phân loại bài tập giới hạn (2003)

Nguyễn Văn Hào, đề tài nghiên cứu khoa học “Phân loại bài tập giới hạn của hàm số” được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân tôi.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 3.1.

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giảitích trong khoa Toán và các bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc của mình tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá

trình hoàn thành đề tài nghiên cứu

Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài khôngtránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn những ý kiếnđóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Xuân Hòa, tháng 4 năm 2011

Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, đề tài nghiên cứu khoa học “Phân loại bài tập giới hạn của hàm số” được hoàn

thành theo quan điểm riêng của cá nhân tôi

Trong quá trình làm đề tài, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Mục lục

Mở đầu

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Giới hạn tại một điểm………

1.2 Giới hạn tại vô cực………

1.3 Giới hạn một bên………

1.4 Một số định lý về giới hạn hữu hạn………

1.5 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực………

1.6 Các dạng vô định………

Chương 2 ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.1 Dùng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số………

2.2 Tính giới hạn trong định nghĩa tích phân………

2.3 Chứng minh giới hạn của hàm số không tồn tại………

2.4 Giới hạn một phía………

Chương 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 3.1 Tính giới hạn dạng 0 0 của các hàm phân thức đại số………

3.2 Tính giới hạn dạng 0 0của các hàm phân thức đại số chứa căn bậc hai…

3.3 Tính giới hạn dạng 0 0 của các hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba………

3.4 Tính giới hạn dạng 0 0 của các hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc cao………

3.5 Tính giới hạn dạng 0 0 sử dụng các dạng giới hạn đặc biệt………

3.6 Tính giới hạn dạng 0 0 sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng………

Phụ lục

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Mở đầu

1.Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn học có tính trừu tượng hóa cao độ, là một môn họckhó đối với học sinh Hơn nữa, toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứngdụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và trongđời sống hiện đại Có thể nói “không có giới hạn thì không có giải tích” nó lànền tảng xây dựng nên các yếu tố khác trong giải tích

Đối với học sinh nghiên cứu giới hạn là kiến thức hoàn toàn mới mẻ Trướcđây học sinh chỉ làm quen với đại lượng “hữu hạn, rời rạc” nay gặp phải đạilượng “biến thiên, liên tục” sự chuyển biến này khiến học sinh gặp không ít khókhăn Chẳng hạn, học sinh phải xem xét những định nghĩa có cấu trúc phức tạp,khó hiểu, khó nhớ, hay việc vận dụng những định nghĩa, định lý vào giải quyếtcác tình huống cụ thể

Trước thực tế đó, với mong muốn làm giảm bớt những khó khăn cho họcsinh và phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh trong học tập, trả lời mộtcách thỏa đáng câu hỏi “Tại sao lại nghĩ và làm như vậy ?” Tôi chọn đề tài

“Phân loại bài tập giới hạn của hàm số” làm đề tài nghiên cứu cho mình.

Cấu trúc của đề tài được bố cục thành ba chương

Chương1 Tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về giới hạn của giới

hạn, định lý của giới hạn hữu hạn, các quy tắc tìm giới hạn vô cực

Chương2 Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về giới hạn

của hàm số, cách chứng minh tồn tại giới hạn của hàm số, cách tính giới hạn củahàm số bằng định nghĩa, bằng tích phân

Chương3 Trong chương này tôi đưa ra các dạng bài toán tìm giới hạn của

hàm số với phương pháp và ví dụ minh họa để làm sáng tỏ các cách tìm giới hạnkhác nhau phù hợp với từng yêu cầu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu chủ đề “giới hạn của hàm số”

- Đề xuất hệ thống bài tập “giới hạn của hàm số”

- Tìm hiểu hệ thống bài toán khai thác, và một vài ứng dụng của giới hạn trongchương trình toán

3 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới hạn tại một điểm

Giả sử x là một điểm thuộc khoảng ( )a b , , f x( ) là một hàm số xác định trên khoảng ( )a b, có thể không xác định tại x0

Định nghĩa 1.1.1 (Giới hạn hữu hạn) Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là một

số thực L khi x dần tới x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số ( )x trong ntập hợp ( ) { }a b, \ x (tức là 0 x n Î ( )a b, và x n ¹ x0) mà limx n =x0 ta đều có( )

Định nghĩa 1.1.2 (Giới hạn vô cực) Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là vô

cực khi x ®x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số ( )x n trong tập hợp( ) { }, \ 0

n

x Î a b x ( tức là x n Î ( )a b, và x n ¹ x0) mà lim n 0

®¥ = ta đều có( )

1.2 Giới hạn tại vô cực

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử hàm số f x( ) xác đinh trên khoảng (a +¥ , )

Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới +¥ nếu với mọidãy số ( )x trong khoảng n (a +¥ (tức là , ) x n >a với mọi n) mà

limx = +¥ n ta đều có limf x( )n = Khi đó ta viết L lim ( )

®+¥ = hoặc( )

f x ® khi x ® +¥ L

Các giới hạn: lim ( ) , lim ( ) , lim ( )

®- ¥ = ®+¥ = +¥ ®- ¥ = - ¥ được địnhnghĩa tương tự

Nhận xét Nếu k là số nguyên dương và a là hằng số thì với mọi (x Î ¡ ta 0 )

Định lý 1.4.4 (Nguyên lý kẹp) Giả sử f g h, , là ba hàm số xác định trên ( )a b,

chứa điểm x0(có thể không tại điểm x0) Nếu f x( ) £ g x( ) £ h x( ) với mọi

• Ba định lý trên đúng cả khi thay x ®x0 bởi x ® +¥ hoặcx ® - ¥

• Ba định lý trên không áp dụng được cho giới hạn vô cực

Định lý 1.4.5 (Định lý về sự tồn tại giới hạn của hàm số) Hàm số f có

g x < với " Îx J \ { }x0 Trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm x0

được cho trong bảng sau :

• lim 1 lim 1 0

x®- ¥ x =®+¥ x =

∞ ; 0.¥ ; ¥ - ¥ Khi tìm giới hạn của dạng này ta cần thực hiện một vài phép

biến đổi để có thể sử dụng được các định lý và quy tắc đã biết Làm như vậy gọi

là khử dạng vô định

Chương 2 ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1 Dùng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số

Bước 1 : Với " > , xét c 0 f x( ) > Þc x x- 0 <g c( ).

= , i =0,1, ,K n Chọn i i

c n

Ví dụ 2.2.3 Tìm giới hạn lim 1 sin sin2 sin 1

ë ûlàm n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia i

i x n

D = Chọn c i i

n

= , i =1,2, ,K n Lập tổng tích phân

D = Chọn c i i

n

= , i =1,2, ,K n Lập tổng tích phân

ln

lim

f x dx n

Xét hàm j ( )x =lnf x( ) liên tục trên é ùê úë û Rõ ràng 0,1 f x( ) khả tích trên đoạn

đó Chia đoạn é ùê úë û làm 0,1 n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia

i

i x n

D = Chọn c i i

n

= , i =1,2, ,K n.Lập tổng tích phân

ln

lim

f x dx n

sin

n n

I =òx p xdx Chứng minh rằng lim n 0

Ví dụ 2.2.7 Chứng minh rằng

1 0

1

n n

x x

1

n n

x dx x

lim

4 !

n n

n n n

Khi đó

2 1

1

ln n n ln 4

i

i S

Xét hàm ln 4 x( + trên 0,2) é ùê úë û Chia 0,2é ùê úë û thành 2n- đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia x i i

I =òf x nxdx.Dùng phương pháp tích phân từng phần với

lim n 0

2.3 Chứng minh giới hạn của hàm số không tồn tại

® không tồn tại, ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1 : Chọn hai dãy số { }x và n { }y với n

• x n ®x0 khi n ® ¥ , khi đó đánh giá ( ) n 1

x® x không tồn tại

Ví dụ 2.3.2 Chứng minh rằng lim osx c x

L1=L2Þ Giá trị của tham số.

Chương 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

0

0 0

1

x

x x

1

n x

1 os2 sin2

1 sin2 os2 1 os2 sin2 2sin 2sin os

1 0 1

( ) ( )

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

8 3lim

-0

1 1lim

x

x x

( ) ( )

, trong đó

( )

3 0

f x = ma và g x( )0 =b.

•

( ) ( ) ( ) ( )

1lim

2 1

x

x x

+ - bằng cách đặt ẩn phụ t =n1+ax, ta được

- -Đặt t = 32x- 1, ta được

x

e kx

®

+

= .

Việc áp dụng các dạng giới hạn trên để tìm giới hạn của hàm số trong nhiều trường hợp cần thực hiện các phép biến đổi phù hợp.

2

3 3

sin2

x

x x

1 coslim

0

2 sin

2lim

x

x tgx

x

x tgx

sin2

x x

e x

®

-Ta có

a) sin2 sin sin2 sin

2sin2 41

2

x

e x

x e

a b

Ví dụ 3.6.1 Tính giới hạn 2

2 0

1lim

ln 1

x x

2 2

x x

x x

( ) ( ) 3 3

Nhận xét Với phương pháp thông thường chúng ta có thể tính được các giới

hạn trên bằng phép nhân liên hợp hoặc phương pháp gọi hằng số vắng, phươngpháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 3.7.2 Tính giới hạn sau

2 1

3 5 2lim

¥ , ta lựa chọn một trong các cách sau

Cách 1(Được sử dụng cho phân thức đại số) : Ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa

bậc cao nhất của x có mặt ở phân thức đó.

Cách 2 : Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, ta thực hiện theo các bước sau

Bước 1 : Chọn hai hàm số g x , ( ) h x thỏa mãn( )

( ) ( ) ( )

g x £ f x £ h x Bước 2 : Khẳng định

khi x đủ lớn.

®¥

++ .Chia cả tử và mẫu cho x, với chú ý

• 2

2

212

®¥

++ không tồn tại.

Khi đó

sin1sin

sinsin

9

lnlim

x

x x

x x

x

x x

4lim

= = Vậy

1lim 1 x

ii) Đối với các dạng 0.¥ và ¥ , ta chọn một trong hai cách sau0

Cách 1: Sử dụng phương pháp biến đổi để tận dụng các dạng giới hạn cơ bản Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp giữa, với các bước

Bước 1: Chọn hai hàm số g x , ( ) h x thỏa mãn( )

( ) ( ) ( )

g x £ f x £ h x

Bước 2: Khẳng định

x x

( )

2 6 1 2

2 Trình bày các định nghĩa về giới hạn, cách tính, cách chứng minh.

3 Đưa ra các phương pháp tìm giới hạn với hệ thống ví dụ cụ thể

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Bài tập nâng cao và một số

chuyên đề đại số và giải tích 11, NXB Giáo dục.

[2] ThS Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán giới hạn của hàm số, NXB Đại

học sư phạm

[3] Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất,

Các bài giảng luyện thi môn Toán_ tập 3, NXB Giáo dục 1996