hi giải các bài toán hình học.. giải tích, Kae học sinh đôi khi quên chú ý đến dính chất hình học của nó, mà những tính chất đó giúp ta đơn giản trong việc.. trên các trục Ox, Öy, Óz nê
Trang 1
TRONG CAC BAI TOAN
NGUYEN VAN HIEN
(@V THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quỏng Tr)
LST Tit sé 361, tháng 7 năm 2007 chúng tôi đã bắt đầu đăng chuyên đề ôn tập theo các chủ
điểm Theo dõi đều đặn các bạn sẽ có một bộ tài liệu ôn thì bổ ích để tiến tới kì thi Quốc gia
THPT Xin giới thiệu tiếp chuyên đề số 2
hi giải các bài toán hình học giải tích,
Kae học sinh đôi khi quên chú ý
đến dính chất hình học của nó, mà
những tính chất đó giúp ta đơn giản trong việc
tính toán Nhiễu lúc nó còn giúp chúng ta định
hướng cách giải của bài toán Để giúp các bạn
ôn thi đại học có hiệu quả, chúng tôi xin đưa
ra một số thí dụ minh họa để khi gặp dạng đó
các bạn dễ nhận ra
Thí dụ 1 7rong không gian với hệ tọa độ
Descartes Oxyz cho các điểm A(3; 0; 0),
BO; 2; 0), C(O; 0; 1) Tìm tọa độ trực tâm H
của tam giác ABC (Đề tự ôn thi số 1, THTT
số 343, tháng I năm 2006)
Loi giải Vì các điểm 4, 8, C lần lượt nằm
trên các trục Ox, Öy, Óz nên tứ diện O4BC có
các góc phẳng ở đỉnh Ø đều vuông Vậy trực
tâm tam giác 48C là hình chiếu vuông gốc
của Ở lên mặt phẳng (45C)
Mật phẳng (448C) có phương trình nh
hay 2v + 3y + óc — 6 =0 a)
nên nó có vectơ pháp tuyến ÿ = (2; 3; 6)
Đường thẳng (2) qua Ø vuông góc với
x=2t y= te R,
z=6t thay vào PT (1) ta có 4 + 9 + 36: - 6 =0
mp(4BC) có PT tham số
ote Stay vào PT (4) ta có trực tâm tam
giác ABC là a(B, ma 49`49°49
Thí dụ 2 Trong không gian với hệ toa độ Descartes Oxyz cho các điểm Á(; 1: ])
B(; 1; -2), CŒ; 9; 1) Viết phương trình
chính tắc các đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A của tam giác ABC
Lời giải Ta biết đường chéo của hình thoi là phân giác của góc ở đỉnh hình thoi mà nó đi qua Vậy đường phân giác trong của góc 4 của tam giác 4C có vectơ chỉ phương là
3)
Do đồ đường phân giác trong của góc 4 có z-1 y1 z1
Đường phân giác ngoài của góc 4 của tam
giác ABC có vectơ chỉ phương là
Thí dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho các vectơ 8 = (2; 2; 1),
=(0; 3; 4), ñ: = (1; 0; 0) Lập phương trình đường thẳng (4) đi qua Ø có vectơ chỉ
phương v tạo với š\,ÿ;,š; các góc bằng nhau
Lời giải Một hình chóp có các cạnh bên bằng,
nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường
tron ngoại tiếp đầy, và khi đó các cạnh bên tạo
Trang 2
với đường cao đó các góc bằng nhau Nhận
thấy |5.8|=|3.82|=|I5.|=15
Vậy ta chọn các điểm 4, Z, C sao cho
= 5.8, OB=3.5;, ÓC =15.8, Suy ra
(10; 10; 5), BO; 9; 12), CCAS ; 05 0)
Khi đó đường thẳng (2) cần tìm là đường cao
của hình chớp O.ABC ha từ O (4) có veetơ chỉ
phương là ÿ =[ 4B; 4C ] = (75 ; -15 ; 105)
xyz
Đo đó (d) c6 PT ST
Thí dụ 4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường
thang (d) : xy + 1 = 0 và đường tròn (C)
x + y? + 2x — 4y = 0 Tim diém M thuge (4)
mà qua M kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc
với đường tròn (C) tại A4 và B sao cho
AMB
R=V3 Ta thấy 4MB
<9 AMI =30° <> MI = 2R = 2 V5 Vì tam giác
AMI vudng tai 4 Vậy ta cần tìm M trén (d)
sao cho IM= 25 Dat xy=1 thi M(f; t+ 1)
Khi dé IM = 25 > (+1)? +(¢- 1 = 20
oo P=9eot=43
Suy ra MG ; 4) hay M(-3 ; ~2)
ay Thí đụ 5 Cho hypebol (H) =>—¥>=1 v6
hai tiêu điểm là F, và F:, Chứng mình rằng
tiếp tuyển của (H) tại điểm M thuộc (H) là
phân giác của góc F,MF;
Lời giải Tiếp tuyến của (H) tại điểm MG; yọ)
thuộc (J7) có phương trình *%: + ey @
Tiếp tuyến này cắt trục Øx tại £0), mà
x Fi(-e 3 0); Frc ; 0) va MF, = e.xo +a; MF =
DR _ ater _ Mi
9N DI aren MF;
Suy ra MD li phan giác của géc F\MF;
ex) ~
Thí dụ 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
hai đường tròn (Cù: xỶ + (y =2)” =1 và
(C;): œ =6) + =4) =4
Tìm điểm A trên (Cì), điểm B trên (C) và
điển C trên truc Ox sao cho tổng AC + CB đạt giá trị nhỏ nhất
Loi giải (C)) là
đường tròn có
tâm £ (0; 2) bán kính 1 (C2)
là đường tròn tâm FG ; 4)
bán kính 2 Gọi
D là điểm đối
xứng của 4 qua
trục Óx thì AC+CB
= DC+CB
Gọi (C)) là
đường tròn đối xứng với đường tròn (C¡) qua
Ox thi D nim trén (C3), £°(0 ; -2) là tâm của (Cs) va dé thay ring DC + CB ngin nhat khi
và chỉ khi D và 8 là giao của đoạn £'F với (CG) va (C) DOE*F= (6 ; 6), nên đường
thing E'F c6 PT [: ‘
241,
Thay vào PT (C3), chú ý' x; > x;-, ta được
An N
thay vao PT (C3) , chil y x» < xe, thu được B(6=2 ;4-V2)
BÀI TẬP
i1 Cho parabol (P) có phương trình VỀ = 3px,
tiêu điểm E M là một điểm trên (P) Chứng minh
rằng tiếp tuyển của (P) tại M tạo với MF và với trục Ox những góc bằng nhau
Bài 2 Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(4 ; 2) tiếp xúc với trục Ox và tiếp xúc với đường thẳng (4) có phương trình y ~x = 0
Bài 3 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (4) có
phương trình 3 ~4y =12 = 0 cdt true Ox tai A
4) Viết phương trình đường tròn (C) di qua gắc
loa độ Ò và tiếp xúc với đường thẳng (4) tại A
4) Đường trên (C) cắt trục Oy tại B Tìm tọa độ điểm C trên (C) sao cho tam giác ABC cân.