GIỚI HẠN DÃY SỐA.. Tìm các giới hạn sau:... Tính các giới hạn sau: a.. GIỚI HẠN HÀM SỐ A... HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo.
Trang 1GIỚI HẠN DÃY SỐ
A Lý thuyết:
+ Nếu un vn với mọi n, lim vn = 0 thì lim un = 0
+ lim un = L → lim un L
+ lim un = L → 3 3
n
lim u L + lim un = L, un > 0 với mọi n → L > 0 và lim un L
u (1 q ) u
S lim u u q u q u q lim
+ n
n
1
u
+ lim1 0
n
+ lim qn = 0 nếu q 1
+ lim 1k 0 với mọi k > 0
+ lim nk = +∞ với mọi k > 0
+ lim qn = +∞ nếu q > 1
+ lim un = L thì lim (k.un) = k.L
+ lim un = L, lim vn = M thì lim (un + vn) = L + M
+ lim un = L, lim vn = M thì lim (un.vn) = L.M
+ lim un = L, lim vn = M ≠ 0 thì lim (un / vn) = L / M
B Bài Tập:
Bài 1 Tìm các giới hạn sau:
n 1
2 2
3n 4n 1 lim
2n 3n 7
3 3
n 4 lim
5n n
2n 1
n 1 lim
n 2
n(n 1) lim
(n 4)
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
n 1
3 3
n n 2 lim
n 2
3
2 3 2
lim
n n 1 3
2
n 4
lim
n 2
3 2 3
2
n 3n 2 lim
n 4n 5
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
lim n 5n 1 n n
lim n 4nn
lim n n n
lim n 3n 1 n 4n
Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
n
n
1 4
lim
1 4
n n 1
n 2 n
3 4 lim
n n n
n n n
3 4 5 lim
3 4 5
Bài 5 Tìm các giới hạn sau:
Trang 2a limsin n b
n 1
sin10n cos10n lim
Bài 6 Tìm các giới hạn sau:
1 2 3 n lim
1.2 2.3 n(n 1)
2 2 2 2
1 2 3 n lim
n(n 1)(n 2)
Bài 7 Tính các giới hạn sau:
a lim 1 1 1 1 ( 1)n 1n
b lim (2 + 0,3 + 0,32 + 0,33 + + 0,3n)
Bài 8: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số
a 1,1111 b 2,3333 c 0,2222
d 0,212121… e 0,23111
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A Lý thuyết:
+
0
0
xlim xx x
+
x
1
x
+ k với k > 0
x
1
x
+ k với k > 0
xlim x
xlim f xx L xlim f xx xlim f xx L
+
xlim[cf (x)]x c lim f (x)x x
xlim f (x) g(x)x xlim f (x)x xlim g(x)x
xlim f (x)g(x)x xlim f (x) lim g(x)x x x
o
o
x x
x x
x x
lim f (x)
f (x)
lim
g(x) lim g(x)
xlim g(x)x o 0
B Bài tập:
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
2
x 3
x 9
lim
x 3
2 2 x
2x 9 lim
x 4
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
x 2
lim 2x 3x 5
x 1
lim
x 1
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
xlim x 2x
xlim x 2x
x
5x 3x 1 lim
2x 3
4 2
4
x
x 5x 1
lim
2x 3
2 3 x
3x 1 lim
2x 5
2 3 x
3x 1 lim
2x 5
2
x
x 2x 2
lim
x 1
2
xlim x 2x
x
4x 1 lim
3x 1
Trang 3j k l
4 2
x
3x x 5x
lim
2x 4x 5
2 2 x
x 3 4x lim
4x 1 x
x
9x 1 4x 2x lim
x 1
Bài 4 Tìm các giới hạn sau:
x 3
lim
x 3
lim
x 3
2
x 2
x 5x 2 lim
x 2
Bài 5
Cho hàm số: f (x) 2x2 3x 1, x 2
3x 7, x 2
Tìm các giới hạn sau:
x 1
lim f (x)
Bài 6
Cho hàm số: f (x) 1 2x , x2 1
5x 4, x 1
Tìm các giới hạn sau:
x 0
lim f (x)
Bài 7 Tìm các giới hạn sau
2
x 3
x 2x 15
lim
x 3
2 2
x 1
x 2x 3 lim
x 1
2 2
x 2
x 3x 2 lim
x x 6
4 4
x a
x a
lim
x a
5 3
x 1
x 1 lim
x 1
6 5 2
x 1
4x 5x x lim
1 x
Bài 8 Tìm các giới hạn sau:
x 1
x 1
lim
x 1
x 1 2 lim
lim
d
3
x 2
lim
Bài 9 Tìm các giới hạn sau:
3
x 0
lim
3x
x 2
x x 2 lim
4x 1 3
3 2
x 1
lim
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
3
x 0
lim
x
x 0
lim
x
x 0
lim
x
3 2 3
2
x 1
x 2 x 1 lim
x 1
Bài 10: Tìm các giới hạn sau
xlim x x x
xlim x x 1 x x 1
xlim x 1 x
xlim x x 1 x
xlim x 5x x 8x
Bài 11: Tìm các giới hạn sau
x 1
lim
lim
lim
Trang 4HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo
2
khi x 5
x 5
9 khi x 5
x 5
khi x 5 2x 1 3
f x
3 khi x 5 2
1 2x 3
khi x 2
f (x) 2 x
1 khi x 2
3
3x 2 2
khi x 2
x 2
f (x)
3 khi x 2 4
4 2
x x 1 khi x 1
f (x)
3x 2 khi x 1
1 x khi x 0
Bài 2: Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R
2
khi x 1
4 khi x 1
3 3
x x 2
khi x 1
x 1
f (x)
4 khi x 1 3
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục trên R
2
x khi x 1
f (x)
2ax 3 khi x 1
2 2
a x khi x 2
f (x)
1 a x khi x 2
Bài 4: Cho hàm số f(x) = x3 2x2 5 khi x 0
4x 1 khi x 0
Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định
Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục tại xo
x 2 2
khi x 2
x 4
a khi x 2
1 x 1 x
khi x 1
x 1
f (x)
4 x
a khi 1
x 2
Bài 6: Chứng minh rằng phương trình x3 + 3x2 + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0; 1) Bài 7: Chứng minh rằng phương trình x3 – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 8: Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (–2; 5)
Bài 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ax² + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax² + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0
d) cos x + m cos 2x = 0
Bài 10: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
a) x² – 3x + 1 = 0 b) x³ + 6x² + 9x + 1 = 0