SKKN Ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆ[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH
Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA, NĂM 2018
Trang 2MỤC LỤC
2.1.2 Tập hợp các điêm biểu diễn số phức thường gặp 6
2.3.1 Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 7 2.3.2 Bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện cho trước
8
2.3.2.1 Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng 8 2.3.2.2 Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn 11
2.3.2.3 Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường E líp 16
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17
Trang 31 MỞ ĐẦU.
1.1.Lý do chọn đề tài
Khi học về Số phức ta biết rằng mỗi số phức z x yi x y ( , ¡ ,i2 1) được biểu diễn bởi một điểm M x y( ; )trên mặt phẳng tọa độ Oxy Như vậy
chúng ta có thể dùng hình học, cụ thể ở đây là Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng Oxy để giải các bài toán về số phức Ta sẽ “nhìn’’ một số bài toán về số
phức với quan điểm tọa độ Từ đó ta sẽ thấy giữa Đại số và Hình học có mỗi quan hệ mật thiết với nhau, hòa quyện nhau
Khi chuyển bài toán về Số phức từ ngôn ngữ Đại số sang Hình học thì những con số dường như khô khan ấy lại trở nên trực quan sinh động và mang một vẻ đẹp riêng, làm học sinh dễ hiểu, dễ học Từ đó làm người học hứng thú, đam mê khám phá tìm tòi và sáng tạo Đặc biệt trong các kì thi Đại học, Cao đẳng và THPT quốc gia gần đây có rất nhiều các bài toán về số phức làm học sinh lúng túng Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, ngoài kiến thức nắm vững học sinh còn phải giải quyết nhanh bài toán Để làm nhanh thì người học phải hiểu cặn kẽ từng dạng toán Đối với dạng toán tìm số phức thỏa mãn một điều kiện nào đó, hay các bài toán về Cực trị trong số phức nếu học sinh vẽ được hình minh họa, sau đó dùng phương pháp tọa độ sẽ giải quyết nhanh chóng và dễ hiểu, dễ nhớ Đi từ “trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng” [1], đó chính là con đường của nhận thức, khám phá cái mới
Ngoài phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy thì một số bài toán về số
phức có thể giải bằng nhiều phương pháp như dùng Bất đẳng thức, Dùng lượng
giác, dùng Khảo sát hàm số Nhưng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy
vẫn có vẻ đẹp riêng và có sức hấp dẫn riêng đối với người học toán
Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy, việc chuyển từ bài toán Đại số nói chung
và Số phức nói riêng sang bài toán Hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy ở
nhiều học sinh nói chung còn khá lúng túng, bỡ ngỡ Để giúp học sinh giải một
số bài toán về Số phức đặc biệt là bài toán Cực trị Số phức tôi xin trao đổi với quí đồng nghiệp đề tài: “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” Với mục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về Phương pháp tọa độ đã học ở lớp 10 để giải một số bài toán về số phức Từ đó học sinh sẽ linh hoạt hơn trong tư duy và hiểu rõ hơn các kiến thức về cả Số phức cũng như kiến thức về Hình học Đặc biệt có thể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia
1.2.Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng
cường vận dụng kiến thức về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải toán
về Số phức
Trang 4-Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể hiện về mối liên hệ giữa Số phức với Hình học Qua đó thấy được sự giao thoa giưa Đại số nói chung và số phức nói riêng với Hình học
- Góp phần nâng cao tư duy sáng tạo, chất lượng dạy học môn toán ở trườngTHPT
- Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia
1. 3 Đối tượng nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu về tính ứng dụng của Hình học đặc biệt là ứng dụng của Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
- Hình học liên hệ với Đại số nói chung và số phức nói riêng thể hiện như thế nào trong một số bài toán về số phức đặc biệt bài toán Cực trị số phức
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn,thu thập thông tin
- Thực nghiệm sư phạm
2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1.Cơ sở lý luận
Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết hội
nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo
nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn
mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán
về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực [2]
Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận
Trang 5dụng lý thuyết vào làm bài tập, vận dụng kiến thức Hình học để giải quyết các bài toán về Đại số và ngược lại, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh THPT vận dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy để giải
một số bài toán về số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh Giúp học sinh chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia
Để vận dụng tốt Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng vào giải một số bài toán
về số phức ta cần nắm vững kiến thức như sau:
2.1.1.Kiến thức cơ bản về số phức
Định nghĩa: Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các
số thực và số i thoả mãn i 2 = -1 Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi
i được gọi là đơn vị ảo
a được gọi là phần thực Ký hiệu Re(z) = a
b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b
Tập hợp các số phức ký hiệu là C
*) Một số lưu ý:
- Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0.
- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo
Hai số phức bằng nhau.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i.
z = z’ '
'
a a
b b
Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ
Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi
Phép cộng và phép trừ các số phức.
Trang 6Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:
' ( ') ( ') ' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:
'zz aa bb ' ' ( 'ab a b i ' )
Số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi Số phức = a – bi gọi là số phức liên hợp với số z
phức trên
Vậy = z a bi = a - bi
Chú ý: 10) = z z và gọi là hai số phức liên hợp với nhau.z z
20) z = az 2 + b2
*) Tính chất của số phức liên hợp:
(1): z z
(2): z z ' z z'
(3): z z ' z z '
(4): z = z a2 b2 (z = a + bi )
Môđun của số phức.
Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu là môđun của số phư z, đó là số z
thực không âm được xác định như sau:
- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì = z uuuuuvOM = a2 b2
- Nếu z = a + bi, thì = z z z. = a2 b2
Trang 7Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a 2 +b 2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
z -1 = 21 2 z 12 z
a b z
Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:z'
z
1 2
.
z z z
z z
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường [3]
2.1.2 Tập hợp các điêm biểu diễn số phức thường gặp.
+ Phương trình đường thẳng: ax + by + c = 0 (a2 b2 0)
+ Phương trình đường tròn tâm I( a; b) bán kính R > 0 là:
(x a ) 2 (y b ) 2 R2
+ Phương trình chính tắc E líp :x22 y22 1 (a> b >0)
a b
2.2.Thực trạng của đề tài
- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng có số lượng rất hạn chế Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về
Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” cho ta phương pháp giải các bài toán liên quan đến số phức một cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học sinh có học lực trung bình trở lên
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của học sinh
- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” giúp học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được sự “ gần gũi ’’ giữa Hình học và Đại số
Trang 8- “ Ứng dụng Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số bài toán về Số phức nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh” có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học,tự bồi dưỡng tri thức – một con đường tiết kiệm , kinh tế nhất để học tập tốt
2.3.Các biện pháp giải quyết vấn đề.
2.3.1.Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Bài toán cơ bản: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm M biểu
diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện K cho trước.
Phương pháp chung:
+ Bước 1: Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ¡ )
+ Bước 2: Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x, y và kết luận.
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức
z thỏa mãn điều kiện: z z 2 3 ?i
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ¡ )
Ta có:
x y
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng (d): 4x 6y 13 0
Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn
các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: u (z 3 i z)( 1 3 )i là số thực
Học sinh giải tương tự Đáp số:Tập hợp điểm M là đường thẳng ( ) :d x y 4 0.
Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số
phức z thỏa mãn điều kiện: z (1 2 )i 3
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ¡ )
Ta có:
Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường tròn (C) tâm I(1; 2) ,bán kính R = 3 có phương trình:(x 1) 2 (y 2) 2 9
Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn
các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z 2 4i 5
Học sinh giải tương tự Đáp số: Tập hợp điểm M là đường tròn
( ) : (C x 2) (y 4) 5
Trang 9Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số
phức z thỏa mãn điều kiện: z 3 z 3 4
Giải
Gọi M(x ; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi, (x,y ¡ ), số z1 3 có điểm biểu diễn là F1( 3;0), số z2 3 có điểm biểu diễn là F2( 3;0) Số phức z
thỏa mãn: z 3 z 3 4 MF1MF2 4, suy ra M thuộc đường elip có
,tiêu điểm , do đó Elip có phương tình trình chính tắc:
a b c F F1, 2 ( )E
2 2
1
x x
Bài tập tương tự: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tập hợp điểm M biểu diễn
các số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z 1 z 1 4
Học sinh giải tương tự Đáp số: Tập hợp điểm M là đường Elip ( ) : 2 2 1
x y
E
2.3.2.Bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất của .z
Phương pháp chung:
+ Bước 1: Tìm tập hợp (H) các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*) + Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ( )H sao cho khoảng
cách OM lớn nhất, nhỏ nhất.
2.3.2.1.Dạng 1 : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
Ví dụ 1.1 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i , tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất
Giải
Gọi z x yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M x y( ; ), số phức
có điểm biểu diễn hình học là A(2 ; 4), số phức có điểm biểu
1 2 4
diễn hình học là B(0 ; 2) Khi đó ta có:
Suy ra điểm M thuộc đường trung trực của đoạn
thẳng AB nên đường thẳng có phương trình:
1
3
Ta có : zmin OMmin OM
Điểm M thuộc nên M(1 ;3 t t) OMuuuur (1 ;3t t). Véc tơ chỉ phương của là:uuur (1; 1) Do đó OM OM uuuuur uur. 0 2t 2 0 t 1 M(2; 2).Số phức cần tìm là :z 2 2i
Trang 10Bài tập tương tự: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 6 13i z 4 5i ,
tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất.
Học sinh giải tương tự Đáp số : z 5 4i
Ví dụ 1.2 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z 9 10i z 1 4i , tìm giá trị nhỏ nhất của z 2 i.
Giải.
Gọi z x yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M x y( ; ), số phức
có điểm biểu diễn hình học là A(9 ; 10), số phức có điểm
1 9 10
biểu diễn hình học là B(-1 ; 4) Khi đó ta có:
Suy ra điểm M thuộc đường trung trực của
đoạn thẳng AB nên đường thẳng có phương trình: 4 3
7 5
Gọi C(2 ; -1) là điểm biểu diễn hình học của số phức z3 2 i, khi đó ta có
Số có mô đun nhỏ nhất khi MC ngắn nhất, tức là điểm M 2
z i MC z 2 i
là hình chiếu vuông góc của điểm C trên đường thẳng Điểm M thuộc nên tọa độ điểm M(4 3 ;7 5 ) t t , véc tơ CMuuuur (2 3 ;8 5 ) t t , Véc tơ chỉ phương của là: uuur (3;5) Giải điều kiện: CM CM uuuuur uur. 0 34T 34 0 t 1 M(7; 2). Suy ra min z 2 i 34
Cách tính khác: Ta có min z 2 i d C( ; ) Phương trình tổng quát của là:
5x 3y 41 0
2 2
5.2 3( 1) 41
[4]
Bài tập tương tự: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện
, tìm giá trị nhỏ nhất của
Học sinh giải tương tự Đáp số : min 2 12 17
17
z i
Ví dụ 1.3 Cho số phức z thỏa mãn z 5 6i z 15 Tìm số phức z để
nhỏ nhất
P z i z i
Giải
Gọi z x yi là số phức có điểm biểu diễn hình học là M x y( ; ), số phức z1 5 6i
có điểm biểu diễn là A(5 ; -6), số phức z2 15 có điểm biểu diễn là B(15;0) Khi
đó ta có: