Một số vấn đề về bất đẳng thức trung bình số học hình học và áp dụng

Bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học AM-GM là một hệ thức cơ bản của toán học.. Euclid - “Vị cha đẻ của hình học” đã sử dụng ý tưởng từphương pháp hình học để chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY

NHƠN

Bình Đinh - 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Bình Đinh - 2020

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS ĐINH THANH ĐỨC

Mục lục

• •

MỞ đầu

1 Trung bình số học - Trung bình hình học 4 1.1 Các giá trị trung bình cơ bản 4

1.1.1 Giá trị trung bình thông thường 4

1.1.2 Giá trị trung bình trọng số 6

1.2 Một số khái niệm cơ bản về hàm lồi 7

1.3 Bất đẳng thức AM- GM và các bài toán liên quan 8

1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM 8

1.3.2 Ý nghĩa hình học của AM-GM 10

1.3.3 Sử dụng AM-GM để chứng minh các bất đẳng thức cơ bản 11 1.4 Một số kết quả làm chặt bất đẳng thức AM-GM 14

- X 2 S 2 Một số áp dụng của bât đăng thức trung bình số học- trung bình hình học 18 2.1 Một số kĩ thuật trong sử dụng AM-GM 18

2.1.1 Kỹ thuật cân bằng hệ số 18

2.1.2 Kỹ thuật AM-GM ngược dấu 39

2.2 Áp dụng vào tìm Giá trị lốn nhất - Giá trị nhỏ nhất 47

2.3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM để giải phương trình, hệ phương trình 58

2.4 Bất đẳng thức AM-GM trong các bài toán đa thức 66

2.5 Bất đẳng thức AM-GM trong các bài toán hình học, lượng giác 70

2.6 Áp dụng của bất đẳng thức AM-GM vào giải quyết các bài toán thực tế 79

KET LUẬN 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYET ĐỊNH GIAO Đ Ề TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

Bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học (AM-GM) là một hệ thức

cơ bản của toán học Nó được sử dụng cho việc giải nhiều bài toán và tạo ra nhiều

hệ thức khác quan trọng trong toán học

Bất đẳng thức AM-GM được coi là bất đẳng thức nguyên thủy thứ hai sau bấtđẳng thức tam giác Euclid - “Vị cha đẻ của hình học” đã sử dụng ý tưởng từphương pháp hình học để chứng minh bất đẳng thức AM-GM tổng quát vối n = 2.Vào thời kì cận đại, Cauchy được xem như người đầu tiên phát hiện và đưa ra phépchứng minh hay và độc đáo cho bất đẳng thức AM-GM tổng quát dựa trên phép quynạp Toán học Nhưng có lẽ một điều ít người biết là thực tế trưốc đó vào năm 1729,

C Maclaurin (1698-1746), nhà toán học người Scotland đã chứng minh được bấtđẳng thức này, tuy nhiên ông không chú trọng về việc đặt tên các bất đẳng thức tổngquát mà mình chứng minh được nên thế giối nhắc đến Cauchy nhiều hơn khi nói tốibất đẳng thức AM-GM

Tại các trường phổ thông ở Việt Nam, mặc dù bất đẳng thức này đã được đưavào giảng dạy từ rất sốm vối tên gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) nhưng thờilượng cho các dạng bất đẳng thức không nhiều, thầy cô không chú trọng tối việc chohọc sinh nắm các kĩ thuật giải cơ bản, không đưa ra các dạng bài và cách giải tổngquát mà lại dành phần lốn thời gian cho việc làm các bài tập cụ thể Vì vậy phầnđông học sinh trong đó có nhiều em khá giỏi vẫn cảm thấy lo lắng mỗi khi đối mặtvối các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức AM-GM vì trưốc đó các em chưatừng giải bài tập giống vậy Trong các kì thi tuyển sinh 10, tuyển học sinh giỏi, các

kì thi Olympic thì việc giải đa phần các bài toán bất đẳng thức, bài toán về giá trịlốn nhất, giá trị nhỏ nhất, sẽ rất khó khăn nếu không có công cụ mạnh mẽ là bấtđẳng thức AM-GM Thậm chí trong cuộc sống cũng có rất nhiều ứng dụng của bấtđẳng thức này, ví dụ như việc xây một ngôi nhà sao cho diện tích nền là lốn nhất,không gian rộng nhất, Từ những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài “Một số vấn đề

về bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học và áp dụng” cho luận văncủa mình

Luận văn này tìm hiểu và nghiên cứu về bất đẳng thức trung bình số học - trungbình hình học từ đó định hình phương án dạy và học theo định hưống

sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu quả quá trìnhdạy và học Luận văn trình bày trong 87 trang, gồm: Lời nói đầu, 2 chương, Kếtluận và Tài liệu tham khảo Nội dung chính của luận văn được trình bày trong haichương.

Chương 1: Trung bình số học - Trung bình hình học Trong chương này, chúng

tôi tập trung trình bày một số kết quả về Bất đẳng thức AM-GM là một số kết quả

liên quan Các kết quả trong chương này được trình bày dựa vào [7], [9], [8],

Chương 2: Áp dụng của bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học.

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kĩ thuật quan trọng trong việc sửdụng AM-GM: Kỹ thuật cân bằng hệ số, Kỹ thuật AM-GM ngược dấu; và cùng vối

đó là việc vận dụng bất đẳng thức AM - GM vào giải các bài toán đại số, hình học,

số học, tổ hợp, Các kết quả chương này được trình bày dựa vào [10], [8], [11] Luận văn được hoàn thành dưối sự hưống dẫn khoa học của Thầy PGS.TS ĐinhThanh Đức Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy đã tậntình giúp đỡ, hưống dẫn và động viên tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn,các Phòng chức năng, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê đã tạođiều kiện cho chúng tôi hoàn thành khóa học này Và tôi cũng xin chân thành cảm

ơn quý thầy cô đã tham gia giảng dạy các bạn học viên cao học Toán khóa 21

Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên bên cạnhnhững kết quả đã đạt được, luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếusót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý thẳng thắn và chân thành của quý thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Ngày 29 tháng 7 năm 2020

Học viên thực hiện

Trương Minh Nhật

Chương 1

Trung bình so học - Trung bình hình học

Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày một số kết quả về: Các dạng

trung bình cơ bản, một số khái niệm cơ bản và tính chất về hàm lồi, Bất đẳng thức

AM-GM và sử dụng AM-GM như một công cụ để chứng minh một số bất đẳng

thức cơ bản Các kết quả trong chương này được trình bày dựa vào [7],[9], [8],

1.1 Các giá trị trung bình cơ bản

Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm trung bình cơ bản Các kếtquả trong chương này được trình bày dựa vào [3], [5], [8]

1.1.1 Giá trị trung bình thông thường

Trong mục này, chúng ta tập trung xem xét các khái niệm trung bình của haihoặc nhiều số không âm Vối hai số không âm a , b ta kí hiệu

cho nên + 2 = 1/1 + 2 \ 3 a + 2 b + c Trong các tài liệu Việt Nam,

người ta thường quen gọi "The Geometric Mean" là trung bình nhân.

H =

là trung bình điều hòa của hai số dương a , b.

Tổng quát, vối n số thực dương cho trưốc a 1 , a 2 , ,a n, ta định nghĩa trung bình số học, trung bình hình học, trung bình toàn phương,trung bình điều hòa

4 Tính thuần nhất A n (Ảa) — ẢAn ( a ).

5 Tính nội bộ min a < A n ( a ) < max a, trong đó min a — min { a i , , a n } và

max a — max { a 1 , , a n } Dấu bằngxảy rakhi a làhằngsố.

6 Tính đơn điệu a < b A n ( a ) < A n ( b ) Dẩu đẳng thức xảy ra khi a — b.

7 Tính phản xạ Neu a là hằng số, có nghĩa là ai — a với mọi i E {1,2, , n }, khi

4 Tính nội bộ min a < A n ( a ) < max a, trong đó min a = min { a i , , a n } và

max a = max { a i , , a n } Dấu bằngxảy rakhi a làhằngsố.

5 Tính đơn điệu a < b A n ( a ) < A n( b ) Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

6 Tính phản xạ Neu a là hằng số, có nghĩa là a i = a với mọi i E {1,2, , n } , khi

đó A n (a ) = a .

7 Tính đối xứng A n ( a i , , a n ) không đoi nếu hoán vị thứ tự vị trí các phần tử

của a.

Kết quả dưối đây, cho ta mối quan hệ giữa các đại lượng trung bình

Định lý 1.1 Cho n số thực dương ai , a 2 , , a n với n A 2 Ta có

Rõ ràng, trung bình trọng số trở thành trung bình thông thường khi P i = i vối mọii E

(a) Kí hiệu b- i = (b - i , , b - i) Khi đó,

-i\ / An (a; w) _ v / ,_i\

G n ( ab ; w ) = G n ( a ; w ) • G n ( b ; w )

( G n ( a ; w ) ) r = G n ( a r; w ) , N r e R.

1.2 Một số khái niệm cơ bản về hàm lồi

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản của hàm lồi Các kết quả trong phần này được trình bày dựa vào

Đe thuận lợi trong việc diễn giải, chúng ta quy ưốc rằng, kí hiệu I = I( a , b ) là một trong bốn tập hợp sau ( a , b ), [ a , b ], ( a , b ], [ a , b )

Định nghĩa 1.1 [8][Hàm lồi] Hàm số f : I —> R được gọi là hàm lồi trong I nếu vối

mọi cặp số thực dương a , ộ thỏa mãn a + ộ = 1, ta luôn có

Định nghĩa 1.2 [8][Hàm lõm] Hàm số f : I —> R được gọi là hàm lõm trong I nếu

vối mọi cặp số thực dương a , ộ thỏa mãn a + ộ = 1, ta luôn có

f (ax + ộ y ) > a f (x) + ộ f ( y \

vối mọi x, y thuộc I Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y

Ví dụ 1.2.2.

• Hàm số y = x r, vối r E (0;1), là hàm lõm trên (0; + ^ );

• Hàm số y = log a x, vối a E (0; + ^ ) \ { 1 }, là hàm lõm trên (0; + ^ )

Từ định nghĩa hàm lồi, lõm ta có các kết quả sau

Mệnh đề 1.5 [8] Nếu hàm số f ( x ) khả vi trên I thì f ( x ) là hàm lồi trên I khi và chỉ khi f f

( x ) là hàm đơn điệu tăng trên I.

Kết quả dưối đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ đề hàm số lồi (lõm, tươngứng)

Định lý 1.2 [8] Nếu hàm số f ( x ) khả vi trên I thì f ( x ) là hàm lồi trên I khi và chỉ khi f ( x )

Dấu bằng xảy ra khi - = b

Chứng minh bất đẳng thức này khá đơn giản, thông qua việc bình phương hai vếcủa (1.4), ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vối

( - + b ) 2 > 4 -b

Rõ ràng, bất đẳng thức (1.5) đúng vối mọi - , b > 0 Do đó, (1.4) đúng Dấu bằng xảy

ra khi - = b Một cách tổng quát, chúng ta có kết quả sau, thường được biết đến vối

tên gọi Bất đẳng thức AM-GM hoặc Bất đẳng thức Cauchy.

Định lý 1.3 [7][Bất đẳng thức AM-GM] Với n số thực dương—1 , — 2 , , — n ta luôn có

— 1 + — 2 + • • • + — n > n n — 1 — 2 • • • — n (1.6)

Có nhiều các để chứng minh bất đẳng thức trên, khoảng hơn 50 cách ở đây,

chúng tôi trình bày cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy Để

hoàn thành chứng minh bằng quy nạp kiểu Cauchy, chúng ta cần thực hiện các bưốcsau

• Bưốc cơ sở, kiểm tra P 2đúng

• Neu P nđúng thì P 2nđúng

• Neu P nđúng thì P 2n — i đúng vối P nlà mệnh dề cần chứng minh Chứng minh. Đặt

Định lý 1.4 [10][Bất đẳng thức AM-GM có trọng số] Cho n số thực không âm a i , a 2 , , a n

và X i , x 2 , , x n là các số thực dương thỏa X i + x 2 + • • • + x n — i Khi đó

x i a i + x 2 a 2 + • • • + x n a n > a X • a X • • • a X n

1.3.2 Ý nghĩa hình học của AM-GM

Giả sử ta có một tập các hình chữ nhật có độ dài các cạnh là x , y. Vì chu vi và diện tích của hình chữ nhật lần lượt được xác định bởi

S = x • y ; p = 2 (x + y ,

nên ta có các kết quả sau

Mệnh đề 1.6 (a) Trong số tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông là hình

có diện tích lớn nhất.

nhất.

diện tích của hình chữ nhật lần lượt được xác định bởi

1.3.3 Sử dung AM-GM để chứng minh các bất đẳng thức cơ bản

Trọng mục này, chúng tôi trình bày việc sử dụng AM-GM để chứng minh một sốbất đẳng thức cổ điển Các kết quả ở đây, được trình bày dựa vào [3], [10]

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho hai bộ số thực tùy ý a1 , a 2 , , a n và

b 1 , b 2 , , b n với n > 1 Khi đó,

( a 1 b 1 + ữ ị b ị + • • • + ữ n b n) 2 < ^ữ2 + a 2 + • • • + (b1 + b ị + • • • + bQ (1.7)

Dấu "-’xảy ra khiá 1 = á ị b1 bị b n

Chứng minh. Vối mỗi i = 1, ị, , n,

ị,n , , a

m,1 ; am,ị ; ; am

m” tn b W ‘ < 1 j

=1 i =1Tới đây, áp dụng Bất đẳng thức AM-GM suy rộng, ta nhận được

Dấu " =" xảy ra a = 0 hoặc x = 0

Trường hợp 1: a E Q+ Trong trường hợp này, vì a > 1 nên chúng ta chỉ có hai khảnăng

> t na w

(1.8)

a j , ị

với i = 1,2, , n và b ị

• Neu a = 1 thì (1.9) hiển nhiên đúng

• Neu a > 1 thì a = — vối m ( m , n ) = 1, m > n > 1 Khi đó ta có n

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Trường hợp 2: a E [1; + ro ) \ Q Khi đó vì Q là tập trù mật trong R nên tồn tại dãy sốhữu tỷ ( a n) ro= 1 , a n > 1 mà lim a n = a . Theo kết quả Trường hợp 1, ta có

x >ro

(1 + x ) n > 1 + a n X , V n E N.

chuyển qua giối hạn ta có

lim (1 + x ) a n > lim (1 + a n x ) n^- ro n-> rohay (1 + x ) a > 1 + a x Như vậy BĐT (1.9) được chứng minh trọn vẹn □

Chứng minh b). Vối 0 < a < 1 tùy ý Ta xem xét hai trường hợp

Trường hợp 1: a E Q+ Trong trường hợp này, vì 0 < a < 1 nên chúng ta chỉ có hai khảnăng

• Nếu a = 0 thì (1.10) hiển nhiên đúng

Nếu a E (0; 1) thì a = — vối ( m , n ) = 1, n > m > 1 Khi đó ta có n

Dấu ” =" xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Trường hợp 2: a E [0; 1) \ Q Khi đó vì Q là tập trù mật trong R nên tồn tại dãy số hữu

tỷ ( a n) JJ= 1 , a n > 1 mà lim a n = a . Theo kết quả Trường hợp 1, ta có

(1.13)

Chứng minh. Do vai trò của các số hạng là như nhau, nên ta chỉ cần chứng minh

Từ đây ta thu được

vối mọi t > 1, trong đó h ( t ) = n (t n — t 2k —n ) — 2 ( n — k ) ( t n — 1).

Vì h ( t ) = n (2 k — n ) (t n — 1 — t 2k — n — > 0 vối mọi t > 1 nên h ( t ) là hàm đơn điệu tăng trên

[1; + TO). Điều này kéo theo h ( t ) > h (1) = 0 hay f ( t ) > 0 Do đó, f ( t ) là hàm đơn điệutăng Điều này dẫn tối f ( t ) > f (1) = 0 vối mọi t > 1 □

Vasile Cirtoaje đã đưa ra kết quả tổng quát của Mệnh đê 1.8 như sau:

Mệnh đê 1.9 ([7]) Cho n số thực a1 > a 2 • • • a n > 0, n > 3 Với số nguyên k, j thỏa mãn 1 <

k < j < n và k + j > n, ta luôn có

2 k ( n — j + 1)

n + k — j + 1

a 1 + a 2 + • • • + a n — na 1 a 2 • • • a n >

Chương 2

Một so áp dụng của bất đẳng thức trung bình so học- trung bình hình học

Trong chương này, chúng tôi trình bày hai kĩ thuật quan trọng trong việc sửdụng AM-GM là: Kĩ thuật cân bằng hệ số, Kĩ thuật AM-GM ngược dấu; cùng vối

đó là việc vận dụng bất đẳng thức AM - GM vào giải các bài toán đại số, hình học,

số học, tổ hợp, Các kết quả chương này được trình bày dựa vào [10], [8], [11]

2.1 Một so kĩ thuật trong sử dụng AM-GM

Trong mục này, chúng tôi tập trung trình bày hai kĩ thuật quan trọng trong việc

sử dụng AM-GM, đó là: Kĩ thuật cân bằng hệ số, Kĩ thuật AM-GM ngược dấu