tich phan

tài liệu cung cấp các dạng bài toán cũng như các cách giải giúp các bạn dễ dàng trong việc ôn luyện

I.Nguyên hàm – Tích phân

CHUYÊN ĐỀ VII : ĐẠO HÀM

Cơng thức đạo hàm cần nhớ:

 '

A  0ọ nguyên hà C  ' ' '

u v u vọ nguyên ha

u.v u v u.v

'

2

   

 

 

2

   

 

 

x  .x

2

u u v u.v

 

 

 ' 1  

ln x ; x 0

x

ln u

u



 '

u ' u

e  u e

 x ' x

a  u a ln a

 '

a

1 log x

x ln a

a

u log u

u ln a



 '

s inu u cos u

 '

cosu  u sin u

 '

2

1 tanx

cos x

2

u tanu

cos u



 '

2

1 cotx

sin x

2

u cotu

sin u

 

 '  '

kx  k x k  '  '

ku k u

   ' '

1

kx k x  k .x    ' '  '

1

ku k u  k .u u

 '

sin u  u sin  u.cosu  '

cos u   u cos u.sin u

CHUYÊN ĐỀ VIII : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

I.Cơng thức nguyên hàm cần nhớ :

1

x

1



 



 

 1

dx ln x C





ln a

k.ln a





e dx e C

a

 sinxdx  cosx C

sin ax b dx cos ax b C

a

 cosxdx sinx C

cos ax b dx sin ax b C

a

 2

1

dx t anx C

dx t an ax b C a





2

1

dx co t x C

sin x   

dx co t ax b C

a



 tan xdx  ln cos x C

tan ax b dx ln cos ax b C

a

 cotxdx  ln sin x C

cot ax b dx ln sin ax b C

a

 adx ax C

'

f x

dx ln f x C

 1

dx 2 x C

2a x a

x a









II.Phương Pháp tính tích Phân

1.Phương pháp tích phân từng phần

   

b

a

I f x g x dx đặt  

'

du f x dx

u f x

dv g x dx v g x dx G x



       

I u.v vdu f x G x G x f x dx

Dạng 1: b      

a

I  f x ln g x dx đặt    

 

u ln g x

dv f x

 









Dạng 2: b      

a

I  f x sin g x dx đặt  

 

 

u f x

dv sin g x dx

 





b      

a

I f x cos g x dx đặt  

 

 

u f x

dv cos g x dx

 





Dạng 3: b   g x 

a

I  f x e dx đặt  

 

g x

u f x

dv e dx

 









Dạng 4: b     g x 

a

I  sin f x e dx đặt    

 

g x

u sin f x

dv e dx

 









b     g x 

a

I cos f x e dx đặt    

 

g x

u cos f x

dv e dx

 









Riêng dạng này ta nên tính tích phân 2 lần như vậy để được trở lại như đề rồi  I

2.Phương pháp đổi biến số

2

1

b

2 2

b

I   a x dx hoặc

2

1

b

2 2 b

dx I





 Đặt xa sin t hoặc xa cos t 2

1

b

2 2

b

I   x a dx hoặc

2

1

b

2 2 b

dx I

x a





sint

x hoặc x a

cost;

2

1

b

2 2 b

I   a x dx Đặt xa tan t hoặc xa cot t

2

1

b

b

a x

a x







2

1

b

b

a x

a x







2

1

b

b

I  x a b x dx  Đặt x a b a sin t  2

2

1

b

2 2 b

1





III.Ứng dụng tích phân

1 Diện tích giới hạn hình phẳng

Dạng 1 Hình phẳng giới hạn bởi : Hàm số yf x C   ,trục hoành y0 và hai đường thẳng

xa, xb.Giải phương trình hoành độ giao điểm của  C và oxf x  0 x , x 1 2

 

b

a

S f x dx

  có thể bỏ dấu trị tuyệt đối bằng cách : 1    

1

S f x dx f x dx

    hoặc dựa vào đồ thị

Dạng 2 Hình phẳng giới hạn bởi : Hàm số yf x C ; y   1 g x C   2 và hai đường thẳng x a,x b 

   

b

a

S f x g x dx

   có thể bỏ dấu trị tuyệt đối bằng cách dựa vào đồ thị

Dạng 3 Hình phẳng giới hạn bởi : Hàm số yf x C ; y   1 g x C   2

Giải phương trình hoành độ giao điểm của  C và 1  C2 f x g x x , x , x 1 2 3

   

3

1

x

x

S f x g x dx

    có thể bỏ dấu trị tuyệt đối bằng cách :

   

2

x x

S f x g x dx f x g x dx

2 Thể tích vật trịn xoay

Vật thể trịn xoay giới hạn bởi yf x C ,y    0; xa, xb xoay quanh b 2 

a

Vật thể trịn xoay giới hạn bởi xf y C ,x    0;ya, yb xoay quanh

II.Bài Tập

1.Nguyên hàm

Bài 1: Tính các nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

1 4 53 1

3

4

dx x

x

x

2  x dxa

3  (3- x2)3dx

4  x x

e

e

dx





x

x 2

)

1

( 

6  sin2xdx

7  dx x

8  (a + bx)2dx -  (a - bx)2dx

9  (1 - sinx)2dx +  (1 + cosx)2dx

5

2 x

dx



11  313x dx

12  x2 x2

dx

13 

2 5 ) 2 5 ( x

dx

14  (sin5x - cos5x)dx

15  x2 9

dx

16  dx

x

x

1

3



17  x dx5 x

ln

18  dx

e

e

x x

1 2

2



19  (e2x +5)2e2xdx

20  cos(3ex +1)exdx

cos2 x dx

e tgx

Bài 2 : Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số):

1  (2x - 5)5dx

2  x(1 + x2)4/3dx

3  x2(8 - x3)4 dx

4  sin3xdx

5  cos3xdx

6  sinxcos4xdx

7  cosxsin5xdx

8  sin3x.cos2xdx

9  (esinx - cosx)cosxdx

10 xe x2dx

11  cos3xsin2xdx

12 dx x

x

ln

13  

x

x 2

ln

14 dx

x

x

1ln

x

x

1ln2

x

x

1cos2sin

17  x(4-x)3dx

18  x 25xdx

19     dx

x x

x

5 3

3 2 2

20  x2(x3 - 8)3dx

Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp tứng phần:

1  (1 - 3x)exdx

2  xe2xdx

3  x.e-xdx

4  lnxdx

7  xsinxdx

8  xcosxdx

9  (2x-1)sinxdx

10  (1- 4x)cosxdx

x

x

sin

13  (x2 - 4x + 3)exdx

14  exsinxdx

16  xlnxdx

17  xln(x+1)dx

18  xsinx5xdx

19  xcos3xdx

5  x2lnxdx

6  x2ex

11 dx

x

x

cos

15  excosxdx 20  ln(5x+1)dx

2.Tích phân

Bài 1 ĐH, CĐ Khối A – 2005: 2  

0 1 3cos

sin 2 sin



dx x

x x

27

x

x x

I2 

0 1 cos

cos 2 sin



KQ: 2ln2 1

Bài 3 ĐH, CĐ Khối D – 2005: 2  

0

sin

cos cos



xdx x

e

KQ: e 1

4



 

x

x

I  7

0 3 1

2

KQ: 141 10

Bài 5 Tham khảo 2005: 3

0

2 sin



xtgxdx

8



0

sin cos



dx x e

tgx

1 2

ln 2 e 1

e

xdx x

I

1

2

9 9

Bài 8 CĐ Khối A, B – 2005 I1x x  dx

0

2 3

3

5



Bài 9 CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005 

   



 3

x x

x

Bài 10 CĐ GTVT – 2005 Ix x dx

1

0

2 5

105

Bài 11 CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I–2005: 2

0

3 5 sin



xdx e

KQ:

3 2 3.e 5 34





Bài 12 CĐ Tài Chính Kế Toán IV–2005: I x x5dx

3

0

3 1

105

Bài 13 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005:  4 

0

2

2 sin 1

sin 2 1



dx x

x

2

Bài 14 CĐSP Tp.HCM – 2005: 

  

 0 1 2

4 2x x

dx

18



Bài 15 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005: 

e

dx x

x I

1 2

ln

KQ: 1 2

e



x

x

I3  7

0 3 1 3

1

KQ: 46 15

Bài 17 CĐ Bến Tre – 2005: 2 

0sin 1

3 cos



dx x

x

Bài 18 CĐSP Sóc Trăng Khối A–2005:











3

0

2 2

2

cos 2 sin sin

2 cos cos 2 sin

sin





x x

xdx x

J

x x

x

xdx I

KQ:

I ln 2

3 J

3 4





 

Bài 19 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long–05: 

e

xdx x I

1

2

e 1 4



Bài 20 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 05: I xsin xdx

4

0

2







KQ:

2 4 2





x

x x x

I2    0

2

2 3

4

9 4 2

KQ: 6

8





Bài 22 CĐ Tài Chính – 2005 :

 1

0

3 1 x

xdx

8

Bài 23 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005:   

e

x x

dx I

1 1 ln2

KQ:

6



Bài 24 CĐSP Hà Nội – 2005: 2 

0

2004 2004

2004 cos sin

sin



dx x x

x

Bài 25 CĐSP KonTum – 2005: 2 

0

3 cos 1

sin 4



dx x

x

Bài 26 ĐH, CĐ Khối A – 2006:

2

0

sin2x

cos x 4sin x







3

Bài 27 Tham khảo 2006 :

6

2

dx I

2x 1 4x 1



2 12

Bài 28 ĐH, CĐ Khối D – 2006: 1  2x

0

I x 2 e dx KQ:

2

5 3e 2



0

I x 1 sin2x dx



4





Bài 30 Tham khảo 2006: 2 

1

I x 2 ln x dx KQ: 5 ln4

4

Bài 31 ĐH, CĐ Khối B – 2006:

ln5

ln3

dx I

e 2e 3



2

Bài 32 Tham khảo 2006 :

10

5

dx I

x 2 x 1



Bài 33 Tham khảo 2006:

e

1

3 2ln x

x 1 2ln x







3  3

Bài 34 CĐ KTKT Công Nghiệp II–06: 1  2

0

Ix ln 1 x dx KQ: ln2 1

2



Bài 35 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim–06: 2  

2 1

ln 1 x

x



2



Bài 36 CĐ Nông Lâm – 2006:

1 2 0

Ix x 1dx KQ: 2 2 1

3



Bài 37 ĐH Hải Phòng – 2006:

1 2 0

x

1 x





2

Bài 38 CĐ Y Tế – 2006 :

2

4

sinx cosx

1 sin2x











Bài 39 CĐ Tài Chính Kế Toán–2006: 3  2 

0

Ix ln x 5 dx KQ: 1 14ln14 5ln5 9 

Bài 40 CĐ Sư Phạm Hải Dương –2006:

2

3 0

cos2x

sin x cosx 3





32

Bài 41 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương–06: 4 

0

I x 1 cosx dx



8

Bài 42 CĐ KTKT Đông Du–06:

4

0

cos2x

1 2sin2x







4

Bài 43 CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 06:

ln2 2x x 0

e

e 2





3



Bài 44 CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 06:

3 2

0

4sin x

1 cosx







Bài 45 CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 06:

4 2 0

x

cos x



 

Bài 46 CĐ Sư Phạm Tiền Giang–06:

9 3 1

Ix 1 x dx KQ: 468

7



Bài 47 CĐ Bến Tre – 2006 :

e 3

1

x 1

x

3 2e 11

9 18

Bài 48.CĐ y tế Thanh Hóa 2004:

1

0

Ix 2 x dx KQ: 2 3 3 2 2 

Bài 49 CĐ y tế Thanh Hóa 2005 2  

0

2 cos 1 2



xdx x

2

2 4 2

 

 

Bài 50 CĐ y tế Thanh Hóa 2006     

1

0

3 2

1dx x e

x

KQ:

2

4 14

Bài 51.CĐ KT-KTCông NghiệpI–06:

2 0

sin3x

2cos3x 1







Bài 53.CĐ KT-KTCông NghiệpII–06: 1  2

0

2



Bài 54 CĐ Xây dựng số 2 – 2006:

2

1

x x 1

x 5







3 

Bài 55 CĐ Xây dựng số 3 – 2006: 1 3 

0

I x cos x sin x dx KQ: 5

4

Bài 56 CĐ GTVT III – 2006:

2 0

cosx

5 2sin x







2 3

2

0

J 2x 7 ln x 1 dx  KQ: 24ln3 14

Bài 57 CĐ Kinh tế đối ngoại –06: 4 8 

0



105

Bài 58 CĐSP Hưng Yên-Khối A–06:

4 2 3

4x 3

x 3x 2





Bài 59 CĐSP Hưng Yên-Khối B–06:

3 6

0

sin3x sin 3x

1 cos3x









6 3

 

Bài 60 CĐSP Hưng Yên-Khối D1-06:

1

ln x 2 ln x

x



Bài 61 CĐ BC Hoa Sen–Khối A –06: 4 4 4 

0



2

Bài 62 CĐ BC Hoa Sen–Khối D–06:

4 0

cos2x

1 2sin2x







4

Bài 63 CĐSP Trung Ương – 2006 :

2

0

I sin xsin2xdx



3

Bài 64 CĐSP Hà Nam–Khối A–06:

1

2 0

x

x 3





3 4

Bài 65 CĐSP Hà Nam –Khối M–06:

2 2 1



2 2 4





Bài 66 CĐSP Hà Nam – (DB)– 06:

e

2 1

dx I

x 1 ln x





4



Bài 67 CĐKT Y Tế I – 2006:

2

4

sinx cosx

1 sin2x











Bài 68 CĐ Tài Chính Hải Quan–06: 3  

4

ln tgx

sin2x





16

Bài 69 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng–06: 2  2 3

0

I sin2x 1 sin x dx



4

Bài 70 CĐKT Tp.HCM Khóa II-06:

e 0

ln x

x

Bài 71 CĐCN Thực phẩmHCM–06:

1 2 0

1



4



Bài 72 CĐ Điện lực Tp.HCM –06 :

7 3 3 0

x 2

3x 1







15

Bài 73 CĐ KTCN HCM Khối A–06:

4 2 0

x

cos x



 

Bài 74 CĐ KT CN HCM Khối D1–06: 2 

1

Bài 75 CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006:

3

6

dx I

sin x.sin x

3





3

Bài 76 ĐH, CĐ khối A – 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y e 1 x, y    1 e x x

KQ: 1

2 

e

Bài 77 ĐH, CĐ khối B – 2007:Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y xlnx  , y 0, y e   Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox KQ: 5e 3 2

27

Bài 78 ĐH, CĐ khối D – 2007:

e

3 2 1

4

32



Bài 79 Tham khảo khối A – 2007: I=

4 0

2x 1 dx



Bài 80 Tham khảo khối B – 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  

2

1

0 à

1





x x

y v y

x KQ: 1ln2 1

4 2



Bài 81 Tham khảo khối B – 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2

y x v y x KQ: 1

2 3

Bài 82 Tham khảo khối D – 2007: I=1  

2 0

x x 1

dx





2

Bài 83 Tham khảo khối D – 2007: I=

2 2 0

x cosxdx



2 2 4

Bài 84 CĐSPTW–2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y x 2 2;

6

Bài 85 CĐ GTVT – 2007 : I=

3 2

0

4cos x dx

1 sin x





Bài 86 CĐDL CNTT Tp.HCM – 2007: I=

7 3 0

x 2 dx

x 1





10

Bài 87 CĐ Khối A – 2007: I=

2007 1

2 1 3

1 1 1 dx

2008 2008

2008



Bài 88 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007 : I=e 2

1 xlnx dx

Bài 89 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007: I=4 2

1

x sinx dx



384 32 4

Bài 90 CĐ Khối B – 2007: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y x cos x  2 , x 0 ,

Bài 91 CĐ Khối D – 2007 : I=

0

2

x 1 dx





Bài 92 CĐ Thời Trang Tp.HCM–07: I=

3

2 2 1

dx

x x 1

3 12



Bài 93 CĐ Hàng hải – 2007: I=

3

3 2 1

x x 1dx

5

Bài 94 CĐ KTKT Thái Bình –07: I=0  

2x 1

x e x 1 dx



 

Bài 95 CĐ Công nghiệp Phúc Yên–07: I=

1 x 0

xe dx

Bài 96 ĐH, CĐ Khối A – 2008 I=

4 6

0cos 2

tg x dx x



ln 2 3

Bài 97 ĐH, CĐ Khối B – 2008 I=

4

0

sin

4 sin 2 2 1 sin cos

x dx

   

4



Bài 98 ĐH, CĐ Khối D – 2008 I=

2 3 1

ln x

dx x

16



Bài 99 CĐ Khối A, B, D – 2008: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol   2

2 (đvdt)

Bài 100 ĐH, CĐ Khối A – 2010: I=

1 2 x 2 x

x 0

x e 2x e

dx

1 2e



ln



II.Số Phức

1.Các phép toán đơn giản trên tập số phức

Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

a)     4 i  2 i  5 i ; b)   2 2

1 i  1 i ; c)   3 3

2 i  3 i ; d) 3 i 2 i

;

7 7



1 i ;

Bài 2 Cho số phức z  x iy x, y  Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức: 

;

iz 1



z z ; Bài 3 Bài tìm nghiệm phức của mỗi phương trình:

a)2 i 1 3i

2 i z i iz 0;

2i

  c)z 2z  2 4i;

2.Giải các phương trình trên tập số phức:

Bài 4 Giải các phương trình sau:

Bài 5 Giải các phương trình sau :

Bài 6 Giải phương trình : z+1

Bài 7 Giải các phương trình :

Bài 8 Tìm các số thực b, c để phương trình ( ẩn z) : z2+bz+c = 0 nhận số phức z0= 1+i làm nghiệm

Bài 9 Tìm các giá trị thực a, b, c để phương trình : z3+az2+bz+c = 0 Nhận z1=1+i và z2=2 làm nghiệm

Bài 10 Tìm các số thực a, b để có phân tích : 2z3-9z2+14z-5 = (2z-1)(z2-az+b)

Bài 11 Tìm các số thực a, b để có phân tích : z4-4z2-16z-16 = ( z2-2z-4) (z2+az+b)

Bài 12 Giải phương trình : z4-z3 +

2 2

z

z

Bài 13 Giải các phương trình sau : (z2

Bài 14 Tìm số thực a, b để có phân tích : f(z) =z4

Từ đó giải phương trình : f(z) = 0

Bài 15 Giải phương trình : a) z4-5z3+8z2-10z+12 = 0 b) z -iz = 1-2i

Bài 16 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : z 1

z i



3 1

z i

z i

Bài 17 Tìm số phức z thỏa mãn :

4

z i

z i

  

 

Bài 18 ĐH khối A 2010:

a) Cơ bản: Tìm phần thực phần ảo của số phức z:   2 

z  2 i 1 2i

b) Nâng cao: cho số phức z thỏa mãn :  3

1 3i

1 i





 Tìm môđun của số phức ziz

Bài 19 ĐH khối A 2009:

Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z2 + 2z +10 = 0 Tính giá trị của biểu thức A z12  z 22

Bài 20 ĐH khối D 2010: Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z2 là số thuần ảo