hệ thống bài tập tích phân đa dạng này sẽ giúp các bạn luyện tập và nâng cao trình độ của mình
Trang 1TÍCH PHÂN LAISAC biên soạn http://laisac.page.tl
A TÌM CÁC NGUYÊN HÀM
∫ x x−x x dx
4
9
3
2
; ∫x x(1+lnx)dx; ∫ −+ dx
x
x x
2 sin 2
sin cos
; ∫ dx
x x
x
4 ln
2 ln
; ∫sin2x dx−2sinx;
1 3
1
2 4
2
∫ − + + dx
x x x
B.ĐỔI BIẾN SỐ.Tính các tích phân: dx
x x
x
∫1 − + +
3 2
x x
x
∫1 −− +−
1
x x
x
∫1 − +
0 2
3
5 4
dx
x
x
∫1 −−
0 (2 1)3
2
5
; ∫1 +−
1
dx x
x
x
x x
∫2 −++
4
1
1
1
1
2
1 4
2
dx x
x
∫ +− ; dx
x
x
∫1 ++
4
1
1
; ∫1 − ;
0
6 3
5(1 x ) dx x
∫2
0
5
cos
π
xdx; ∫2
0
4
sin
π
xdx; ∫4
0 3
π
xdx
tg ; ∫2
4
sin
π
dx
; ∫2
4
cos
π
dx
; ∫4
0cos4
π
x
dx
; ∫4
0 cos3
π
x
dx
; ∫4
π
x tg
dx
; ∫π
0
5 cos 3 sin x xdx
∫
π
0
22 cos
sin x xdx; ∫2 +
01 cos
3 sin
π
dx x
x
cos sin
sin
2 0
3
π
dx x x
x
∫4 +−
0 2 sin2
sin cos
π
dx x
x x
x
x x
∫2 + +
sin 2 sin
π
;
dx x
x x
sin
3
2
sin
2
π
4
2
cos 1 cos
π
π
dx x x
tgx
;∫3
4
3
5 cos sin
π
dx
π
x x
dx
;∫6
0
3
2 cos
π
dx x
x tg
;
∫2 +
ln
dx
; ln∫2 −
0
1dx
0
2
1
2x
dx x
; ∫4 +
2
9
x x
dx x
; ∫2 +
0 x x2 1
dx
; ∫1 +
2
4
x
dx x
; ∫2 −
2
2
1 x
dx x
;
2
3
2 x x2 1
dx
; ∫2 −
3
2 x x2 1
dx
; ∫1 +
0
2
2) 3 1
dx
; ∫1 −
0
2
2 4 3x dx
0
3 3
3
cos sin
sin
π
dx x x
x
x
x x
∫ +
π
01 cos2
sin
cos
sin
0
2008xdx
x
x
∫
π
; ∫2 ++
01 cos2 sin
π
dx x
x x
; Ln(1 tgx)dx
4 0
+
∫
π
e
x
x
∫
+
π
2 cos 1
; ∫ x x dx
π
π2 1
4
;
0
2
cos
π
xdx
1
3
2
1
ln
e
dx
01
3) 1 ln( x dx
1
2
ln
∫2
0
2
cos
sin
π
xdx
x
π
e
e
dx x)
cos(ln e x dx
∫1 + 0
1
3 ;∫4 +
01 cos2
π
dx x
x
x
x x
∫3
6
2
cos sin
π
π
; ( )dx
x
x
∫3
6
2
cos
sin ln
π
π
;∫e +
e
dx x
x
1( 1)2 ln
dx
x
x
x
∫4
0
4
2
cos
2
sin
π
; ∫1 +
x
e
dx xe
; ∫3 +
ln
x
xdx x
; ∫1 ++
0
2
) 2 (
1 ln
dx x
x
; ∫2 +
01 sin2
π
x
xdx
; ∫
−
+ +
1 1
2
ln( x a x dx;
0
)
2 sin (
π
dx e x
cos 4
2 sin sin
dx x
x x
x
π
x
x x
e
e
∫ ++
2
cos 1
ln
x
x x
∫2 ++
0 1 cos
3 sin
π
dx x
tgx
x
x
∫4 + +
0
4
2
cos
1
cos
π
x x
x
e
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
1
2
ln ln 1
ln
0
2 4
3
3 cos 3 cos cos
π
dx x x
x
cos 1
sin 1
2 0
dx e x
x x
∫ ++
π
Trang 2;
∫1 + + + +
0
1
)
1
2
0
2 cos 2
⎠
⎞
⎜
⎝
π
; dx
x x
e
e
⎠
⎞
⎜
⎝
2
ln
1 ln
1
2
0
+
∫x t t dt ; ∫ =
+
dt t
e t
2
1 )
2 ( với x > 0
b
a
dx x f
b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x
(với c∈a;b ) để phá trị tuyệt đối.Hoặc:
a
b
a
dx x f dx x f
b
c
c
a
b
a
dx x f dx x f dx x
(c chính là nghiệm phương trình f(x) = 0)
Ví dụ 1 Tính I =∫3 x − x+ dx
0
Cách 1 I =∫ x − x+ dx =∫ (x − x+ )dx−∫ (x − x+ )dx+∫3(x − x+ dx
2 2 2
1 2 1
0 2 3
0
2 2 2
1 2 1
0 2 3
0
2
∫
∫
∫
I
0
2 cos
0
2 cos
π
π π
2
2 0 0
sin 2 sin
2 sin
Ví dụ 3.Tính diện tích S hình phẳnh (H) giới hạn bỡi
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−
=
−
=
) 3 ( 0
) 2 ( 2
) 1 ( 2
2
x
x y
x x y
HD.Hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và (2)là nghiệm x2 −2x =x−2⇒x =2
Hoành độ giao điểm của đồ thị (1) , (3) và (2) ,(3) là x = 0
Khi x∈[0;2]⇒đồ thị (1) trở thành y = -x2 + 2x
Vậy =∫ ( − − − ) =∫ − + + = ∫2(− + + ) =
0 2 2
0 2 2
0
x
Ví dụ 4 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bỡi :
⎩
⎨
⎧
= +
−
=
) 5 ( 0
2
) 4 ( 2 3 4
y
HD.Hoành độ giao điểm hai đường (4) và (5) là nghiệm :4x −3.2x +2=0⇒x =0;x=1
0
1
0
2 2 3 4 2
2 3