Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau: a... Đôi khi phải cùng thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, rồi mới thực hiện phép nhân liên hợp như trên... Bài tập tự
Trang 1GIỚI HẠN HÀM SỐ
(Trích tạp chí THTT) LaTeX: phong36a@gmail.com
02/10/2012
Mục lục
1 Giới hạn hàm số của dạng vô định 0
1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0
0 của hàm phân thức đại số 2
1.2 Dạng 2: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai 2
1.3 Dạng vô dịnh 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 3
1.4 Dạng 4: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao 3
1.5 Dạng 5: Dạng vô định 0 0 của hàm phân thức chứa căn thức không cùng bậc 3
1.6 Dạng 6: Dạng vô định 0 0 của một hàm hàm số lượng giác 4
1.7 Dạng 7: Dạng vô định 0 0 của hàm số mũ và hàm số logarit 4
1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm 5
2 Giới hạn hàm số của dạng vô định ∞ ∞,∞ − ∞, 1 ∞,0.∞ 6 2.1 Dạng vô dịnh ∞ ∞ . 6
2.2 Dạng vô định ∞ − ∞ 6
2.3 Dạng vô định 1∞ 7
2.4 Dạng vô định 0.∞ 7
3 Một số dạng toán liên quan 7 3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 7
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm 8
Trang 21 Giới hạn hàm số của dạng vô định 0
0
1.1 Dạng 1: Dạng vô định 0
0 của hàm phân thức đại số
Tìm lim
x→x 0
f(x)
g(x) trong đó f(x), g(x) là các hàm đa thức khác 0 nhận x = x0 là nghiệm Cách giải: Ta có lim
x→x 0
f(x) g(x) = limx→x 0
(x − x0)f1(x) (x − x0)g1(x) = limx→x 0
f1(x)
g1(x) = = limx→x 0
fk(x)
gk(x) =
fk(x0)
gk(x0) Với điều kiện f2
k(x0) + g2
k(x0) Thí dụ 1: Tính lim
x→1
x3
+ x2
− 2
x4
− x3+ x2
+ x − 2 Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn sau:
a lim
x→12
8x3
− 1 6x2
− 5x + 1 b limx→1
2x4
− 5x3
+ 3x2
+ x − 1 3x4
− 8x3+ 6x2
− 1
c lim
x→√2
2x3
− (4√2 + 1)x2
+ (4 + 2√
2)x − 2
x3
− (2√2 + 1)x2+ (2 + 2√
2)x − 2
1.2 Dạng 2: Dạng vô định 0
0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai
Tìm lim
x→x 0
pf(x) − a
g(x) trong đó pf(x0) = a và g(x0) = 0 Cách giải: Khi đó thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp pf(x) + a ta được lim
x→x 0
pf(x) − a g(x) = lim
x→x 0
f(x) − a2
g(x)(pf(x) + a) = limx→x 0
(x − x0)f1(x) (pf(x) + a)(x − x0)g1(x) = limx→x 0
f1(x) (pf(x) + a)g1(x) =
f1(x0) 2a.g1(x0) Chú ý: Việc tìm các giới hạn lim
x→x 0
pf(x) − a pg(x) − b,x→xlim0
pf1(x) −pf2(x)
g(x) ,x→xlim0
pf1(x) −pf2(x)
pg1(x) −pg2(x) hoàn toàn tương tự
Thí dụ 2: Tính lim
x→1
√
x+ 8 − 3
x2
+ 2x − 3 Thí dụ 3: Tính lim
x→1
√x +√
x− 1 − 1
√
x2
− 1 Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa căn bậc 2 dạng 0
0 đôi khi ta tách thành tổng các phân thức dạng trên rồi nhân lượng liên hợp
Bài tập tự luyện
Tính các giới hạn sau:
a lim
x→2
√
x+ 2 −√2x
√
x− 1 −√3 − x b limx→1
x− 1
√
x2+ 3 + x3
− 3x
c lim
x→2
√
x− 1 + x4
− 3x3
+ x2
+ 3
√ 2x − 2
Trang 31.3 Dạng vô dịnh 0
0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3
Tìm lim
x→x 0
3
pf(x) − a g(x) trong đó pf(x3 0) = a và g(x0) = 0 Cách giải: Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp pf3 2(x) + apf(x) + a3 2
Chú ý: Việc tìm các giới hạn dạng lim
x→x 0
3
pf(x) + a g(x) ; limx→x 0
3
pf(x) ± a
3
pg(x) ± b; lim
x→x 0
3
pf(x) ± a
pg(x) − b; limx→x 0
3
pf1(x) ±pf3 2(x)
pg1(x) −pg2(x); lim
x→x 0
3
pf1(x) ±pf3 2(x)
3
pg1(x) ±pg3 2(x) hoàn toàn tương tự
Thí dụ 4: Tính lim
x→2
3
√ 4x − 2
x− 2 ĐS:
1 3 Thí dụ 5: Tính lim
x→−1
3
√x + x2
+ x + 1
x+ 1 Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a lim
x→1
3
√
2x − 1 −√3
x
√x
− 1 b limx→1
√ 2x − 1 + x2
− 3x + 1
3
√
x− 1 + x2
− x + 1
1.4 Dạng 4: Dạng vô định 0
0 của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao
Dạng thường gặp: Tìm lim
x→0
n
√
1 + ax − 1 x Cách giải: Đặt t = √n
1 + ax → tn
= 1 + ax → x = t
n
− 1
a và khi x → 0 thì t → 1 Khi đó lim
x→0
n
√
1 + ax − 1
x = lim
t→1
a(t − 1)
tn
− 1 =
a n Thí dụ 6: Tính lim
x→0
5
√
1 + 5x − 1 x Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a lim
x→0
4
√
2x + 1 − 1
x b lim
x→1
4
√ 4x − 3 − 1
x− 1 c limx→1
7
√
2 − x − 1
x− 1
1.5 Dạng 5: Dạng vô định 0
0 của hàm phân thức chứa căn thức không cùng bậc
Cách giải: Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách ra thành hai giới hạn của dạng vô định 0
0
Thí dụ 7: Tính lim
x→0
2√
1 + x −√3
8 − x
x (Hướng dẫn: thêm bớt 2 ở tử số) Thí dụ 8: Tính lim
x→0
√
1 + 2x −√3
1 + 3x
x2 (Hướng dẫn: thêm bớt 1+x ở tử số) Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a lim
x→2
3
√
8x + 11 −√x+ 7
x2
− 3x + 2 b limx→0
3
√
1 + x2
−√4
1 − 2x
x+ x2
c lim
√
1 + 4x −√3
1 + 6x
d lim
4
√ 2x − 1 +√5
x− 2
Trang 4e lim
x→0
(x2
+ 2004)√7
1 − 2x − 2004
x→0
(x2
+ 2001)√9
1 − 5x − 2001 x
1.6 Dạng 6: Dạng vô định 0
0 của một hàm hàm số lượng giác
Định lí: lim
x→0
sin x
x = 1
Hệ quả: lim
x→a
sin u(x) u(x) = 1 (nếu limx→a= 0); lim
x→0
x sin x = 1; limx→0
tan x
x = 1 Thí dụ 9: Tìm lim
x→ π 2
( 1 cos x − tan x) Làm theo 2 cách Thí dụ 10:Tìm lim
x→ π 3
sin x −√3 cos x sin 3x Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→0
1 − cos x.√cos 2x
x2 ; b) lim
x→ π 4
sin x −
√ 2 2 tan x − 1 . c) lim
x→0
cos4
x− sin4
x− 1
√
x2
+ 1 − 1 d) limx→0
1 −√3
cos x tan2x
e) lim
x→0
cos (π
2cos x)
sin2 x
2
g) lim
x→0
1 −√2x + 1 + sin x
√ 3x + 4 − 2 − x h) lim
x→0
1 − |1 + sin 3x|
√
1 − cos x
i) lim
x→0
1 − cos 3x cos 5x cos 7x
sin2
7x
k) lim
x→ π
4
3
√
tan x − 1
2 sin2
x− 1 m) limx→0
1 − cos x cos 2x
x2
1.7 Dạng 7: Dạng vô định 0
0 của hàm số mũ và hàm số logarit
Định lý: lim
x→∞
1 + 1 x
x
= e; lim
x→∞(1 + x)
1
x = e; lim
x→0
ln 1 + x
x = 1; lim
x→0
ex
− 1
x = 1
Thí dụ 11 : Tính lim
x→0
eax
− ebx
x Thí dụ 12: Tính lim
x→0
ln tanπ
4 + ax
sin bx Thí dụ 13:Tính lim
x→0
ln (sin x + cos x)
x Bài tập luyện tập :
Tính các giới hạn sau:
a lim
x→0
esin 2x
− esin x
sin x ; lim
x→0
e2x
− 1
√
1 + x −√1 − x
c lim
x→0
e3x 2
.cos2
x− 1
x2 ; d lim
x→0
3x 2
− cos x
x2
e lim
x→0
e−2x2 −√3
1 + x2
ln (1 + x2) ; g lim
x→0
ecos x−cos 3x− cos 2x
x2
Trang 51.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm
Ta có f′(x0) = lim
x→x 0
f(x) − f(x0)
x− x0
Thí dụ 14 :Tìm A = lim
x→0
(x2
+ 2010)√9
1 − 9x − 2010 x
Thí dụ 15 :Tìm B = lim
x→0
1 −√2x + 1 + sin x
√ 3x + 4 − 2 Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
a lim
x→1
4
√
2x − 1 +√5
x− 2
x− 1 ; b limx→0
1 −√2x + 1 + sin x
√ 3x + 4 − 2
c lim
x→0
esin 2x
− esin x
sin x ; d lim
x→ π 4
3
√ tan x − 1
2 sin2
x− 1
e lim
x→0
e−2x2 −√3
1 + x2
ln (1 + x2)
Một số bài trong các đề thi
Bài 1: lim
x→1
√
2x − 1 −√x
x− 1 (HVNH-98) Bài 2: lim
x→1
x3
−√3x − 2
x− 1 (ĐHQG-98) Bài 3: lim
x→0
2√
1 + x −√3
8 − x
x (ĐHQG KA-97) Bài 4: lim
x→1
4
√
2x − 1 +√5
x− 2
x− 1 (ĐHSP II KA-99) Bài 5: lim
x→0
1 − cos2
2x
xsin x (ĐH ĐN KD-97)
Bài 6: lim
x→0
1 − |1 + sin 3x|
√
1 − cos x
(ĐHQG KB 97) Bài 7: lim
x→0
2 sin 2x − cot x
(ĐHL-98) Bài 8: lim
x→0
tan x − sin x
x3 (HVKTQS-97)
Bài 9: lim
x→0
cosπ
2 cos x
sin2x 2 (ĐHTN-KA-97)
Bài 10: lim
x→0
1 − sin 2x − cos 2x
1 + sin 2x − cos 2x
Bài 11: lim
x→0
tan(a + x) tan(a − x) − tan2
a
x2 (ĐHTN-98) Bài 12: lim
x→0
98
83
1 − cos 3x cos 5x cos 7x
sin2
7x
(ĐHAN KA00)
Bài 13: lim
x→0
1 −√2x + 1 + sin x
√ 3x + 4 − 2 − x (ĐHGTVT 98) Bài 14: lim
x→0
√
1 + x2− cos x
x2 (ĐHTM-99) Bài 15: lim
x→0
1 −√cos x
1 − cos√x (ĐHHH-97)
Bài 16: lim
x→0
√
1 + tan x −√1 + sin x
x3 (ĐHHH 00)
esin 2x
− esin x
Trang 6Bài 18: lim
x→1
x3
+ x2
− 2 sin(x − 1) (ĐHQG KD-99)
Bài 19: lim
x→0
e−2x2 −√3
1 + x2
ln(1 + x2) (GTVT 01) Bài 20: lim
x→0
√
2x + 1 −√3
x2+ 1 sin x (ĐHQG-00) Bài 21: lim
x→1
√
5 − x −√3
x2+ 7
x2
− 1 (TCKT-01) Bài 22: lim
x→0
√
1 + 2x −√3
1 + 3x
x2 (ĐH Thủy Lợi -01) Bài 23: lim
x→
π
4
tan 2x tan π
4 − x (ĐHSP II-00)
Bài 24: lim
x→0
3x 2
− cos x
x2 (ĐHSP II-00) Bài 25: lim
x→0
cos4
x− sin4
x− 1
√
x2
+ 1 − 1 (ĐHHH-01) Bài 26: lim
x→0
√
x+ 1 +√3
x− 1
x (TK-02) Bài 27: lim
x→1
x6
− 6x + 5 (x − 1)2 (TK-02) Bài 28: lim
x→0
1 −√2x2+ 1
1 − cos x (ĐHBK-01)
2 Giới hạn hàm số của dạng vô định ∞
∞ , ∞ − ∞, 1
∞, 0 ∞
2.1 Dạng vô dịnh ∞
∞
Cách giải : Để khử dạng vô định ∞
∞ ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của biến
Thí dụ 1 : Tính lim
x→+∞
px + √x
√
x+ 1 Thí dụ 2 : Tính lim
x→+∞
x2
+ 2x + 1
x√
x+ 1 Bài tập tự luyện :
Tính các giới hạn:
a lim
x→+∞
x+ 1
x√
x+√
x; b lim
x→+∞
√
x+√3
x+√4
x
√ 2x + 1
2.2 Dạng vô định ∞ − ∞
Cách giải: Thực hiện phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞ Đôi khi phải cùng thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞ − ∞, rồi mới thực hiện phép nhân liên hợp như trên
Thí dụ 3: Tìm lim
x→+∞(√
x2 − 1 − x) Thí dụ 4 : Tìm lim
x→+∞(√3
x3+ 3x2
−√x2
− x + 1) Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn sau:
Trang 7a lim
x→+∞(√
x2
+ x + 1 −√x2
− x + 1) b lim
x→+∞(√
4x2
+ 3x − 1 −√3
8x3
− 5x2 + 3)
2.3 Dạng vô định 1∞
Tìm lim
x→+∞
f (x) g(x)
x , trong đó lim
x→+∞
f(x) g(x) = 1 Cách giải: Biến đổi f(x)
g(x) = 1 +
1
t, khi đó x → +∞ ⇔ t → +∞ Đưa về giới hạn cơ bản lim
t→+∞
1 + 1
t
t
= e
Thí dụ 5 : Tìm lim
x→+∞
x + 3
x+ 1
x
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
a lim
x→+∞
2x + 3
2x − 1
x
b lim
x→+∞
x + 3
x− 1
x
2.4 Dạng vô định 0.∞
Cách giải: Biến đổi đưa về dạng 0
0 hoặc ∞
∞ Thí dụ 6: (Đưa về dạng 0
0) Tìm lim
x→−1 +(x3
+ 1)
r x
x2
− 1 Thí dụ 7: (Đưa về dạng ∞
∞ Tìm limx→+∞(x − 2)r x + 1x3
− x Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
a lim
x→4 +(x2
− 16)
r x
x3
− 64 b limx→+∞
x− 1
x3+ 5
√
x+ 2
3 Một số dạng toán liên quan
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cách giải (Sử dụng định nghĩa)
• Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi lim
x→x 0
f(x) = f (x0)
• Đôi khi ta phải sử dụng đến tính liên tục từng phía tại điểm x = x0 Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi lim
x→x+0
f(x) = lim
x→x − 0
f(x) = f (x0)
Thí dụ 8: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1 :
f(x) =
3
√
x− 2 +√2x − 1
x− 1 khi x 6= 1
Thí dụ 9: Cho f(x) = e
x
khi x < 0
a+ x khi x ≥ 0 Hãy tìm a sao cho hàm số f(x) liên tục.
Bài tập tự luyện:
Trang 8a f(x) =
tan x − 3 cot x 3x − π khi x 6= π
3
m khi x = π
3
b f(x) = e
x
khi x < 1
mx− 1 khi x ≥ 1
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Thí dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0:
y= f (x) =
etan x−sin x− 1
x2 khi x 6= 0
0 khi x = 0 Bài tập tự luyện:
1 Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0: y = f(x) =
( ln (cos 2x) sin x khi x 6= 0
0 khi x = 0
2 Cho hàm số y = f(x) = x
2
khi x ≤ 1
ax+ b khi x > 1 Tìm a, b để f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
3 Chứng minh rằng hàm số y = x
2
− 2|x + 3|
3x − 1 liên tục tại x = −3 nhưng không có đạo hàm tại điểm này
—————– Hết ——————–
...mx− x ≥
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm hàm số điểm
Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm hàm số điểm
Thí dụ 10: Tính đạo hàm hàm số sau điểm x = 0:
y= f (x) =
...
x2 x 6=
0 x = Bài tập tự luyện:
1 Tính đạo hàm hàm số sau điểm x = 0: y = f(x) =
( ln (cos 2x) sin x x 6=
0 x =
2 Cho hàm số y = f(x) = x...
x+
3 Một số dạng toán liên quan
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm
Cách giải (Sử dụng định nghĩa)
• Hàm số y = f(x) liên tục điểm x