Bài giảng Véc tơ trong không gian (tham khảo)28016

Khi đó AB AC 2AM BA BC 2BN Quy tắc trọng tâm: Cho tam giác ABC có trọng tâm G như hình vẽ.. b AN=AB+AC−AD Theo a, ta có AB+AC=2AI=AJ Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Group th o lu n bài t p : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM :

I CÁC QUY TẮC VÉC TƠ

Quy tắc véc tơ đối :

Với mọi hai điểm A, B cho trước ta luôn có AB= −BA⇔AB+BA=0

Quy tắc cộng véc tơ :

Cho trước hai điểm A, B Với mọi các điểm M1, M2 Mn ta luôn có hệ thức sau:

AB=AM +M M +M M + + M B

Quy tắc trừ hai véc tơ :

Cho trước hai điểm A, B Với mọi điểm M ta luôn có AB=MB−MA

Quy tắc hình bình hành :

Cho hình bình hành ABCD, khi đó AB AD AC

AB DC

=

Quy tắc trung tuyến:

Cho hai điểm A, B Nếu M là trung điểm của AB thì ta có

hệ thức MA MB 0

AM BM 0





Quy tắc trung tuyến:

Cho tam giác ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm

của BC và AC Khi đó AB AC 2AM

BA BC 2BN

Quy tắc trọng tâm:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G như hình vẽ

Khi đó ta có

GA GB GC 0

2

3







Nhận xét:

+) Với mọi điểm I thì ta luôn có IA+IB+IC=3IG

+) Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD khi

GA+GB+GC+GD=0

CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video bài giảng hệ thống ví dụ khác nhé các em !)

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD Xác định các điểm M, N thỏa mãn:

a) AM=AB+AC+AD

b) AN=AB+AC−AD

Lời giải:

01 VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN (Tham khảo)

a) AM=AB+AC+AD

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó

AB+AC=2AI

Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có

2AI=AJ→AB+AC=AJ

Từ đó AB+AC+AD=AJ+AD=2AE, với E là

trung điểm của DJ

Theo bài, AM=AB+AC+AD=2AE

Vậy M là điểm đối xứng của A qua E

b) AN=AB+AC−AD

Theo a, ta có AB+AC=2AI=AJ

Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có

AN AB AC AD AJ AD DJ

Vậy trong tam giác ADJ ta tạo ra hình bình hành

ADJN thì điểm N thỏa mãn yêu cầu này chính là

điểm cần tìm

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN

và G 1 là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh các hệ thức sau:

a) AC+BD=AD+BC b) MN=1(AC+BD) (=1 AD+BC)

c) GA+GB+GC GD+ =0 d) NA++++NB++++NC++++ND====4NG, N.∀∀∀∀

e) AB+AC+AD=3AG 1

Lời giải:

a) AC+BD=AD+BC

Sử dụng quy tắc cộng véc tơ ta có

AC AD DC

AC BD AD BC DC CD

BD BC CD







Mà DC+CD= 0 →AC+BD=AD+BC

2

Theo quy tắc cộng ta có AC AM MN NC

Theo quy tắc trung điểm ta lại có AM BM 0

NC ND 0







Từ đó ta được AC+BD=2MN→(dpcm )

2

Ta có thể chứng minh tương tự như trên, hoặc sử dụng kêt quả câu a là AC+BD=AD+BC ta cũng được điều phải

chứng minh

c) GA+GB+GC+GD=0

Theo quy tắc trung điểm trong ∆GAB và ∆GCD ta có GA GB 2GM ( )

GA GB GC GD 2 GM GN

GC GD 2GN

Mà G là trung điểm của MN nên GM+GN= 0 →GA+GB+GC+GD=0

d) NA+NB+NC+ND=4NG, N.∀

0

NA NG GA

NB NG GB

NA NB NC ND 4NG GA GB GC GD 4NG

NC NG GC

ND NG GD

e) AB+AC+AD=3AG1

Sử dụng quy tắc trung tuyến cho ∆ACD ta được AC AD+ =2AN

Gọi I là điểm đối xứng của A qua N, khi đó 2AN=AI→AC+AD=AI

Ta có AB+AC+AD=AB+(AC+AD)=AB+AI=2AE, với E là trung điểm của BI

Xét trong ∆ABI có BN và AE là các đường trung tuyến, giả sử BN ∩ AE = G′ thì G′ là trọng tâm ∆ABI

Khi đó BG 2BN BG1 G G1

3

′= = → ≡′

Mà AG1 2AE 2AE AB AC AD AB AC AD 3AG1

II PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ

Ba véc tơ đồng phẳng:

Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c Khi đó, tồn tại duy nhất một phép phân tích c=ma+nb

Ba véc tơ không đồng phẳng:

Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c Khi đó, với mỗi véc tơ d thì tồn tại duy nhất một phép phân tích d=ma+nb+pc

CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video bài giảng hệ thống ví dụ khác nhé các em !)

Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hãy phân tích các véc tơ

SA, SB, SC, SD theo AB, AC, SO

Lời giải:

Phân tích SA :

Ta có SA SO OA SO 1CA SO 1AC

1

SA SO AC

2

→ = −

Phân tích SB :

SB SO OB SO OA AB SO AC AB

2

1

SB SO AC AB

2

Phân tích SC :

1

SA SC 2SO SC 2SO SA 2SO SO AC

2

1

SC SO AC

2

→ = +

Phân tích SD :

SB SD 2SO SD 2SO SB 2SO SO AC AB

2

1

2

Ví dụ 2: [ĐVH] Cho tứ diện ABCD, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD Chứng minh rằng ba

véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng

Lời giải:

Nhận xét:

Để chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD đồng phẳng ta đi

kiểm tra xem có đẳng thức véc tơ nào liên quan đến ba

véc tơ trên hay không Bằng trực quan hình học, ta thấy

MN ở giữa BC và AD nên ta sẽ xuất phát từ véc tơ MN đi

theo hai hướng là BC và AD

Ta có MN MA AD DN

MN MB BC CN







Từ đó ta có 1( )

2

= + , tức là ba véc tơ đồng phẳng

Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS= −2MA và trên đoạn

BC lấy điểm N sao cho NB= −1 NC.

2 Chứng minh rằng ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng

Lời giải:

Tương tự như ví dụ trên, chúng ta phân tích MN theo hai

hướng

( )

MN MA AB BN, 1

MN MS SC CN, 2







Nhân cả hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được

3MN= 2MA+MS + 2AB SC+ + 2BN+CN

Từ giả thiết

1

2



←→



Vậy ba véc tơ AB, MN, SC đồng phẳng

Ví dụ 4: [ĐVH].Cho tứ diện S.ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Phân tích vectơ SG theo các ba véc tơ SA SB SC , ,

b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện S.ABC Phân tích vectơ SD theo ba vectơ SA SB SC , ,

Lời giải:

a) Ta có: GA GB+ +GC=0⇒(GS+SA) (+ GS+SB) (+ GS+SC)=0 1( ) ( )

1 3

b) Ta có : DS+DA+DB+DC=0⇒DS+(DS+SA) (+ DS+SB) (+ DS+SC)=0

4

Ví dụ 5: [ĐVH].Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có AA'=a AB, =b AC, =c .

a) Hãy phân tích các vectơ B C BC theo các vectơ , ,′ , ′ a b c

b) Gọi G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′ Biểu diễn véc tơ AG qua các véc tơ , ,′ a b c

Lời giải:

a) B C' =B B' +B C' '=B B' +B A' '+A C' '= − − +a b c

' ' ' ' ' ' ' ' '

BC =BB +B C =BB +B A +A C = − +a b c

AG′ = AA +AB +AC = AA +AB +AC = a+ +b c

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn