Ôn tập Đạo hàm khối 1134531

Ta chứng minh * bằng quy nạp... Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định B.. Vận tốc tại thời điểm bằng: A.. Củng cố: Các công thức tính đạo hàm 5.. Hướng dẫn về nhà:Xem cá

ÔN TẬP ĐẠO HÀM 11 Hoạt động 1: Củng cố định nghĩa đạo hàm tại một điểm và các công thức tính đạo hàm

Định nghĩa : Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b; và x0 a b; , đạo hàm của hàm số tại điểm là : x0      

0

0 0

0

x x

f x

x x









Chú ý :

 Nếu kí hiệu   x x x0 ;  y f x 0   x  f x0 thì :

0

0

0 0

f x

 Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại thì nó liên tục tại điểm đó.x0

Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

Các quy tắc : Cho uu x ;vv x ;C: là hằng số

 uv'  u' v'

  u v 'u v'. v u'.   C u  C u. 

v



 Nếu y f u ,uu x   yx  y u u  x

Các công thức :

  C  0 ;  x  1

฀

u



 sinx cosx  sinu u cos u

 cosx  sinx  cosu  u.sinu

u



u



Hoạt động 2: Tìm đạo hàm theo định nghĩa

Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :

 Cách 1 : Theo quy tắc

Bước 1 : Cho một số gia x x và tìm số gia y tìm  y f x   x  f x Lập tỉ số y

x





Bước 2 : Tìm giới hạn

0

lim

x

y x

 





Cách 2 : Áp dụng công thức:      

0

0 0

0

x x

f x

x x









Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y f(x) 2x   2  x 2 tại x0 1 Cho x0 = 1 một số gia vậy ta có: x

x



 Vậy

y

x



 b) y f(x)   3 2x  tại x0 = –3 Cho x0 = -3 một số gia vậy ta có: x

Vậy

3

y

c) y f(x) 2x 1

x 1



 tại x0 = 2 f) y f(x) x2 x 1

x 1

 

 tại x0 = 0

Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y x2  3x x tại x0=4 b) y x 3 x tại x0=1 c) y xx tại x0=2

d) y sinx cosx tại x0=0 e) y sin 2 2x tại x0=

2



f) y tanx 1 tại x0=

4



Hoạt động 2: Rèn các công thức tính đạo hàm theo công thức

Phương pháp: Nắm chắc công thức và áp dụng vào tính

Bài 3: Tính các đạo hàm sau:

a)  3  2     2   b)

3

x

2

c)  2  3    3   2 2   4  2 

( 1)( 2) y' 2x( 2) 3x ( 1) 5x 3x 4x

'

x

x

e)

2 3 1 (4x 3)(3 2x) 2(2x 3x 1) 4x 12x 7

'

x

'

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a/

2

4

y

x

 

x

7

y

    d/ cot

x

y

x





Giải

a/

2

2

4

x

y

x



  b/

2

2

y

x

7

y

2

2

1 2 cot

sin

y

x

 



Bài 5: Tính các đạo hàm sau:

'

x



2

2

1

2x

x

x

2

x



2 2

x

 

 

4 2

2

3

x y x

Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 y = x3-3x2 – + 3 + 2 sinx 2 y =

x

2

x

3 2

2 3

2







x

x x

3 y = (x2 -11)(2x3 – x2 + x – 3) 4 y=

x x

x x

cos sin

cos sin





5 y = (x8 – x)10 6 y = x x2 - 2x + 2

7 y= 8 y = cos

x

x

1

x2 - 2x + 3

9.y=sin(cos23x) 10* y= sin [cos2(tan3x) ]

11, 12,

2

2 3

1

x

y

x





3 2 1

x y

x x





 

13, 2 2 14,

( 2 4) 5

4 1

x y







15, f(x) = cot 3

4

x  x 

cot 3

4

4

x x





16, g(x) = cos2x + cos2 2 2 2

cos

g’(x) = - 2cosxsinx – 2cos 2 sin 2 2 cos 2 sin 2

= - sin2x -sin 4 2 sin 4 2

= - sin2x + 2cos4 sin(-2x) = -sin2x + sin2x = 0

3



Bài 8: Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau

2

khi khi

4 3

1 1

x

  



2

4x 3

1

x

x

 

x  f x x 

Vậy Vậy hàm số liên tục tại x = 1

1

lim ( ) 2 (1)

2

2

2

4x 3

2

x

y



  

f x f

y



Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại x = 1

b)   23 khi

khi

0

f x



 



lim ( ) lim ( x) 0

x  f x x  x b

lim ( ) lim (2x )

x  f x x  a a

Vậy để hàm số liên tục trên R thì a = 0

không tồn tại đạo hàm phải tại 0

3

Vậy với mọi a, b hàm số có đạo hàm

2

( ) (0) 2x

y



trái tại 0 nhưng không tồn tại đạo hàm tại 0

2

1 3x 2

2

3 2

3x 2

x x

x

x

 

  



khi khi 1 < x < 2

Tại x = 1

lim ( ) lim( 3x 2) 0

x  f x x  x

lim ( ) lim(x 3x+2) 0

x  f x x 

Vậy Vậy hàm số liên tục tại x = 1

1

lim ( ) 0 (1)

2



2



Vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 1

Tương tự tại x = 2

d)   5

Bài 9*: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

2

y

x





Giải:

Ta có: 1 1 2 (1); 1 1.2 3; 1 1.2.34

Ta dự đoán y(n) = (-1)n 1 (*) Ta chứng minh (*) bằng quy nạp

! ( 2)n

n

x 

Từ (1) suy ra (*)đúng khi n = 1

Giả sử (*)đúng với n = k, ta có 1 ( ) ! 1 Ta chứng minh (*)đúng

k

k

k

k

với n = k+1

Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta được:

= 1 Vậy với mọi n  N*, ta có:

2

( 1)!

( 1)

( 2)

k

k

k x











( )

1

( 1)

n

n

n

n

1) y = 3) y = sinx; 4) y= sin4x +cos4x; 5)y=

1 2

1



1 2



x x x

Hoạt động 3: Ôn tập giải các PT, BPT chứa đạo hàm

Phương pháp : Tính đạo hàm trước sau đó giải PT, BPT

Bài 10 Giải các bất phương trình sau:



y x 3x 2 y' 3x 6x,y' 0 3x 6x 0

x 2

y x  x  x  y x  x y  x       x x

3, y’ ≥ 0 với

2

1 2x 3 0

3

x x

x

 

1

x

x

  





5, y’≤ 0 với 2 6, với

2x x

2

5 7

y x  x

Bài 11:a) Cho f x  1 x Tính f   3  x 3  f  3 Tính f x , f  3 ,

  3 3  3

a) - Ta có   1

2 1

f x

x

 

 Suy ra f  3 = 1

4 Vậy f   3  x 3  f  3 = 2 + 3

4

x

60 192 3

f x

   

60 64

    Giải pt f x  0

  0

f x  3 602 1924 0

2

2

4 16

x x

     

Bài 12: Cho hàm số :   1 3 2 Tìm để :

3

a) f x    ฀ 0 x b) f x  0 ,  x 0;  

c) f x  0 ,  x  0; 2 d) f x  0 ,   x  ; 2

Giải

f’(x) = x 2 – 4x + m

a

m

฀

f x   x   x     m x     m x h x    Bảng biến thiên của hàm y = h(x) (Làm cho các câu tiếp)

Vậy m >

(0; )

max ( )h x 4

(0;2)

d)     2

( ;2)



Bài 13: Cho hàm số :   3 2   Tìm để :

a) f x  0 ,   ฀x b) f x  0 có hai nghiệm cùng dấu

Giải

y’ = mx 2 – mx + (4-m)

Nến m = 0 thì y’ = 4 > 0 không thỏa mãn

Nếu m 0 để   0 , 0 20 vô nghiệm

m a







฀

b) f x  0 có hai nghiệm trái dấu cần: 0 (4 ) 0 0

4

m

m







Bài 14: Giải phương trình y’ = 0

a)

y cos x sin x x y'=0 -sin x + cosx + 1= 0 sin x - cosx 1

2 1

2

 



 

  





 



b)

1



c)

20 cos 3 12 cos 5 15 cos 4 ' 60 sin 3x 60 sin 5x 60 sin 4

sin 4x 0

4

cos

2 2

3

k x

x



 





f x   x x

a) Giải PT:f x'( )  0 b) Tính f ''(0)

Bài 16: Giải phương trình y'  0 biết :

cos sin

c) y  3sin 2x 4 cos 2x 10x ; d) ym 1 sin 2 x 2cosx 2mx.

Hoạt động 3 : Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm

Phương pháp : Tính đạo hàm sau đó thay vào để hai vế bằng nhau

Bài 18 : Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn các hệ thức:

a, f(x) x5 x3  2x 3 thoả mãn: f' ( 1 )  f' (  1 )   4f( 0 )

Ta có f’(x) = 5x4 + 3x2 – 2, f’(1) = 6, f’(-1) = 6, f(0) = -3 Thay vào thỏa mãn

b, y = cot2x thoả mãn y’ + 2y2 + 2 = 0

2

2

'

sin 2x

Thay vào ta có:



x 3

y

x 4 2y' 2  (y 1)y" 



d, y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0

thay vào: y’’ + y = acosx – b sinx + acosx +

y  a x b x y a x b x

bsinx = 0 ĐPCM

Bài 19: a) Cho hàm số   Tính .

x

x x

f

sin 1

cos

























4 '

; 2 '

; '

; 0

f f

f f

b) Cho hàm số   Chứng minh:

x

x x

f y

2 2

sin 1

cos





f   f  

Giải

  cos sin (1 sin ) cos x2 2 1

'

'(0) 1, '( ) 1, f'( ) , '( )

Câu b tương tự.

Bài 20: Cho hàm số y xsinx chứng minh :

a) xy 2y' sin  x x 2cosxy 0 ; b) ' tan

cos

y

x 

Bài 21: Cho các hàm số : f x  sin4 x cos4 x , g x  sin6 x cos6 x Chứng minh :

  2 '  0

'

3f x  g x 

Bài 22: a) Cho hàm số y  x 1 x2 C hứng minh : 2 1 x2.y'  y

b) Cho hàm số y cot 2x C hứng minh : 2

Hoạt động 4: Củng cố qua một số câu hỏi trắc nghiệm

Chương V: Đạo hàm

Câu 93: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số f(x) = x3, ứng với: x0= 2 và ∆ x = 1 là:

Câu 94: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số f(x) = x2‒ 1 theo và là:x ∆ x

A 2x + ∆ x B ∆ x (x + ∆ x ) C ∆ x (2x + ∆ x ) D 2 x∆ x PA: C

Câu 95: TĐ1119NCB: Số gia của hàm số f(x) =x ứng với số gia của đối số tại

2

là:

x0= ‒ 1

+ ∆ x

1

2(∆ x)2

‒ ∆ x

1

2((∆ x)2

‒ ∆ x) 12(∆ x)2

‒ ∆ x + 1

Câu 96: TĐ1119NCH: Tỉ số của hàm số ∆∆y theo x và là:

Câu 97: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số f(x) = 3x ‒ 1tại x0= 1 là:

Câu 98: TĐ1119NCH: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) = ‒ x 3tại điểm M(-2; 8) là:

Câu 99: TĐ1119NCH: Một chất điểm chuyển động có phương trình s = t2 (t tính bằng giây, s tính bằng mét) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0= 3 (giây) bằng:

Câu 100: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số f(x) = 5x3‒ x 2 trên khoảng

là:

; + ∞)

A 15x2‒ 2x B 15x2‒ 2x ‒ 1 C 15x2+ 2x D 0 PA: A

Câu 101: TĐ1119NCH: Phương trình tiếp tuyến của Parabol y = ‒ 3x 2 tại

+ x ‒ 2 điểm M(1; 1) là:

A y = 5x + 6 B y = ‒ 5x + 6 C y = ‒ 5x ‒ 6 D y = 5x ‒ 6 PA: B

Câu 102: TĐ1119NCH: Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình Q = 5t thì cường độ dòng điện tức thời tại điểm bằng:

Câu 103: TĐ1119NCH: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định

B Hàm số y = x có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định

C Hàm số y = |x| có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định

D Hàm số y = |x| + x có đạo hàm tại mọi điểm mà nó xác định PA: A

Câu 104: TĐ1119NCH: Đạo hàm của hàm số y = 5 bằng:

Câu 105: TĐ1119NCV: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động s =12gt2, g

và t tính bằng s Vận tốc tại thời điểm bằng:

A 49 m s B 25 m s C 20 m s D 18 m s PA: A

4 Củng cố: Các công thức tính đạo hàm

5 Hướng dẫn về nhà:Xem các bài đã chữa và làm các bài tập sau:

Bài 1 Cho hàm số 1 3   2 Xác định để :

3

a) y'  0 ,   ฀x

b) y'  0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;

c) y'  0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : 2 2

x  x 

Bài 2 Cho hàm số Xác định để hàm số có

2

6 2 2

y

x

 



 m y'0,  x 1 ;  

Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 3 2

3

yx  x mxm

có y'  0 trên một đoạn có độ dài bằng 1

Bài 4 Cho hàm số ymx4 m2  9x2  10 1  m là tham số Xác định để hàm số cĩ m

cĩ 3 nghiệm phân biệt

' 0

y 

Bài 5: Giải phương trình f’(x) = 0 biết:

1, f(x) = cos 2x – 5 cosx 2, f(x) = 3 cosx + sinx – 2x – 5 3,

sin 5 sin 3