Tuyển tập các bài toán phương trình, hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên

Phiếu học tập tuần toán 7 Tailieumontoan com  Tài liệu sưu tầm TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 Website tailieumontoan com 1 Bài 1 ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009) 1 1 Xét phương trình 3 2 2 2 (1)( 1) x x x x + = − + Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên có thể viết phương trình (1) dưới dạng 3 2 2 2 22 1 1 1 2 2 2 1 (2) 11 1 x x x x x x x x xx x x xx + +  [.]

Tailieumontoan.com



Tài liệu sưu tầm

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH

NGHIỆM NGUYÊN

Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

1.2 Với điều kiện 1 x y z≤ ≤ < (*) : 2 2 2 (1)

x y z

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010)

2xy = (x + y)

⇔ ⇔ 2 2

x + y = 0⇔ x = y = 0 ⇒z = 1 Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1)

Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Với |y| = 1, từ (3) suy ra x ∈{ 0 ; 6}

b) |z| = 3, (2) ⇔ (x-3)2 + 11 y2 = 5 (4)

Từ (4) ⇒ 11y2 ≤ 5 ⇒ y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0)

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)

x y y

Khi x2 = − ⇒2 y2 =5

Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: (1;2), (-2;5)

Bài 4: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

Giải các phương trình và hệ phương trình:

3

t = , ta có: 3 1 26

x+ = ⇔ = −x

Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện (*)

Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là: 11; 26

4 9

 

b) Giải hệ phương trình:

2 2

+ Với x = y, thế vào (1) ta được: 18x -72 = 0 ⇔ = =x y 4

+ Với y = 9 – x, thế vào (2) thì phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : (x;y)= (4;4)

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

Hệ phương trình viết lại là: 2 1 (1)

x z y

b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m

Hệ đã cho viết lại là: 2 1

       nên luôn có nghiệm

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

X X = ⇔ + − =+

⇔(X −1)(X + =2) 0

⇔ X = 1 (loại nghiệm X = -2)

⇔ x− − = ⇔ =1 2 0 x 5

Vậy tập nghiệm của phương trình là :S ={1; 2;5}

Giải (1) ta được x + y = 13 hoặc x + y = -5

Với x + = y 13 ⇔ = − y 13 x Thế vào (2) ta được : 2

12 32 0

x − x+ = Giải ra ta được: x1=8,x2 = ⇒4 y1=5,y2 =9

Ta có hai nghiệm đầu tiên : (8 ;5), (4 ;9)

Với x + = − ⇔ = − − y 5 y x 5 Thế vào (2) ta được : 2

x + x− = Giải ra ta được:

* Với x = 1 và x = 7 là nghiệm của phương trình

* Với x ≠0; x ≠1; x 7:≠ Tử số hai phân số luôn cùng dương hoặc cùng âm và mẫu có giá trị không âm nên

Vậy, (5−x0;5−y0) cũng là nghiệm của hệ phương trình đã cho khi (x y0; 0)là nghiệm

b) Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Theo câu a), để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì 0 0 0

vào hpt đã cho, giải được m=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất

5252

x y

Bài 10: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)

2 2

x

 + ≥+ ≥

= ⇔ = − (thỏa điều kiện − ≤ <1 x 0)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = 3 và x = -1

2 2

2

2

t= (loại)

Với

1 5

32

2

x x t

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là (1;1), (-1;-1)

Bài 12: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

( )0

u I v

uv

II v

11

2

x

x x

x

y

y y

Vậy, tập nghiệm của phương trình là: 5; 1;1

3

 

Bài 15: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

Giải các phương trình sau, biết rằng chúng có nghiệm chung:

Kiểm tra ta cũng thấy x= −4 là nghiệm của (1)

x y z

a) Giải hệ phương trình với m = 1

Điều kiện:x0,y 0 Với m = 1, hệ phương trình là:

Với điều kiện x  0, y  0, hệ phương trình đã cho là:

Khi đó (1) trở thành

2 2

2 2

Với y=4 suy ra x=2021; với y= −3 suy ra x=2014

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=2014,x=2021

Bài 18: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Giải phương trình, hệ phương trình

Ta thu được các nghiệm: (1 ;-2), (-2 ;1)

Vậy, các nghiệm (x;y) của hệ là: (-1 ;2), (2 ;-1), (1 ;-2), (-2 ;1)

x x

Bài 20: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)

a) 2

x + x+ = x+

Điều kiện xác đinh: x≥ −2

Với điều kiện xác định trên, phương trình đã cho được viết lại như sau

3

2 1

x x

Điều kiện xác định của hệ phương trình 2,

2

x y

0

a b

21

2

x

x y

y y

00

2

x

x y

y y

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( ) ( )0; 2 , 2;0

Bài 21: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

3 2 2 ( 1)(2 1) 25 2 2 3 1 27 3

x x

+ Khi x = 5 thỡ VT = VP, nờn x = 5 là nghiệm của pt

Bài 22: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

a) Điều kiện x ≥ 1

Phương trình đã cho tương đương với

3x− x+1= 2x+3− 2x−2

)32)(

22(22232)1(321

−

=+

2

x x

Thử lại ta thu được x = 2 là nghiệm

−+

−

=

−+

)2(21

)1(121

y x

x

x y

x

Điều kiện x ≥ 1; y ≥ 1

Với điều kiện trên ta có x+ x−1+ y≥1+ 1−1+ 1=2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1

Thử lại thấy x = y = 1 cũng thỏa mãn (1)

Tóm lại hệ có nghiệm duy nhất

1

y x

Bài 23: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)

Với a = b ta cú 2 1 x+ = 3x ⇔ =x 1 thỏa món điều kiện

Vậy x=1 là nghiệm của phương trỡnh đó cho

Bài 24: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)

ĐK: x≥ −2 Với điều kiện biến đổi phương trình đã cho trở thành:

2

12

=1 3 2 0

2

2 4

x x

+ Với a=1,b=3

2

113

x y

x x

x

≤ ≤

+ − = ⇔ − = − ⇔ 

5(6 ) 1

2

x x

Với x= 3 1− ta có a= −1;b=4 và c= −2 nguyên, thỏa mãn đầu bài

Bài 26: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)

Từ phương trình ( )1 suy ra x≥0 Với x= ⇒ =0 y 0 không thỏa mãn Vậy x>0

t t

+ − =

− ĐK : 16 – x2 > 0 ⇔ - 4 < x < 4 Đặt y = 2

Loại Loại Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x ; y) là (-2 ; 2); (-2 ; 8)

b) Cách 1: Điều kiện x ≥ −2018

2

x + x + 2018 =2018 (1) Đặt t = x 2018+ (t ≥0) ta có 2 2

t = x + 2018⇔ − =t x 2018 (2)

2

x = x + 2018 x x 2018 = 0

1 8073x

( ) ( )

2 2

1 8069x

2 3

Vì (k + a – 2) + (k – a + 2) = 2k là số chẵn và có tích cũng là số chẵn nên (k + a – 2) và (k – a + 2) là số chẵn

Bài 32: ( HSG TỈNH BÌNH DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013)

Bài 33: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018 – 2019)

a) Điều kiện xác định của phương trình là x 3

2

≥ Với điều kiện xác định ta có

3x 5 + + x 2 + > 0 và 4x − 2x 3 − > 0 Do đó biến đổi phương trình trên như sau

b) Hệ phương trình đã cho được viết lại thành

Từ đó ta được ( ) (x; y = − 3; 0 , 1; 4) ( ) là các nghiệm của hệ phương trình đã cho

Bài 34: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2010 – 2011)

( )( ) ( ) ( )

Bài 35: ( HSG TỈNH ĐAKLAK NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x3+2x2+3x+ =2 y3

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x = 1 từ đó tìm được hai

cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ; 2), (-1 ; 0)

(thỏa điều kiện)

Bài 37: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016 – 2017)

1 5( )2

1 5( )2

P S

1

x y

Với x = 0, (*) ⇔ 0x+9=0 (phương trình vô nghiệm

Với x ≠0, chia 2 vế của phương trình (*) cho x2

2 2

x x

++

−

−+

x

x x

33

51

11

−

t t

20

75)2(014

3

5 2

t

t t

t t

−

=+

−

1)

2(

12

2 3

2 2

y x

y x

=+1

1

3 3

2 2

y a

y a

11,11

,

1

2 2

3 3 2

2

y y a a

y a y

a y

a

y

a

Từ (1), suy ra (2) có vế trái ≥0, dấu bằng xảy ra ⇔ a2(1-a) = y2(1- y) = 0

Nghiệm của phương trình là x= +2 2

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 – 2013)

Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình

Với x ≠ 0, phương trình đã cho tương đương với: 4 + 3 = 6

Khi đó x ; ylà 2 nghiệm của phương trình t2 – 4t + 3 =0

Giải phương trình ta được t1 = 3; t2 = 1

Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x = 9 ; x = 1

t t

x

x x

Với: y + z = 0 ⇔ x + + 1 2 = 0 - vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm: 1 5

2

=

Bài 46: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016 – 2017)

3x

Bài 47: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018 – 2019)

(1)⇔(x−3)( 1+ − −x 1) x( 4− − =x 1) 2x −6x

23

x x− = ⇔ =x x= (Thỏa mãn điều kiện)

Với điều kiên −1≤ x≤4 ta có

Dấu " " = không xảy ra nên

phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0 và x=3

c) Giải bất phương trình 3 2

x + x − x− x+ ≤ (1)

Xột x= −1, thay vào (2) thỏa món

Xột x> − ⇒1 x+ >1 0 Chia hai vế của (2) cho ( )3

⇔ − − + = vụ nghiệm; x−1−1=0được x = 2

Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm

Bài 49: ( HSG TỈNH HềA BèNH NĂM HỌC 2009 – 2010)

a) Biến đổi chuyển về 2

(x+2)(x + − =x 1) 0,

Giải ra được pt có 3 nghiệm 2 1 5

2

x= − va x= − ±

3 0

x +xy+y + > , từ đó (1) : x = y Thay vào (2) được: x= = ±y 10

Bài 50: ( HSG TỈNH HềA BèNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Vậy (x,y)=(0;0);(0;1);(1;1)

1

=

x

)1(2

4

2 2

3 3

y xy x

y x y x

Nhân vế trái của (1) với vế phải của (2) và nhân vế phải của (1) với vế trái của (2) ta có: ( 9)(4 3 3) ( 2 )(52 2 82 21 2)

y xy x

y x y

Biến đổi nhận được phương trình: (x−y)(4x−y)(2x+3y)=0

Với x= y tìm được (x;y)=(0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn)

(x;y)=(1;1);(−1;−1) ( thử vào hệ thấy thỏa mãn)

Với y=4x tìm được (x;y)=(0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn)

3 3

3

22

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1 35; 5 3 5

⇔  + = ⇔  = (tmđk)

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S ={ }1; 2

Bài 53: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014 – 2015)

Vậy nghiệm nguyên của pt là: (x; y) = (0; -1)

Bài 54: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015 – 2016)

2x + xy − y = 5x − − ⇔ y 2 x + − y 2 2x − − = y 1 0

TH1: x + − = y 2 0 thế vào pt còn lại của hệ : xy=1⇒ = = x y 1

TH2: y = 2x 1 − thế vào pt còn lại của hệ : 2

5x − − = x 4 0

4 x

Vậy cặp số nguyên dương cần tìm là (x; y) = (8;1)

Bài 57: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Vậy nghiệm ( )x, y của hệ pt là ( )0 0 ;, ( 3, 3 ;) (− 3,− 3 ; 1 1 ;) ( ,− ) (−1 1, )

Bài 58: ( HSG TỈNH NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

x x

⇔ − + = ⇔ = ⇔  = (do điều kiện của x)

Với y= x−1, thay vào (2) ta được 2 2

x x

x x

Với (a;b) = (64;8) ⇒ ( 1)33 64

( 1) 8

x y

 + =



+ =

1 4

1 2

x y

=



 =

 Với (a;b) = (8;64) ⇒

3 3

( 1) 8( 1) 64

x y

 + =



+ =

1 2

1 4

x y

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1

Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) 2x2 +5x+12+ 2x2 +3x+2 =x+5

Đặt a = 2x2 + x5 +12; b = 2x2 + x3 +2 => a2 – b2 = 2x +10 => x+5 =

2

2 2

=+

+

6

116

xyz

zx yz

xy

z y

−

=+

)0:(6

116

z vì z xy

zx yz xy

z y

suy ra (-x0;y0) cũng là nghiệm của hệ.Từ đó ta có − =x0 x0 ⇔x0 =0

Với x0=0 thay vào (2) suy ra y0 = ±1

- Với x0=0 và y0 = - 1 thay vào (1) suy ra m = 0

không có nghiệm duy nhất Nên m = 0 loại

-Với x0 =0 và y0 = 1 thay vào (1) suy ra m = 2

Từ (3)⇒ ≥y 1 và Từ (4) ⇒ ≤y 1 Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất (x;y) =(0;1)

Vậy m = 2 thì hệ PT có nghiệm duy nhất

z 1

x

⇒ =

thay vào (2)⇒ 3xy+3 = 8x+y (4)

Từ (1) ⇒ xy 1 3y + = ⇔ 3xy+3 = 9y (5)

Vì phương trình y2 − + = y 1 0 vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)

This image cannot currently be displayed.

This image cannot currently be displayed.

This image cannot currently be displayed.

This image cannot currently be displayed.

hoặc x = 3

Bài 65: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015 – 2016)

a) Viết phương trình đã cho về dạng: 9.(3x – 2 +19) = y2 (x≥2) Để y là số nguyên thì điều

kiện cần và đủ là 3x – 2 + 19 = z2 là số chính phương (z là số nguyên dương)

Nếu x – 2 = 2k + 1 là số lẻ thì 3 2k + 1 + 19 = (32k + 1 + 1) + 18 = 4.B + 18 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không thể là số chính phương

This image cannot currently be displayed.

This image cannot currently be displayed.

This image cannot currently be displayed.

2 2



(1)(2)

x y

x y

x + y = 0, suy ra x = = y 0 không thỏa mãn hệ

TH2: x - y = 0 hay y = x thế vào (2) ta được : ( 2 ) ( )

2 x + − 1 3 x x 1 + − = x 0

4 2

5 2

−

131

31

13

y x

y x

y x

=

=

−+

=

=+

1

121

2 2

b a ab

ab b

a b

a ab

b a

2

P

S S

P

P S

10

1

b a b a

ab

b a P

3

110

1

y

x y

x b

3

011

0

y

x y

x b

4

944

−+++

x

( ) ( )( )

453

4

54

−++

+++

=

−

⇔

)2(43

4

14

6

2

2

10

5

x x

2

≤++

3

134

1

≤++

x

6

53

12

134

14

6

2

2

=+

≤++

++

+

⇒

x x

Mặt khác: x+4≥1

Từ đó suy ra phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x=5

c) Trừ vế với vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:

(x y)(x y) (x y)

y x y

6

2

x

x x

- Nếu z 3≥ thì 1 1 1 32 1 1

xy+ yz+zx ≤ z ≤ <3 (loại)

- Nếu z = 2 thì phương trình đã cho trở thành

2xy= + +x y 2 Hay (2x 1 2y 1− )( − =) 5

Với y = 3 ta có 2 2

2x −4x+ = ⇔3 3 2x −4x+ =3 9 ⇔ 1

3

x x

= −



 =

Vậy phương trình có 3 nghiệm x1 = 1, x2 = -1, x3 =3

y x

x y x

⇔

53

254024953

258

258

)53(

2 2

Khi 3x+5 là ước 25 từ đú tỡm được (x;y)∈{(−10;−31);(−2;−7);(0;−5)}

( cỏch khac nhõn 2 vế với 9 đưavề tớch)

= +

2 2

3 3

3

6 4

18 27 8

y x y x

y y

=

+

16

1

33

18

2 2

3 3

ab

b a ab

b a

b a

6

;4

53

;53

6

;4

53),(x y

2 2

2

2 2 2

2

=

−+

−+

−

⇔

=+

−

−

−+

⇔++

=

−+

y x

y x

y x xy y

x y

x xy y x

1

00

)2(

0)12(

x

x x

x

x x

−

−+

20

12

2

0)1(2

12

22

2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x

−

=

−+

−

)2(

;062

4

)1(

;1211

2 2

2 2

y x y x

xy x

y y x

⇔

=

−

−+

−+

1

20

)1)(

2(

0)1(2)1)(

(0)1(2)(

2 2

xy

x y

xy y

x

xy xy

y x xy

y x xy y x

thay vào PT (2) giải ra có 5 nghiệm

4

;31

;2

13

;13

;2

13

;2

;5,0

;1

;1

62

32413'= + − + − = − + = −

=

+

−+

=

⇔

4

3134

313

x x t

x x t

x t

x t

Với

2

2+

22

124

22

21

2

2 2

2 2

x x

x x

x

x x

x

7

6027

602

1212

2 2

2 2

x x

x x

x

x x

x

2

61

2

612

;7

602

=+

−++

−

04

0252

2 2

2 2

y x y x

x y xy y x

)2(

)1(

PT (1)⇔ 2x2− y2+xy+y−5x+2=0⇔ y2 −(x+1)y−2x2 +5x−2=0

19918925241'= + − − + − = − + = −

=

−

−+

=

⇔

2

1312

131)

1(

x x

y

x x

2

x y

x y

Với y = x− +2, thay vào PT )(2 ta được 2x2 −4x+2=0⇔ x=1⇒ y=1

Với y = x2 −1, thay vào PT )(2 ta được 

10

4

5 2

x

x x

x

*) x=1⇒ y=1 *)

5

135

Bài 75: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018)

x + x− x + x+ = ⇔ x + x+ − x + x+ − =

Với u = 1 ta được x = 1 ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0; x = 1

Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)

• Lời giải 1 Điều kiện xác định của phương trình là 1 x 3

4x 1

3 4x 2 4x 1

Vậy x 1

4

= − là nghiệm suy nhất của phương trình

• Lời giải 2 Điều kiện xác định của phương trình là 1 x 3

Vậy x 1

4

= − là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Giải phương trình (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x + 6) = 12x2

Ta có: (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x + 6) = 12x2

⇔ (x2 + x – 6)(x2 + 5x – 6) = 12x2 (*)

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế của phương trình (*) cho x2 ≠ 0 ta được:

t t

3

x x

737

x x

Vậy phương trình có 4 nghiệm …

=+

−

32))(

(

20))(

(

2 2

2 2

y x y x

y x y x

=+

−

32)()(

40))(

(2

2

2 2

y x y x

y x y x

Trừ hai pt vế theo vế ta được: (x - y)3 = 8 ⇔ x – y = 2

Hệ pt đã cho tương đương với hệ







=+

y x

−

=

10)2(

2

2 2

x x

x y

2

2

x x

x y

x x

x y

y x y x

⇒ 1− +x 1+ =x 2 ⇒ x=0 ( Cô si – hoặc bình phương )

x = 0 thỏa điều kiện ⇒ x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Cách 2:

Điều kiện : 1− ≤ ≤x 1

2(1)⇔ 2[ 1− − −x (1 x)] [ 1+ −x − +(1 x)]=0

(*) ⇔ 1− =x 1+x

⇔ 2

1+x −2x= + ⇔ =1 x x 0,x=3 (loai)

Kết luận: x = 0 là nghiệm duy nhất

Bài 82: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2004 – 2005)

Thử và thấy các giá trị trên thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x =

Bài 83: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)

Điều kiện của ẩn : x, y, z ≥ 1/4

Nhân vế theo vế cả ba phương trình với 2 rồi cộng lại, ta được phương trình:

4x + 4y + 4z = 2 4x−1 + 2 4y−1 + 2 4z−1 (*)

Biến đổi (*) <=> ( 4x−1-1)2 + ( 4y−1-1)2 + ( 4z−1-1)2 = 0

<=> 4x−1 = 4y−1 = 4z−1 = 1 <=> x = y = z = 1/2 thỏa mãn đ/kiện

Thử lại, thấy x = y = z = 1/2 thỏa mãn hệ

Vậy hệ đã cho có duy nhất nghiệm là (x ; y ; z) = (1/2 ; 1/2 ; 1/2)

Bài 84: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013 – 2014)