A GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
2
1 2
lim
/
1
n
n
4
1 3 lim /
2
n
n
2 3
1 5 lim / 3
n n
n n n
n n
2 2
2
3 2 lim
/
4
1
3 2
lim /
n n
n n
) 3 )(
2 3 (
) 1 2 )(
1 ( lim / 6
n n
n n
1 3
2 lim
/
2
n n
n n
1 3
2 lim /
3
n n
n
) 2 )(
1 (
) 3 )(
2 ( lim / 9
n n
n n
n
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1
1 2
lim
/
1
2
2
n
n
2
5 2 lim / 2
n n
n
2 3
2 lim
/ 3
2
3
n n
n n
3 n2 n3 n
lim
/
4
2 3
1 2
lim /
2
n
n
2 lim
/ 6
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
n n
n
3 2
1 lim
/
2
4
3 2
) 1 (
) 2 ( ) 1 ( lim / 2
n n
n
n 3 / lim n2 n n2 1
3 2 3 )
3 lim(
/
2
1 11 2
lim /
3
n
n n
4 2
1 lim
/ 6
2
n
B GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
1 / lim ( 2 3 )
1 4 lim /
2
x x x
1
2 1
lim
/
4
x x
25 lim
/ 6
2
x x
Dạng
0
0
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1
2 3 lim
/
4
4
6 lim
/
1
2 3 3
1
2 2
2
x x x
x x x
x x
x
x
8
4 lim / 5
20
16 lim
/ 2
3 2
2
2 2
4
x x
x x x
x
x
9
3 lim / 6
3
3 4 lim / 3
2 3
2
3
x x x
x x
x x
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
x x x
x x
x x
x
x
x
2
1 2 1 lim
/
7
4
2 3 lim
/
4
2
1 2 1
lim
/
1
0
2 2
0
2
2 4 lim / 8
3 3
2 2
3 lim / 5
3 9
4 lim / 2
3
2 1 0
x x x
x x x x
x x x
25
3 2
lim / 9
3 4
4 7
2 lim / 6
3 2
3 7 2 lim / 3
2 3
5
3 1 1
x x
x x
x x
x x
x x x
Bài tập 4: Tính các giới hạn:
Trang 2
3 3
27 6
lim
/
7
2 2
2 lim
/
4
1
1 lim
/
1
2 3
2 4
3
2
2
2
3
1
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
3 3
0 1
2
2 3
1
2 3 2
1 1
lim / 8
4 5
3 2 lim / 5
4 3
4 2 lim
/ 2
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
3 1 4
2 lim
/ 9
2 3
2 4
2 3 lim / 6
1 1
lim / 3
2
2 2
1
2
0
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
Bài tập 5: Tính các giới hạn:
x x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
5 1
5 3
lim
/
5
6 2
2 3 lim
/
4
) 1 )(
1 (
lim
/
3
3
3 4 lim
/
2
1 1
lim
/
1
4
2 2
2
2 3
2
3
2
3
3
0
2 3
1 lim
/ 10
3
1 1 lim / 9
2
3 2 1 lim / 8
1
1 2 lim
/ 7
2 3
1 lim
/ 6
2 3
1
3
0 4
2
2 3
1
2 3
1
x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:
3
2 2
3
0
3
3
1 / lim
2 / lim
3 / lim
3
x
x
x
x
x
®
®
®
-3
1 3 2 2
2 1
4 / lim
1
5 / lim
2
6 / lim
2
x
x
x
x
®
®
®
Dạng
Bài tập 7: Tính các giới hạn:
Trang 3
2
3 2
3
2 2
3
1
1 / lim
1
2 / lim
2
3 / lim
1
4 / lim
5 / lim
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
® - ¥
® + ¥
® ¥
® ¥
® ¥
+ +
+
-+
2 4
3 2
2
3 3
2
2 3
6 / lim
7 / lim
8 / lim
1
9 / lim
10 / lim
x
x
x
x
x
x x x
® ¥
® ¥
® ¥
® ¥
® ¥
+ -+
Bài tập 8: Tính các giới hạn:
1 / lim 2 22 3 1 4 ĐS
x
® ¥
2 / lim
1
x
x
® ¥
-1
1 / 5
é-ê ê
1
2 / 1
é ê ê-ë
Dạng
Bài tập 9: Tính các giới hạn:
3
2
2
3 1
4 / lim
x
x
x
x
® + ¥
® ¥
® ¥
®
ç
2
2
8 / lim
x x x
x
® ¥
® + ¥
® - ¥
®
ç
1
1 / 3
2 / 0 1
3 / 2
4 / 1
é- ¥ ê ê
-5 / 1
6 / 0
7 / 1
8 / 2
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
Cho biết : lim sin 1
x x
Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:
2 0
0
0
0
2
4 cos 1
lim
/
4
sin
2 cos 1
lim
/
3
1 1
2 sin
lim
/
2
2
5
sin
lim
/
1
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
2 0 0 2 2
0
3 0
6 cos 1 lim / 8
2
3 lim / 7
3
sin lim / 6
sin lim
/ 5
x x x
x tg x
x x
x tgx
x x x x
x x x
x x
x tg
x x
x
x
x x x
cos 2 1
3
sin lim / 12
sin
cos sin
1 lim / 11
cos 1 2 lim / 10
5 cos 1
3 cos 1 lim / 9
3
2 2
0
2 0
0
Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
Trang 4
2 3
4 5 2
/
3 4 5 /
2 2
2 3
x x
x x
y
b
x x x
y
a
2
2 sin cot
/
5 cos /
x tg
x gx
y d
x tgx
y c
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:
Bài tập 1: Cho hàm số:
1
2 3
2 )
(
2 2
x
x x
x x
f
) 1 (
) 1 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Bài tập 2: Cho hàm số:
2 4
2 1 )
x x
x x
f
) 2 (
) 2 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Bài tập 3: Cho hàm số:
1 1
1 1 2 3 ) (
3 x x x
f
) 0 (
) 0 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 0
Bài tập 4: Cho hàm số:
5 1
1 )
(
2
x
x x f
) 1 (
) 1 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Bài tập 5: Cho hàm số:
1 1
2 )
x x
ax x
f
) 1 (
) 1 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1
Bài tập 6: Cho hàm số:
x
x x
f
2
3 2 1
1 ) (
) 2 (
) 2 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Bài tập 7: Cho hàm số:
x
x x
x
x a
x f
1 1
2
4 )
(
) 0 (
) 0 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0
Bài tập 8: Cho hàm số:
2
2 2 3 4
1 )
(
3
x x
ax x
f
) 2 (
) 2 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R
Bài tập 9: Cho hàm số:
2 3
2 4 3
2 )
(
2 3 2
x x x
ax x
f
) 2 (
) 2 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R
Bài tập 10: Cho hàm số:
x
x x
1 ) (
) 0 (
) 0 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:
Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:
a / x4- 3 x + 1 0 = b x / 3- 6 x2+ 9 x - 10 = 0 c / x5- 10 x3+ 100 = 0
Bài tập 2: CMR phương trình 2 x3 x 6 1 0 có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2).
Bài tập 3: CMR phương trình x3 x 3 1 0 có 3 nghiệm phân biệt
Trang 5
0 ) 5 ( ) 9 (
/
0 3 2 ) 2 )(
1 (
/
x x x
m
b
x x
x
m
a