình sau: 32 2

3 tan x m(t anx+cotx)-1=0 sin x  

Có nghiệm

3. Cho phương trình 2 sin x 1 2cos 2x 2 sin x m      3 4 cos x2

a Giải phương trình khi m=1

b Định m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc  0;