Tìm nếu có... Bài 55: Tổng của hai hàm fx+gx có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x0 đã cho hay không nếu: aHàm fx liên tục, còn hàm gx gián đoạn tại điểm x0.. bCả hai hàm fx và gx gián
Trang 1N m1-Tìm giới hạn dạng xác định
Bài 28: Tính các giới hạn sau:
1
lim ( 2 1)
x
1
lim( 2 1)
x
3
lim 3 4
x
x
1
1 lim
2 1
x
x x
2
5 1
1
x
x x x
2
1 1
1
x
2-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số0
0
Bài 29: Tính các giới hạn sau
2
2
3
2
1 x 1 2x 1 3x 1
x 1
m
3-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai0
0
Bài 30: Tính các giới hạn sau
4-Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao0
0
Bài 31: Tính các giới hạn sau
3
2
3
x 1
Trang 25-Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng0
0
Bài 32: Tính các giới hạn sau
5 4
2
3
2
2 m
2 3
4
x 2009 1 2x 2009
x
3 1
11) lim
1
x
3 2 2
2
x
x x
1
13) lim
1
x
x
6-Tính giới hạn dạng của hàm số
Bài 33: Tính các giới hạn sau
2
2
;
1
x
x
2
x
22) lim
x 10
7-Tính giới hạn dạng của hàm số
Bài 34: Tính các giới hạn sau
Trang 3
x
x
4) lim 3x x 1 x 3 ; 5) lim 3x x 1 x 3 ; 6) lim 2x 1 x ;
7) lim x x x 4 ; 8) lim x 2x 4 x 2x 4 ; 9) lim x 8x 4 x 7x 4 ;
10) lim x 3x x 2x ;
n
n
2
x
x 13) lim (x a )(x a ) (x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ;
16) lim 2x 5 4x 4x 1 ; 17) lim x 4x 9 2x ; 18) lim x x 1 x ;
19) lim x 3
x 5 3x 2 ; 20) lim x x 2x x 2 x x ; 21) lim x 1 x
8-Tính giới hạn dạng 0. của hàm số
Bài 35: Tính các giới hạn sau
3
2
VIII Giới hạn một bên
Bài 36: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau
a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim
Bài 37: Tính các giới hạn sau
2 2
x 1
x 1 2 x
2
2
x 1
2x 7x 3
x x
Bài 38: Gọi d là hàm dấu: Tìm (nếu có)
1víi x 0
d x 0 víi x 0
1 víi x 0
xlim d x , lim d x vµ lim d x0 x 0
3 2
x víi x<-1
f x
2x 3 víi x 1 x 1lim f x , lim f x vµ lim f x x 1 x 1
2
2 x 1 víi x -2
f x
lim f x , lim f x vµ lim f x
Trang 4Bài 42: Cho hàm số Tìm (nếu có).
2
2
9 x víi -3 x<3
x 9 víi x 3
x 3lim f x , lim f x vµ lim f xx 3
Bài 43: Tìm giới hạn một bên của hàm số khi
2
2
2x 3
víi x 1 5
f x 6-5x víi 1<x<3
x-3
víi x 3
x 9
x 1 vµ x 3
Bài 44: Ta gọi phần nguyênn của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là [x] Chẳng hạn [5]=5; [3,12]=3; [-2,587]=-3 Vẽ đồ thị hàm số y=[x] và tìm x 3lim x , lim x vµ lim x x 3 x 3 (nếu có)
IX Một vài qui tắc tìm giới hạn
Bài 45: Tìm các giới hạn sau
3
1) lim 3x 5x 7 ; 2) lim 2x 3x 12; 3) lim 1000 x ;
1
2x x 3x 5
Bài 46: Tìm các giới hạn sau
x 0
2
2 x
Bài 47: Tìm các giới hạn sau
Bài 48: Tìm các giới hạn sau
4
X Hàm số liên tục tại một điểm
Bài 49: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
tại điểm
3 3
2
x 1 1)f x x x 3 vµ g x
x 1 x0
1
víi x 0
4)f x x t¹i ®iÓm x=0; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0;
0 víi x=1
2
víi x 0 x
víi x=-1 1
2
Trang 5
2
víi x -2
Bài 50: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1
2
víi x 1
víi x 1
x 1
Bài 51: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3
2
2 2
x x 6
x 3x
Bài 52: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
3
x víi x>-2
1 x víi x 0
Bài 53: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0
x2 a khi x 0 x2 2a khi x 0
2
x 3x 2
khi x 1
x 1
f x
a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1;
c)Tìm a để hàm số liên tục trên R
Bài 55: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x0 đã cho hay không nếu:
a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x0 b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm x0 Nêu ví dụ tương ứng
XI Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 56: Chứng minh rằng:
a)Hàm số f(x)= 4 2 liên tục trên b)Hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1)
f x
1 x
c)Hàm số f(x)= 8 2x 2 liên tục trên nửa khoảng [ ; 1 )
2
Bài 57: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
Bài 58: Giải thích vì sao:
a)Hàm số f(x)= 2 2 liên tục trên b)Hàm số
x s inx-2cos x+3 R
x3 xcosx+sinx
c)Hàm số h x 2x 1 s inx-cosx liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k
Trang 6Bài 60: Hàm số có liên tục trên không?
3
víi x 2
f x 4x 8
R
Bài 61: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
2 2
2
2 2
2
a x víi x 2
1 a x víi x>2
x víi 0 x 1 víi x<2
2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2 mx+m+1 víi x 2
2
2 2x 1 2x 2
nÕu x > 1
x 1 f(x)
x
mx nÕu x 1 2
XII Ứng dụng hàm số liên tục
Bài 63: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1] Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao cho f(c)=c
Bài 64: Chứng minh rằng:
1)Phương trình x5 x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1)
2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm
3)Phương trình x3 1000x2 0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm
4)Phương trình 3 2 1 có ít nhất một nghiệm dương
100
5)Phương trình x4 3x2 5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2)
6)Phương trình x3 x 1 0có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1
7)Phương trình 4 2 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1)
4x 2x x 3 0
8)Phương trình 2x+6 1 x3 =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9)
9)Phương trình 2x3 6x 1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2)
10)Phương trình x3 mx2 1 0 luôn có nghiệm dương
11)Phương trình x3 ax2 bx c 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c
12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình 2 có ít nhất một nghiệm trên khoảng
atan x+btanx+c=0
4
Bài 65: Cho hàm số
1 víi x 0
1 víi x=0
a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0 b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2)
c)Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục không?
Bài 66: Cho a, b là hai số dương khác nhau Người ta lập hai dãy (un) và (vn) bằng cách đặt
Chứng minh rằng
u a, v b, u , v u v (n 1, 2, 3, )
2
k n
n n 1
k 1
n 1 2
2 k
Bài 68: Tính các giới hạn
p 1
n! 1 2 n a) lim ; b) lim , p *.
(2n 1)!! n