Giải và biện luận các phương trình sau theo tham 1 hai bằng của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất.. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nữa Bài 2.[r]
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
1 Phương trình bậc nhất một ẩn
1.1 Định nghĩa
Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax+b = , trong đó a , b là những hằng số, 0 a ≠ 0
Ví dụ: 2x − =1 0; 3− x+2= ; 0 3−2x= là nh0 ững phương trình bậc nhất một ẩn
1.2 Giải và biện luận phương trình ax+b=0
0
ax+b= (1)
• a ≠0: (1) có nghiệm duy nhất x b
a
= −
• a =0:
0
b ≠ : (1) vô nghiệm
0
b = : (1) được thỏa mãn với mọi x ∈ℝ (có vô số nghiệm)
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a) 2x − =8 0 b) 5 3− x=0
Giải:
a) 2x− = 8 0
⇔2x= 8
⇔x=4
Vậy nghiệm của phương trình là x =4
b) 5 3− x=0
⇔ −3x= − 5
3
x
Vậy nghiệm của phương trình là 5
3
x=
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình (m−1)x+ −1 m=0 (*)
Giải:
• m− ≠1 0⇔m≠1 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất
(*) ⇔(m−1)x=m−1
⇔x=1
• m− =1 0⇔m=1 Phương trình (*) trở thành:
0x=0
Phương trình nghiệm đúng với mọi ∈ ℝx (phương trình có vô số nghiệm)
Vậy:
• m≠1, (*) có nghiệm duy nhất x=1
• m=1, (*) có vô số nghiệm
1.3 Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
1.3.1 Phương trình mx n e
+
=
Điều kiện phương trình xác định khi px+q≠0 hay x≠ −q
p Phương trình đã cho tương đương với
Trang 2mx+n=e px( +q)
Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm
Ví d ụ : Giải các phương trình sau
a) 2 3 5
+
=
x
x b) 1 2
1
− +
=
−
x x
Gi ả i:
a) 2 3 5
+
=
x
x
Điều kiện:
4 3 0 3
4
− x+ ≠ ⇔x≠
Phương trình đã cho tương đương với:
2x+ =3 5( 4− x+3)
⇔2x+ = −3 20x+15
⇔22x=12
6
11
⇔x= (nhận)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 6
11
=
1
− +
=
−
x
x
Điều kiện:
x− ≠1 0⇔x≠1
Phương trình đã cho tương đương với:
− + =x 1 2(x−1)
⇔ − + =x 1 2x−1
⇔3x=3
⇔x=1 (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
1.3.2 Ph ươ ng trình ch ứ a ẩ n trong d ấ u giá tr ị tuy ệ t đố i
a) Ph ươ ng trình ax+b =cx+d v ới a ≠ 0
Điều kiện phương trình xác định là cx+d≥0
Với điều kiện phương trình xác định, ta có:
ax b cx d
ax b cx d
Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc ta có thể viết gọn là:
0
cx d
Giải tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm
Để dễ nhớ ta viết
Trang 3
0
≥
= ⇔ =
= −
B
Ví dụ: Giải phương trình 2 x− =1 x−1
Giải:
2x− =1 x−1
Điều kiện:
x− ≥1 0⇔x≥1
Phương trình đã cho tương đương với:
2 1 1
− = −
− = − −
0
=
⇔
=
x x
0 2 3
=
⇔
=
x x
(loại) (loại) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm Hoặc ta cũng cĩ thể giải như sau:
2x− =1 x−1
1 0
− ≥
⇔ − = −
− = − −
x
1 0
≥
⇔ =
x x x
1 0 2 3
≥
=
⇔
=
x x x
(loại) (loại) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm
b) Phương trình ax+b = cx+d với ac ≠0
ax b cx d
Để dễ nhớ ta viết:
= −
Ví dụ: Giải phương trình 3 x−5 =5 2− x Giải:
3x−5 =5 2− x
Trang 43 5 5 2
− = −
⇔
− = − −
5 10
=
⇔
x
2 0
=
⇔
=
x
x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=0 và x=2
(Hoặc: Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={0;2})
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình mx−2 = x+m (*)
Giải:
Ta có:
mx−2 = x+m
⇔
− = − +
( )a ⇔(m−1)x=m+2
• m− ≠1 0⇔m≠1, ( )a có nghiệm duy nhất 2
1
+
=
−
m x
m
• m− =1 0⇔m=1, ( )a trở thành 0 x=3, phương trình này vô nghiệm
( )b ⇔(m+1)x= −m+2
• m+ ≠1 0⇔m≠ −1, ( )b có nghiệm duy nhất 2
1
= +
m x
• m+ =1 0⇔m= −1, ( )b trở thành 0 x=3, phương trình này vô nghiệm
Ta có bảng sau:
Nghiệm của ( )a Nghiệm của ( )b Nghiệm của (*)
1
=
− +
= +
m m
1 2
1
= −
+
= −
−
m
2
−
1
≠ ±
1
+
−
m m
2 1
− + +
m m
2 1
+
−
m
1
− + +
m m
Vậy:
• m=1, (*) có một nghiệm 1
2
=
x
• m= −1, (*) có một nghiệm 1
2
= −
• m≠ ±1, (*) có hai nghiệm 2
1
+
=
−
m x
1
− +
= +
m x m
2 Phương trình bậc hai một ẩn
2.1 Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng 2
0
ax +bx + = , trong đó a , b , c là những hằng số, c a ≠ 0
Trang 5Ví dụ: 2
x − x+ = ; 2
− + − = ; 2 2
3x − x+ = là những phương trình bậc hai một ẩn
2.2 Giải và biện luận phương trình 2
0
2
0
ax +bx+ = (2) c
• a ≠ Ta tính 0 ∆ =b2−4ac (tương ứng ∆ =' b'2−ac nếu b=2 'b )
∆ <0 (tương ứng '∆ <0): (2) vô nghiệm
∆ = (tương ứng '0 ∆ =0): (2) có nghiệm kép
2
b x a
= − (tương ứng x b'
a
= − )
∆ >0 (tương ứng '∆ >0): (2) có hai nghiệm phân biệt
1
2
b x
a
− + ∆
2
b x
a
− − ∆
= (tương ứng x1 b' '
a
− + ∆
a
− − ∆
• a = : (2) trở thành 0 bx+ =c 0 Đây là phương trình như phương trình (1) nêu ở phần trên Cách giải và biện luận giống như phần 1.2
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a) 2
x − x+ = b) 2
x − x+ = c) 2
x + x+ =
Giải:
a) 2
x − x+ =
Ta có: a = , 1 b = − , 5 c = 6
Khi đó:
∆ =b2−4ac= −( 5)2−4.1.6
=25−24 1=
Vì ∆ = > nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 1 0
b x
a
2 5 1 3
b x
a
Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={2;3}
b) x2−4x+4=0
Ta có: a = , 1 b = − , 4 c = , 4 b = − ' 2
Khi đó:
' b' ac ( 2) 1.4
=4−4=0
Vì '∆ =0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép
' 2 2
1
b x
a
= − = =
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S ={ }2
c) 2
x + x+ =
Ta có: a = , 1 b = , 2 c = , 3 b = ' 1
Khi đó:
2 2
' b' ac 1 1.3
∆ = − = − = − = − 1 3 2
Trang 6Vì '∆ = − <2 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅
Ví dụ: Giải và biện luận phương trình 2
(m−1)x −(2m+1)x+m− = (*) 3 0
Giải:
• m− =1 0⇔m= , (*) trở thành: 1
3 2 0 2
3
• m− ≠1 0⇔m≠ , (*) là phương trình bậc hai với: 1
2
(2m 1) 4(m 1)(m 3)
=4m2−4m+ −1 4(m2−4m+3)
12= m−11
11
12
∆ < ⇔ − < ⇔ < , (*) vô nghiệm
11
12
2( 1)
m x m
−
11
12
∆ > ⇔ − > ⇔ > , (*) có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 12 11
2( 1)
x
m
=
2
2( 1)
x
m
=
Vậy:
• m =1, (*) có nghiệm 2
3
x = −
12
m < , (*) vô nghiệm
12
m = , (*) có nghiệm kép x = −5
11
12
m > và m ≠1, (*) có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 12 11
2( 1)
x
m
=
2( 1)
x
m
=
2.3 Định lý Viet
2.3.1 Định lý Viet thuận
Nếu phương trình bậc hai 2
0
ax bx c (a≠0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S=x1+x2= −b
a ; = 1 2 =
c
P x x
a Ghi chú:
- Nếu a+ + =b c 0 thì phương trình bậc hai 2
0
ax bx c có hai nghiệm x1=1, x2=c
a
- Nếu a b− + =c 0 thì phương trình bậc hai 2
0
ax bx c có hai nghiệm x1= −1, x2= −c
a 2.3.2 Định lý Viet đảo
Nếu hai số u và v có tổng u+ =v S và tích uv=P thì u và v là nghiệm của phương trình:
2
0
2.4 Phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn
Trang 72.4.1 Phương trình ax b mx n
cx d
+
+ với mc ≠ 0
Điều kiện phương trình xác định: cx+d≠0⇔x≠ −d
c
Phương trình đã cho tương đương với:
ax+b=(cx+d mx)( +n)
Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu vớ điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm
Ví dụ: Giải phương trình 1 3 1
1
x
x x
−
+
Giải:
Điều kiện để phương trình xác định là:
x+ ≠1 0⇔x≠ −1
Phương trình đã cho tương đương với:
x− =1 (3x−1)(x+1)
⇔x− =1 3x2+2x−1
2
3x x 0
0 1 3
(nhận) (nhận)
x
x
=
⇔
= −
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 1;0
3
= −
2.4.2 Phương trình ax b mx n
= + + với pc≠0
Điều kiện phương trình xác định: 0
0
≠ −
⇔
+ ≠
d x
q
px q
x p
Phương trình đã cho tương đương với:
(ax+b px)( +q)=(cx+d mx)( +n )
Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm
Ví dụ: Giải phương trình 2 1 3 1
=
Giải:
Điều kiện để phương trình đã cho xác định là:
2
1
2
x x
≠
− ≠
⇔
Phương trình đã cho tương đương với:
(2x−1)(2x+1)= −( 3x+1)(2−x)
4x 1 3x 7x 2
2
Trang 8
2
2
(nhận) (nhận)
x
x
=
⇔
=
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 7 61; 7 61
S − − − +
2.4.3 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) Phương trình ax+b =cx+d với a ≠ 0
Điều kiện phương trình xác định: cx+d≥0
Với điều kiện phương trình xác định, ta cĩ:
Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc cĩ thể viết như sau:
cx d
ax b cx d
Để dễ nhớ ta viết:
2≥0 2
=
B
Ví dụ: Giải phương trình 2 x−1=x− 1
Giải:
Điều kiện để phương trình đã cho xác định là:
x− ≥1 0⇔x≥ 1
Phương trình đã cho tương đương với:
2 2
(2x−1) =(x−1)
⇔4x2−4x+ =1 x2−2x+ 1
2
3x 2x 0
2 3
(loại (loại)
x
x
=
⇔
=
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅
Hoặc là cĩ thể giải như sau:
2x− =1 x− 1
1 02 2
x
− ≥
⇔
x
≥
⇔
21
x
≥
⇔
Trang 9
1
2 3
(loại (loại)
x x x
≥
=
⇔
=
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = ∅
b) Phương trình ax+b = cx+d với ac ≠0
Để dễ nhớ ta viết:
A = B ⇔A2=B 2
Ví dụ: Giải phương trình 3 x−5 = 5 2− x
Giải:
3x−5 =5 2− x
(3x 5) (5 2 )x
9x 30x 25 25 20x 4x
5x 10x 0
2
x
x
=
⇔
=
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S ={0;2}
2.4.4 Phương trình ax+b=cx+d với a ≠ 0
Điều kiện phương trình xác định: cx+d≥0
Với điều kiện phương trình xác định, ta cĩ:
ax+b=cx+d⇔ax+b=(cx+d)2
Giải phương trình tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ở trên để xem xét nhận nghiệm hay loại nghiệm Hoặc ta cĩ thể viết như sau:
cx d
ax b cx d
Để dễ nhớ ta viết:
≥02
=
B
Ví dụ: Giải phương trình 2
6−4x−x =x+4
Giải:
Điều kiện để phương trình đã cho xác định là:
x+ ≥ ⇔x≥ −
Phương trình đã cho tương đương với:
6−4x−x =(x+4)
6 4x x x 8x 16
⇔2x2+12x+10= 0
5
(nhận) (loại)
x
x
= −
⇔
= −
Trang 10Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = −{ }1
Hoặc ta cũng cĩ thể giải như sau:
2
6−4x−x =x+4
x
+ ≥
⇔
x
≥ −
⇔
2 4
x
≥ −
⇔
4 1 5
(nhận) (loại)
x
x
x
≥ −
⇔ = −
= −
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = −{ }1
Bài tập:
Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham
số m
(m +2)x−2m=x− 3
b) m x( −m)=x+m−2
c) m x( −m+3)=m x( −2) 6+
d) 2
m x− +m=x m−
Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham
số m
a) m x( −2)=3x+ 1
b) 2
m x+ = x+ m
c) (2m+1)x−2m=3x−2
Bài 3 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham
số m
a) 2(m+1)x−m x( −1)=2m+ 3
m x− + mx= m + x−
c) 3(m+1)x+4=2x+5(m+1)
d) 2
m x+ = x+ m
Bài 4 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham
số m
3
m x
= +
1
mx m
x
= +
c) x+m = x−m+2
d) x−m = x+ 1
Bài 5 Cĩ hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau Nếu lấy 30
quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ
hai bằng 1
3 của bình phương số quả cịn lại ở rổ thứ nhất Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?
Bài 6 Tìm ba cạnh của một tam giác vuơng, biết cạnh dài
nhất hơn cạnh thứ hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m
Bài 7 Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nữa
tuổi của em sẽ bằng bình phương số tuổi của em cách đây
5 năm
Bài 8 Tìm chiều dài ba cạnh của tam giác vuơng biết rằng
chúng là ba số tự nhiên liên tiếp
Bài 9 Một san hình chữ nhật cĩ chiều dài hơn chiều roogj
là 1m Nếu chiều dài tăng 8m và chiều rộng tăng 5m thì diện tích tăng gấp đơi Tính chiều dài và chiều rộng
Bài 10 Giải các phương trình sau:
a) 3x−2 =2x+ 3 b) 2x− = −1 5x−2
=
2x+5 =x +5x+ 1
x
+
f)
2
x
= + g) 3x −5=3 h) 2x +5= 2 i) 3 4− x=x− 1 j) 2x+3=x