Dãy số an được cho như sau:.[r]
Trang 1GIỚI HẠN DÃY SỐ
A /Tóm Tắt Lý Thuyết:
lim c c
limu n L limu n L
limu n L lim3u n 3 L;
limu n L u, n 0 n L0,lim u n L
1
n
u
u
3
lim 0; lim 0; lim 0;
limq n 0nếu q 1
* 1
lim k 0,k N
c
3 limn; lim n ; lim n ; limq n nếu q 1; limn k ,k N *
limu n ,limv n limu n ,limv n L 0 limu n L 0,limv n 0
limu n limv n lim u v n n limu n Dấu của
L
lim u v n n Dấu
của L
Dấu của v n lim
n n
u v
B/ Bài Tập
1
lim
1
n
n
; 2
lim
1
n n
; 3
2 2
lim
; 4
3 3
4 lim
n
5
3
lim
n
1 lim
2
n n
; 7 2
4 lim
n
; 8
3
lim
n n n
9
3 2
lim
1
n
n
; 10
2 3
lim
n
; 11 lim ; với |a| < 1 ; |b| < 1
12
2 1
lim
n
n
; 13
lim
2 2
n n
; 14
1 lim
1
n n
; 15
1 lim
1
n n
16
2 lim
1
n
; 17
3 3
2 lim
2
n
; 18
3 3 2
1 1 lim
3 2
n n
; 19
3
2
1 lim
1 3
n n
20.lim n 1 n
; 21 lim n2 5n 1 n2 n
; 22 lim 3n22n1 3n2 4n8
23 3 2 3
lim n n n
ds1/3; 24 lim3 n 3 n1
ds0 ; 25
2
1 lim
1
lim n 3n 1 n 4n
; 27
1 2
lim
; 28
2 2
lim
2n
n
; 29
1 1
lim
1 3 5 (2 1)
lim n lim1 2 3 n
Trang 233
1.2 2.3 n n( 1)
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
GIỚI HẠN HÀM SỐ A/Lý thuyết :
*lim0 0
; 0
lim
;
1
x x
;
1 lim k 0
x x
; lim
k
;
, 2 lim
, 2 1
k x
x
0
lim
x x f x
0
lim
x x g x
0
x x f x g x
L 0
0
B/ Bài tập
0 0
1 D ạng phân tích thành nhân tử :
1)
2
2
x 2
lim
; 2)
2 2
x 1
lim
; 3)
2 2
x 5
lim
; 4)
2 2
x 2
lim
5)
3
4
x 1
lim
; 6)
2
x 1
lim
; 7)
2 3 2
lim
8
x
x
4 2 2 3
72 lim
x
9)
5
3
1
1
lim
1
x
x
x
; 10)
x 3
lim
; 11)
3
x 2
lim
lim
lim
2
x 1
lim
(1 x)
; 15 )
h 0
lim
h
; 16)
2
x a
x (a 1)x a lim
17)
4 4
x a
lim
x a
; 18)
h 0
2(x h) 2x lim
h
lim
1992 1990
x 1
lim
21)
n
2
x 1
lim
(x 1)
18 x x 4
2 2
2 2
x 5
lim
; 24)x 1 3 2
x 1 lim
0
lim
x x f x
0
lim
x x g x
Dấu của g(x)
0
lim
x x
f x
g x
Trang 329)
4
2
x 2
x 16
lim
; 30)
3 2
x 1
lim
; 31) x 4x 3
27 x lim 2 3 3
; 32)
2
x 2
lim
33)
3 2
2
x 1
lim
; 34)
3 2
x 2
lim
; 35)
3
x 2
lim
8 x
3 2 2
x 2
lim
37)
2
x 1
lim
; 38)
3 2
x 1
lim
; 39)
5 3
x 1
lim
2 D ạng nhân – Chia lượng liên hợp :
1)
2
x 0
lim
x
2) x 7 2
x 3 2 lim
49 x
3) x 2 2
lim
4) EMBED Equation.DSMT4x 2 2
4x 1 3 lim
5) EMBED Equation.DSMT4 x 1 3 2
2x 7 3 lim
; 6) EMBED Equation.DSMT4
x 4
lim
x 4
; 7) EMBED Equation.DSMT4
2 2 1
lim
x
x
Equation.DSMT4 2 3
2 lim
8
x
x
9)
2 2
x 1
lim
; 10) EMBED Equation.DSMT4 x 4
lim
; 11) EMBED Equation.DSMT4 x 1
lim
; 12) EMBED Equation.DSMT4x 2
lim 4x 1 3
13) EMBED Equation.DSMT4
2 3
1
lim
x
x x ; 14) EMBED Equation.DSMT4 4
3 2
x 1
x 1
lim
; 15) EMBED Equation.DSMT4
3 2 0
lim 2
x
x
x x
; 16) EMBED Equation.DSMT4
3 2 1
1 lim
x
x
17) EMBED Equation.DSMT4
3 2
x 2
2x 12 x lim
; 18) EMBED Equation.DSMT4
3
x 1
x 7 2 lim
x 1
19) EMBED Equation.DSMT4 0 3
1 1 lim
1 1
x
x x
; 20) EMBED Equation.DSMT4 3
x 1
x 7 2
lim
x 1
Trang 422) EMBED Equation.DSMT4
3 4
x 1
x 1 lim
x 1
; 23) EMBED Equation.DSMT4
3 3
x 1
x 1 lim
4x 4 2
; 24) EMBED Equation.DSMT4
2
x 1
lim
(x 1)
; 25 EMBED Equation.DSMT4 1
1
lim
x
x
x
3 D ạng gọi “ số hạng vắng” :
1 x 0
lim
x
; 2 x0
x9x167
3
x 0
lim
x
4.
3
x 0
lim
x
3 2 1
lim
1
x
x
; 6.
3 2
x 1
lim
7 lim
x→ 1
√x2
+3+ x3−3 x
x − 1 ; 8 limx→ 1
x3−√3 x −2
x2−1 ; 9 limx → 4
3
√x +4 −√x
x2−5 x +4
a) x
2x 1
lim
x 1
b)
2 2 x
lim
1 3x 5x
c)x 2
x x 1 lim
2 2 x
3x(2x 1) lim
(5x 1)(x 2x)
e)
3
lim
x
f)
4
lim
x
g)
2
lim
x
3
lim
x
i)
4 x
(x 1) (7x 2)
lim
(2x 1)
j)
2 2 x
(2x 3) (4x 7) lim
(3x 4) (5x 1)
2 x
4x 1 lim
3x 1
2 3 2 lim
x
x
m)
lim
x
x
n)
2 2 x
lim
o)
2 2 x
lim
9x 3x 2x
p)
2 2 x
lim
4x 1 2 x
q)x 2
x x 3 lim
r)
3 3 2 2 lim
x
x
s)
3
3
2
lim
x
(x x x 1)( x 1) lim
(x 2)(x 1)
a) xlim(2x3 3x)
; b) xlim (2x3 3 )x
; c) xlim x2 3x 4
; d)
2
xlim ( x x x)
e)
2
xlim ( x x x)
; f) xlim( x2 3x2 x)
;g) xlim( x2 3x2 x)
; h) xlim ( x2 2x 4 x)
i) lim ( x2 x 2)
; k) xlim (x x2 5 x)
Trang 5o)lim ( x2 3x2x 2)
x ; p) xlim ( x2 3x 2 x 1)
; q) xlim ( x2 3x 1 x 3)
r)xlim ( 4x2 x 3 2x 1)
; s)
xlim ( x x x)
; t)
xlim ( x x x x)
v)
3
xlim ( x 1 x 1)
; w) xlim (3 x3 2x 1 x2 3 )x
Giới hạn một bên
a)
2
2
2 lim
x
x
b) 2
lim 2
x
x
c) 1
1 lim
1
x
x x
d) 1
1 lim
1
x
x x
e)
x 0
lim
2x
f) x 0 2 3
2x lim
3 3 lim 2
x x
3 3 lim 2
x x
3 lim
4
x
x x
3 3 lim 22
x x x
3 3 lim 22
x x
3 2
x 1
lim
g)x 0
1 x lim x
x
2
x 1
lim
x 1
i)x 2
1 cos2x lim
x 2
* Tìm giới hạn bên phải, bên trái của hs f(x) tại x o và xét xem hàm số có giới hạn tại x o không ?
2 2
o
x 3x 2 (x 1)
a) f(x)
x (x 1) 2
với x 1
2
o
4 x (x 2) b) f(x) x 2
1 2x (x 2) với x 2
3
1 x 1
x 0 c) f (x) 1 x 1
0
o
với x
*Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại x o :
a)
3
x 1 (x 1)
Ax 2 (x 1)
với x0 = 1 ; b)
2
x 6 2x 9
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục tại xo xlim f (x) f (x )xo o
*Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nĩ liên tục tại mọi điểm xo (a;b)
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0
thì tồn tại ít nhất một số c (a;b) sao cho f(c) = 0
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
1.Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm x 0 :
Trang 6a) f(x) =
¿
x2−3 x +4 khi x <1
2x − 3 khi x ≥ 1
¿{
¿
tại xo = 1; b) f(x) =
¿
x3− x − 6
x2− x − 2 khi x ≠2
11
3 khi x=2
¿{
¿
tại xo = 2
c) f(x) =
¿
x2−3
x −√3, x ≠√3
2√3 , x =√3
¿{
¿
tại xo = 3 ; d) f(x) =
2 2
khi x 1
x khi x 1 2
e) f(x) =
2
4 x
khi x 2
x 2
1 2x khix 2
tại xo = 2; f) f(x) = 3
3
2
x 1 1
khi x 0
1 x 1
tại xo = 0
g) f(x) =
2
1 2012; 1
x x
x
trên TXĐ của nó ; h) f(x) =
khi x 2
2 x
1 khi x 2
k.f(x) =
2 9
3 3
6 3
x khi x x
khi x
tại x0=3; l.f(x) =
2 25
5 5
9 5
x
khi x x
khi x
m.
2 3 2
khi 2
1 khi 2
x
x
3 3
2 khi 1 1
4 khi 1 3
x x
f x
x
o
khi 2 2
1 khi 2
x
x
x
tại x0=2; p
2+4 2
2 1 2
f x
q
3 2 1
x x khi x
f x
tại x0= -1; s
2
0
1 0
f x
x khi x
r.
5 khi 5
3 khi 5 2
x
x x
f x
x
2.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x 0
a) f(x) =
¿
3 x2
+2 x − 1 khi x <1 2x+a khi x≥ 1 tại x0 = 1; b) f(x) =
¿
x3+2 x −3
x2− 1 khi x ≠1
a khi x=1 tại x0 = 1
Trang 7c) f(x) =
33x 2 2
khi x 2
x 2 1
4
¿
x2 khi x <1
ax+b khi 1≤ x ≤ 3
4 − x khi x>3
¿{ {
¿
e.f(x) =
¿
x+2 a , x <0
x2+x +1 , x ≥ 0
¿{
¿
trên R;g. f(x) =
¿
x2−3 x+2
|x −1| , x ≠ 1
a , x=1
¿{
¿
, tại x = 1;h
2
2 2
1
2 4
x
;
3 Chứng minh rằng các phương trình sau cĩ nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 ; b) x5 + x3 – 1 = 0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 ; d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
4 Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 cĩ 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
5*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 cĩ nghiệm trong (0;1)
6 Cho phương trình: (1-m2)(x+1)3 + x2 –x – 3 = 0 (m: tham số)
Chứng minh phương trình cĩ nghiệm với mọi giá trị của m?
7 Chứng minh phương trình sau luơn cĩ nghiệm với mọi m là số thực:
a.(m2 +m+1)x2 +6x - 9m2 - 9m + 5 = 0; b.m x 1 x 2 2x 1 0
c.m2 m 1 x 42x 2 0
; d.(m2 2m2)x33x 3 0
8 Cho các số thực a, b, c thoả mãn 3a 5 b9c0 Chứng minh rằng phương trình
ax2bx c 0, luơn cĩ nghiệm trong khoảng
1 ( ; 1)
2
9 CMR phương trình: ax2bx c 0 luơn cĩ nghiệm x
1 0;
3
với a 0 và 2a + 6b + 19c = 0
BÀI TẬP VỀ QUY NẠP TỐN HỌC
a) 1 + 2 + … + n =
( 1) 2
n n
b)
6
c)
2
1 2
2
n n
d)
2
1.4 2.7 n n(3 1)n n( 1)
e)
( 1)( 2) 1.2 2.3 ( 1)
3
f)
n
Trang 8a) 2n 2n1 (n 3)
b) 2n2 2n5
1 3 2 . 1 1
n
e)
f)
n n n (n > 1)
n n n chia hết cho 3
c) 7.22 2n 32 1n chia hết cho 5 d) n32n chia hết cho 3
e) 32 1n 2n2
chia hết cho 6
Bài 4: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
( 3) 2
n n
Bài 5: Dãy số (an) được cho như sau: a1 2,a n1 2a n
với n = 1, 2, … Chứng minh rằng với mọi n N* ta có: a n 2 cos2n1