Toán học Chủ đề 4: Một số dạng toán về chứng minh số phức26265

Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu... Ch ng minh r ng... Kh ng đ nh nào sau đây sai.

Trang 1

Ỏhuyên Đ S ớh c

Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu

Trang 2

M C L C

CH Đ 4 M T S D NG TOÁN V CH NG MINH S PH C 3

I CÁC VÍ D RÈN LUY ộ Kơ ộĂộỒ 3

II BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUAN 12

Trang 3

ỎH Đ 4 Ộ T S D ộỒ TOỦộ V ỎH ộỒ ỘIộH S ớH Ỏ

ớh ng pháp: Ta nh c l i m t s công th c c b n sau:

Cho s ph c z x yi, x,y     Lúc đó

 z x yi 

 z  x2y 2

z z.z Công th c này ch ng minh d dàng nh sau

2 2

z.z x yi x yi x y x y z

I ỎỦỎ VÍ D ờÈộ LUỤ ộ Kơ ộĂộỒ

Ví d 1. Ch ng minh r ng:

 

 

Áp d ng: Cho ba s ph c z ,z ,z1 2 3 đ u có môđun b ng 1 Ch ng minh

1 2 3 1 2 2 3 1 3

z z z z z z z z z

Gi i

Gi s : z1x1y i, z1 2 x2y i, x ,x , y , y2  1 2 1 2 

a) Ta có:

 

z x y i

và z2x2y i2

nên z1z2 x1x2  y1y i2

Mà z1z2 x1x2  y1y i2 z1z2x1x2  y1y i2

V y z1z2z1z2

b) Ta có:

z z x y i x y i x x y y x y x y i

M t khác:

z z x y i x y i x x y y x y x y i

z z1 2  x x1 2y y1 2  x y1 2x y i2 1

V y z z1 2 z z1 2

c) Ta c n ch ng minh b đ sau:   

 1   1

Vì z.1 1

z nên ta có         

1 1

Áp d ng b đ trên, ta có:

Trang 4

 



1 1

Áp d ng: Vì z z z1 2 3 1

nên

1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1

1 2 2 3 3 1

1 2 3

z z z z z z z z z z z z 1 1 1

z z z z z z

z z z

L u Ta có công th c t ng quát sau: Cho n s ph c z ,z , ,z1 2 n

b t k

Ta luôn có:

1 2 3 n 1 2 3 n

z z z z z z z z

Tr c h t ta ch ng minh: z1z2z3  zn z1z2z3  zn

Gi s : zk akb i, k 1,2,3, ,nk    và



n k 

k 1

z z a bi

Trong đó

 n k n k

a a , b b

Ta có:

  n kn k n k k  n k

Hay z1z2z3  zn z1z2z3  zn

Bây gi ta ch ng minh z z z z1 2 3 n z z z z1 2 3 n  * * b ng quy n p

V i n 2 : Gi s z1a1b i, z1 2 a2b i2

Ta có: z z1 2 a1b i1 a2b i2   a a1 2b b1 2  a b1 2a b i2 1

Suy ra: z z1 2a a1 2b b1 2  a b1 2 a b i2 1

M t khác: z z1 2a1b i1 a2b i2   a a1 2b b1 2  a b1 2a b i2 1

V y v i n 2 đ ng th c đúng

Gi s đúng v i n k, n 2    ta s ch ng minh h th đúng v i n k 1 

Th t v y:

Đ t z z z z 1 2 k , ta có: z z z z z 1 2 3 n z z z z1 2 3 k

V i hai s ph c z và zk 1 ta có: z.zk 1 z.zk 1 z z z z z1 2 3 k k 1

H th c cu i đ c ch ng minh v i n k 1. 

Ví d 2 Ch ng minh r ng:

a) z z1 2  z z1 2 ; b) 1  1

z z

Áp d ng: Tìm mô đun các s ph c sau:

Trang 5

 

x y i 2xy

x y 2xyi

x y 2i xy

xy 2 i x y

H ng d n gi i

a) Cách 1 Đ t z1x1y i, z1 2 x2y i, x ,x , y , y2  1 2 1 2 

Ta có:  2 2

và  2 2

T đó

 

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

x x y y x y y x 1

M t khác: z z1 2x1y i x1  2y i2   x x1 2y y1 2  x y1 2y x i1 2

Do đó

  2  2  2 2 2 2 2 2  2 2

T và ta suy ra đi u ph i ch ng minh

Cách 2 Vì z2 z.z nên

z z z z z z z z z z z z z z z z

Suy ra: z z1 2  z z1 2

b) Cách 1 Tr c h t ta ch ng minh b đ :  1  1  *

Th t v y: z.1 1 z 1  1 1  1

z z ,z

Áp d ng b đ trên ta có: 1    1   1  1 1

z

Cách 2

Vì z2  z2 nên 1  1 2  1 2  1 2  1 2  1 2  1

z z z z z z z

z z z z z

L u Không có công th c: V i m i s ph c z ,z1 2: z1z2  z1z2 Tuy nhiên ta có b t

đ ng th c sau: z1z2  z1  z2

Th t v y, g i u1 bi u di n z1 , u2bi u di n z2 thì u1u2 bi u di n z1z2

Ta có: z1z2  u1u2

* TH 1: Khi z z1 2 0 thì :

2

Do đó

Trang 6

    

* TH 2: Khi z z1 2 0thì rõ ràng z1z2  z1  z2

V y z1z2  z1  z , z ,z2  1 2

Áp d ng: Ta s áp d ng 1  1

z z

Ta cĩ:

 



2

x y 2xyi

u

x y

1

x y

T ng t :

2 2

Ví d 3 a) Ch ng minh: S ph c z là s th c khi và ch khi z z 

V n d ng: Cho hai s ph c z ,z1 2 đ u cĩ mođun b ng 1, z z1 2 1 Ch ng minh





1 1 22

z z

z

1 z z là s th c

b) Ch ng minh: S ph c z là s o khi và ch khi z z

V n d ng: Ch ng minh hai s ph c phân bi t z ,z1 2 th a z1  z2 khi và ch khi





1 2

z z

là s o

Gi i

Đ t z a bi, a,b    

a) Ta cĩ: z z  a bi a bi  2bi 0   b 0 z là s th c

V y, z là s th c khi và ch khi z z

V n d ng: Ta cĩ:

 2   

1

z t ng t ta cĩ 2 

2

1 z z

1 1 22 1 2 1 2 1 2 1 1 22

1 2

1 1

1 z z 1 z z 1 z z 1 . 1 z z

z z b) Ta cĩ:

z z a bi a bi 2a 0 a 0 z là số ảo.

Trang 7

V y, z là s o khi và ch khi z z

V n d ng: Ta có





1 2

z z

z z là s o

z z z z z z z z 0

Ví d 4. Cho s ph c z th a mãn 



2z 1

z 1 là s th c Ch ng minh r ng z là s th c

Gi i

Ta bi t r ng s ph c w là s th c w w. Do đó





2z 1

2z 1 2z 1 2z 1 2z 1

2z 1 z 1 2z 1 z 1

2zz 2z z 1 2zz 2z z 1 z z

 zlà s th c

Ví d 5 Cho n là s nguyên d ng ch ng minh r ng:

n

Gi i

a) Ta có

6 17i 3 28i

Suy ra:

3 2i 3 2i z

V y z là s th c

b) Ta có

n

13 6i

4 5i

3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 25

V y z là s th c

Ví d 6 Ch ng minh r ng

Trang 8

 

a) z z' z z' 2 z z' , z,z'

 1 22 1 2 2  1 2 2  1  2 2  1 2

c) V i m i s ph c 1 2 3

z ,z ,z

Ch ng minh r ng:

Gi i

a) Ta có:

VT z z' z z' z z' z z' z z' z z'

z z' z z' z z' z z'

z.z z.z' z' z z'.z' zz z.z' z' z z'.z'

2 z 2 z' 2 z z' VP

b) Ta có:

 

VT 1 z z z z 1 z z 1 z z z z z z

1 z z 1 z z z z z z

M t khác:

 

T và ta suy ra đi u ph i ch ng minh

c) Ta có

 

2

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

z z z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z 1

T ng t

 

2

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

 

2

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

Trang 9

 

2

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3

C ng (1), (2), (3), (4) v theo v ta đ c

Ví d 7 Ch ng minh r ng n u s ph c 3 

3

1

z thì z1 2.

z

Gi i

Ta có:

        

3

z z z , m t khác ta có: z1z2  z1  z2

Do đó

3

Đ t a  1z

z lúc đó ta đ c

a 2 3a a 2 a 1 0 a 2 hay z 2

z

Ví d 8 Ch ng minh r ng n u z 1 thì  



2z i

1

2 iz

Gi i

Gi s z a bi, a,b     theo gi thi t ta có a2b2  1 a2b21

Khi đó

2 2

2a 2b 1 i 4a 2b 1 2a 2b 1 i

2z i

Do đó

2 2

4a 2b 1 2z i

Ví d 9 Cho z1 và z2 là hai s ph c th a z12z2  2z1z 2 Ch ng minh r ng v i m i s

th c a, ta có: z1az2  az1z 2

Gi i

Gi s z1 p qi, z2 r si v i p,q,r,s  Khi đó

Trang 10

       

 

z 2z 2z z p 2r i q 2s 2p r i 2q s

p 4pr 4r q 4qs 4s 4p 4pr r 4q 4qs s

Ta có:

z az az z p ar i q as ap r i aq s

p ar q as ap r aq s

p 2apr a r q 2aqs a s a p 2apr r a q 2aqs s

đúng d n đ n đi u ph i ch ng minh

Ví d 10 Ch ng minh r ng v i m i s ph c z, có ít nh t 1 trong hai b t đ ng th c sau

x y ra z 1  1

2 ho c z2 1 1

H ng d n gi i

Gi s ta có đ ng th i  

  





  

 2

1

z 1

2 *

z 1 1

Đ t z a bi, a,b     Lúc đó







2

*

L y (1) c ng (2) v theo v ta đ c:

a2b22  2

2a 1 0 (vô lý) T đó ta đ c đi u ph i ch ng minh Ví d 10*. Cho

1 2 3

z ,z ,z là ba s th c phân bi t sao cho z1  z2  z3  r 0 Ch ng minh r ng: N u

1 2 3 2 3 1 3 1 2

z z z , z z z , z z z là các s th c thì r 1 và z z z1 2 3 1.

H ng d n gi i

Vì z ,z ,z1 2 3 là ba s th c phân bi t và z1  z2  z3  r 0nên

z , z , z , z z , z z , z z đ u khác không

và z z1 1z z2 2z z3 3r2

N u z z1 2 z , z z3 2 3 z , z z z1 3 1  2 là các s th c thì ta có

Trang 11

2 3 1 2 3 1 2 3 1

z z z z z z z z z

Do đó

2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3 3 3 1 2 1 2 3

r

z z z z z z z z z z z z z z z z z z r z r z z z z r z

t :

2

1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2

z z z z z z z z z

r

z z z z z r z z z r z z z r z

Áp d ng tính ch t c a t l th c a c a c

b d b d



 



Ta có:

2

r

z z z z z r z z z r z z z r z z z z r z r

T ng t :

3

z 1 z 1

z 1

  



Suy ra:

2

1 2 3

1

z z z r

z r





Trang 12

II ọÀI T ớ VÀ ỎỨU H I Tờ Ỏ ộỒHI Ộ KHỦỎH ỜUỌộ

Câu 1. Cho s ph c z x yi, x,y     

1.1. Ph n th c c a s ph c z b ng:

A z z B z z C 1 z z

2 D 1 z z

2

1.2. Ph n o c a s ph c z:

A 1  z z

2i B 1  z z

2i C 1 z z

2 D 1 z z

2

H ng d n gi i

Đ t z x yi, x,y      z x yi.

 



 



1

Từ đó

1

2i

V y ch n đáp án D và ọ

Câu 2. Cho s ph cz a bi, a,b     Kh ng đ nh nào sau đây đúng

A a z và b z B a z và b z

C a z và b z D a z và b z

H ng d n gi i

Ta cĩ





2

V y a z và b z

V y ch n đáp án Ọ

Câu 3 Cho z là s ph c th a mãn 



z 1

z 1 là s o Tìm kh ng đ nh đúng

H ng d n gi i

Ta cĩ:





z 1

z 1 là s o             

z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1

z 1 z 1 z 1 z 1 0

z 1 z 1 z 1 z 1 0 z.z 1 z 1 z 1

V y z 1. V y ch n đáp án B

Câu 4. Cho z ,z1 2 Kh ng đ nh nào sau đây sai

Trang 13

A z z1 2z z1 2là s th c B 2  2

z  z là s th c

C

 3

3

z z





là s o

D 2  2

1 z.z



 là s th c

H ng d n gi i

Đ nh h ng: Ta s d ng k t qu sau: z  z z và z là s o khi và ch khi z z

Ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

A) z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z

V y z z1 2z z1 2là s th c

B) 2  2 2 2 2  2

z  z z z z  z V y 2  2

z  z là s th c

C)

V y

 3 3

z z





là s o

D) 2    2 2 2 2  2

1 z.z 1 z.z 1 z.z

 2 2

1 z.z



 là s o V y đáp án D sai

V y ch n đáp án D

Câu 5 Cho s ph c z th a mãn 2z 1

z 2



 là s th c Kh ng đ nh nào sau đây sai

A z B z là s o C z z D z z

H ng d n gi i

2z 1

z 2



 là s th c

2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1 2z 1

2z.z 4z z 2 2z.z z 4z 2 5z 5z z z

V y z là s th c

V y ch n đáp án ọ

1

z z z z i z iz i z iz

A 1

2

z

B z z1 2 C z1z2 D z z1 2

H ng d n gi i

Ta có

Trang 14

   



1 2

z z z z i z iz i z iz

z z z z z z z z z z z z z z z z

iz z z z z z iz z iz z z z z z iz z

4z z

Suy ra:

1

4

V y ch n đáp án ọ

Câu 7 Ch n đ ng th c đúng trong các đ ng th c sau:

A z z1 212 z1z2 2 1 z121 z22

B z z1 212 z1z22  1 z121 z22

C  2  2  2  2

D b) z z1 212 z1z2 2 1 z121 z22

H ng d n gi i

Câu 8 Cho s ph c z th a đi u ki n 6z i 1

2 3iz

 

 Tìm kh ng đ nh đúng

A z 1 B z 3

C z 1

3



H ng d n gi i

Ta có: 6z i 1 6z i 2 3iz

2 3iz



       

2

6z i 2 3iz 6z i 6z i 2 3iz 2 3iz

V y ch n đáp án C

Câu 9 G i z là s ph c khác 0 sao cho z3 83 9.

z

  Tìm kh ng đ nh đúng

Trang 15

A z 2 3.

z

 

H ng d n gi i

Ta có:

             

3

z z z z

Do đó

3

3 3

3

3 3

Đ t a  1z

z lúc đó ta đ c:

a 6a 9 0 a 3 a 3a 3 0 a 3

Câu 10 Cho a,b,c,d  th a  n

a bi  c di Tìm kh ng đ nh đúng

A 2 2  2 2n

a b 2 c d B a2b2c2d2

C a2b2 2 cn 2d2 D 2 2  2 2n

a b  c d

H ng d n gi i

Gi s : c di r cos    isin v i r c2d2  1

Theo đ :

c di r cosn isinn   a bi r  a b 2

r c d r  c d

T (2) rn  a2b2 r2n a2b2

V y 2 2  2 2n

a b  c d

V y ch n đáp án D

Câu 11* Cho s ph c z th a mãn đi u ki n 11z1010iz910iz 11 0.  Tìm kh ng đ nh đúng

z 3



Trang 16

H ng d n gi i

Ta có 11z1010iz910iz 11 0  z 11z 10i9  11 10iz.



9 11 10iz

z

11z 10i (*)

Đ t z x iy  v i x,y T (*) suy ra:



9

10 x y 11 220y f x, y

11 10iz

z

11z 10i 11 x y 10 220y g x, y

Xét các tr ng h p:

 N u z 1 thì 2 2 

x y 1 nên:

g x, y 11 x y 10 220y 10 x y 21 x y 10 220y

10 x y 11 220y f x, y

Do đó z9   1 z 1 (mâu thu n)

 N u z 1 thì 2 2 

x y 1 nên:

g x, y 11 x y 10 220y 10 x y 21 x y 10 220y

10 x y 11 220y f x, y

Suy ra z9  1 z 1 (mâu thu n)

 N u z 1 thì g x,y   f x,y (th a mãn)

V y z 1 V y ch n đáp án ọ

Cách 2 Casio nhanh ch ng b ng cách th tr c ti p

Trang 17

Đ s d ng file word, quý th y cẫ vui lòng đóng góp chềt kinh phí đ t o đ ng l c cho tác gi

ra đ i nh ng chuyên đ khác hay h n

T ng:

đ phát cho h c sinh}

2017

có đáp án và l i gi i chi ti t) Đ 64-68}

T ng:

2017

T ng:

2017

T ng:

2017

{37 Trang}

T ng:

gia 2017

T ng:

Trang 18

 file đ bài {không l i gi i, dùng

gia 2017

T ng:

2017

T ng:

gia 2017

T ng:

2017

D NG VÀ V N DUNG CAO

T ng:

gia 2017

H ng d n thanh toán

Quý th y cô thanh toán cho mình qua ngân hàng Sau khi chuy n kho n, mình s l p t c g i tài

li u cho quý th y cô

N u trong ngày mà th y cô ch a nh n đ c thì vui lòng g i đi n tr c ti p cho mình

Th y c SĐT

NGÂN HÀNG

S TÀI KHO N 4010205025243 0161000381524 55110000232924

Trang 19

N i dung: H và tên_email_ma tai li u

Ví d : Nguy n Th B_nguyenthib@gmail.com_HHKG_TTKC

L u

bán l i ho c chia s cho ng i khác

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	795,32 KB