Tài liệu TOÁN CAO CẤP ( A1)- BÀI GIẢNG ppt

∀a,b∈R+,a+b∈R+,ab∈R+ Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập con X không rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R và mọi tập con không rỗng X của R

BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP (A1)

Biên soạn: TS VŨ GIA TÊ

Ths ĐỖ PHI NGA

CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

n

m ∈Q trong đó ƯSCLN(m, n)=1 thì m2=2n2 ⇒m=2p và 4p2=2n2⇒n=2q Điều này vô

lí vì lúc này m, n có ước chung là 2 Chứng tỏ 2∉Q Những số xuất hiện và được dùng thường xuyên trong giải tích như e, πcũng không phải là số hữu tỉ

và kiểm tra lại sự thoả mãn tiên đề đó Chúng ta coi đó là các tính chất của tập hợp R

Tính chất 1: Tập R là một truờng giao hoán với hai phép cộng và nhân: (R, + , )

c b c a b a R c

,

,,

,

3 ∀a,b∈R+,a+b∈R+,ab∈R+

Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây:

Mọi tập con X không rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R và mọi tập con không rỗng X của R bị chặn dưới trong R đều có một cận dưới đúng thuộc R

Cho X R và a∈R ⊂

Gọi a là cận trên của X trong R nếu x≤ ,a ∀x∈X

Gọi a là cận dưới của X trong R nếu x≥ ,a ∀x∈X

Gọi X bị chặn trên trong R(bị chặn dưới) khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một cận trên (cận dưới) của X trong R

Gọi số nhỏ nhất trong các cận trên của X trong R là cận trên đúng của X trong R, kí hiệu

số đó là M* hay SupX (đọc là Suprémum của X)

Gọi số lớn nhất trong các cận dưới của X trong R là cận dưới đúng của X trong R, kí hiệu

số đó là m* hay InfX (đọc là Infimum của X)

Nếu M*∈X thì nói rằng M* là phần tử lớn nhất của X, kí hiệu M*=SupX=MaxX

Nếu m*∈X thì nói rằng m* là phần tử nhỏ nhất của X, kí hiệu m*=InfX= MinX

Gọi X là bị chặn trong R khi và chỉ khi X bị chặn trên và bị chặn dưới trong R

Chú ý:

1 Tập R\Q không ổn định đối với phép cộng và phép nhân, chẳng hạn

± 2∈R \ Q nhưng

Q R

Q R

\2.2

\)2(2

∉

∉

−+

2 ∀x∈R\Q,∀y∈Q,x+y∈R\Q

Q R x

Q R xy

\1

3

dễ dàng chứng minh 6∉Q (tưong tự như chứng minh 2∉Q) Theo chú ý trên suy ra q+1=0

và q2+1=0 Điều này là mâu thuẫn Vậy q∉Q

Ví dụ 2: Tìm các cận dưới đúng và cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập

2

1

N n u N

n n

8

12

11

2

13

112

12

1

4

30

2

12

1

1

1 2 1 2 1

2 1 2

2 2 2

−

≤

−

⇒+

=

+ +

+ +

u

u p

p u

u u p

u

p p

p p

p p

Ví dụ 3: Cho A, B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên

a Chứng minh Sup (A∪ )=Max(Sup(A), Sup(B)) B

b Gọi A+B={x∈R,∃(a,b)∈A×B,x=a+b}, chứng minh

Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B)

Giải:

a Kí hiệu α =SupA,β =SupB,γ =Max(α,β) Vậy tập hợp các cận trên của

A∪ chính là X=B {x, x≥α và x≥β}hay X={x,x≥γ}Vậy γ =Sup(A∪B)

b

SupB b

B

b

SupA a

b a B A b

2,

B b

SupA a

A a

)(

,

* SupA SupB Sup A B

M

SupB SupA

b a B A b a

+

=+

=

∃

⇒

−+

>

++

∈+

∃

1.1.2 Tập số thực mở rộng

Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu là − và ∞ +∞ Tập số thực mở rộng

kí hiệu là R và R=R∪{−∞,+∞}, các phép toán + và , quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau:

1 ∀x∈R

−∞

=+

=+∞

+

x x

x x

)()(

)()(

++∞

)()(

)()(

=+∞

x x

x x

)()(

)()(

=+∞

x x

x x

)()(

)()(

4

−∞

=+∞

+∞

))(

())(

(

))(

())(

(

5 ∀x∈R

+∞

≤

∞+

Cho a,b∈R và a≤b Trong R có chín loại khoảng sau đây:

[ ]a,b ={x∈R;a≤x≤b} được gọi là đoạn hay khoảng đóng bị chặn

(a b] {x R a x b

b x a R x b

;,

được gọi là khoảng nửa đóng hoặc nửa mở

b x a R x b

a

a x R x a

x a R x a

;,

;,

;,

;,

;,

} }

được gọi là các khoảng mở

Các số thực a,b gọi là các mút của khoảng

1.1.4 Giá trị tuyệt đối của số thực

A Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực x, kí hiệu x là một số thực không âm xác định như sau

x khi x

n

i i

n

i i n

x x R x

x x

R x x x x N

n

y x xy R

,,,,

,,

1 1

3 2 1

*

K

4

x x R

∈

∀

n i i n

i i

x x x N

n

y x y x R y

x

1 1

2 1

,,

y x y x y

x Max R y

x

−

−+

=

−++

2

1),(,,

7 ∀x,y∈R, x − y ≤ x− y

1.1.5 Khoảng cách thông thường trong R

A Định nghĩa: Khoảng cách trong R là ánh xạ

( )x y x y

R R R d

−

→

×a,:

Đó là hình ảnh trực quan về khoảng cách giữa 2 điểm x và y trên đường thẳng trục số thực R

1.2 SỐ PHỨC

)

Chúng ta đã biết rằng trong trường số thực R không thể phân tích thành thừa số tam thức

thức này thành dạng

c bx

ax2 + +

04

Gọi x là phần thực của z, kí hiệu Rez =x

y là phần ảo của z, kí hiệu là Imz =y

Gọi môđun của z,kí hiệu z xác định bởi số thực không âm

1 z =x+iy gọi là dạng chính tắc hay dạng đại số của số phức z

2 z =r ( cos θ + i sin θ ) gọi là dạng lượng giác của số phức z

B Biểu diễn hình học của các số phức

Xét mặt phẳng 0xy với hệ toạ độ trực chuẩn

Ánh xạ đặt mỗi số phức z=x+iy ứng với điểm M có toạ độ (x,y) trên mặt phẳng 0xy.Vậy

M∈0 , − 1

∀ ϕ )gọi là toạ vị của M, đó là số phức z∈C Ngoài ra cũng được gọi

là véctơ biểu diễn số phức z Như vậy

→

OMz

Trên mặt phẳng phức 0xy nhận thấy:

Trục 0x biểu diễn các số thực z= x∈R, trục này gọi là trục thực,còn trục 0y biểu diễn các

số phức z = iy, y∈ gọi là các số ảo thuần tuý,người ta gọi trục 0y là trục ảo R

=+

∈

∀

'

' '

' 4

'

,,

y y

x x iy

x iy x R

y x y

z z z z z z

z z z z

=

⇔

=

−+

=

−

Từ các phép toán trên, nhận được các tính chất dưới đây:

1.∀z∈C,z= z

z z z z C

i i

n

i i

n

i i n

z z

z z

C z z z N n

1 1

1 1

2 1

G Phép luỹ thừa, công thức Moavrờ ( Moivre)

Cho z=r(cosθ+isinθ ), ∀k∈Z

Gọi z k là luỹ thừa bậc k của z Bằng qui nạp, dễ chứng minh được

z k =r k(coskθ +isinkθ ) (1.1) Gọi (1.1) là công thức Moivre

H Phép khai căn bậc n của z∈C*

Cho n∈N*,z =r(cosθ +isinθ ) Gọi ς∈C* là căn bậc n của z, kí hiệu n z ,xác định như sau: ςn = z

=

π θ

ρ

k n

n

k

r n θ π θ π

(1.2) sẽ là : , *, 0,1,2, , 1

2 1

N n e

r

k i n n

π θ

πω

1 , 0

n k

k

N n

ω

ω ω

ω

d Các số phức ωkbiểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn lượng giác và một trong các đỉnh là điểm có toạ vị bằng 1 Đa giác này nhận 0x làm trục đối xứng, chẳng hạn với n=2, n=3, n=4, biểu diễn hình học các sốωkcho trên hình 1.2

y y y

2

32

1

i

−

−n=2 n=3 n=4 h.1.2

Ví dụ 1: Hãy tìm tất cả các ánh xạ f : → C C sao cho:

R i

z

i z z

C C f

khi ) 1 ( 1

, khi

khi

1 :

α β

β α α

1

1

1θ

2 , 3 ,

2

π θ

) 12

5 cos(

2 4

z = trong đó z1 = 3 − i , z2 = 1 + i

4 ,

2

6 ,

2

2 2

2 2

1 1

1 1

π θ

π θ

r

Argz z

r

5 )

4 6 (

2 2

π π

π

i i

e e

−

=

3 2

2 3

Argz

z r i z

3

2 sin 3

2 (cos

1 ) 3

5 sin 3

5 (cos 2

) 3 ( 8

1 ) 6

7 sin 6

7 (cos 2

) 3 1 ( 8

1 ) 3

2 sin 3

2 (cos 2

) 3 ( 8

1 ) 6

sin 6 (cos 2

4 4

3

4 4

2

4 4

1

4 4

0

i i

i i

i i

i i

−

= +

=

+

−

= +

=

+

−

= +

=

+

= +

=

π π

ξ

π π

ξ

π π

ξ

π π

) 1 (

i

i z

2

4 ,

2

2 2

2

1 1

1

π θ

π θ

Argz z

1 50

200 ,

2 200 2 200

200

Argz z

Ví dụ 4: Chứng minh rằng ∀z∈C thì

1

11

2 ≥+

≥+

⎢

⎣

⎡

z z

2

11

2

z z

04

32204

320

4

32

0)(

2)(

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2 2 2

<

++

<

−++

x x x

y x

y x x

y

x

y x y

x

02

12

31

c

b c

1,aa

a

b Arg a

c

b c Arg

b

a Arg a c

b c Arg

k b

a a c

b c Arg

b

a a c

b c a

b b

a c a

c b b

a a c

b c b

a a c

b c

21

02

0

.1

111

11

2

2 2

2 2

Ví dụ 6: Cho a∈Rhãy tính căn bậc 4 trong tập C của số phức:

z =8a2−(1+a2)2 +4a(1+a2)i

Giải:

Nhận xét [ 2 ]2

)1(

)1()1(2

1)

1(2

)1()1(2

1)

1(2

i a a

i a a

i a a

i a a

Suy ra các giá trị của 4 z sẽ là:

2

2,

)1()1(2

⇔+

=

04sin

cos24cos

cos2)4sin4

(cos3

3 4

θ

θ θ

ς

θ θ

θ

z z z

θ

πθ

cos2

0cos

204

θ

ππ

θ

cos2

0cos

24

3

12

Lấy 6

1

24

5sin4

5cos2

)1(24

3sin4

3(cos22

3

1 6

1 4

3

1 6

1 3

3 1 2

i i

z

i i

z z

ππ

1.2.3* Áp dụng số phức vào lượng giác

A Khai triển cosnθ,sinnθ,tgnθ

Cho θ ∈R,n∈N*.Áp dụng công thức Moivre và công thức nhị thức Newton

=

−

=+

=

k

k k k n k n n

i C

i n

i n

0

sin.cossin

cossin

θ θ

θ θ θ

θ

3 3 3 1

1

2 2 2

sincos

sincos

sin

sincos

coscos

n n

n n

n n n

C C

n

C n

Sau khi thay sin2θ =1−cos2θ vào các công thức trên sẽ có:

1 cosnθ biểu diễn dưới dạng một đa thức của cosθ , gọi đó là công thức Chebyshev loại 1

2 sinnθ bằng tích của sinθvới một đa thức của cosθ, gọi là đa thức Chebyshev loại 2

3

L

L

−+

θ θ

θ θ θ

θ θ

θ

1cos

coscos

sincos

sin

tg C tg C

tg C tg C n

n n

n tgn

n n

n n

n n

B Tuyến tính hoá cospθ,sinpθ,cospθ.sinqθ

ω ω ω ω

θ ω

1sin

2

1cos

2,

i

e N

p

Vậy

p p

sin2

Sử dụng công thức nhị thức Newton và xét các trường hợp sau đây:

=

++

+

−+

=

++

) 1 2 ( 2

2

1 2

1 2

2 2

2 2 2 1 2 2

2 2

2

)(2cos2

12

cos

2cos2

`)1(2cos2

2cos2

11

cos2

m k

k m

m m m

m

m m

m m m

m m m

m m m

m m

m

k m C

C

C C

m C

m

C C

θ θ

θ θ

θ

ω

ω ω

ω θ

−

−

=

−++

−

−

=

−++

2 2

) 1 2 ( 2

2

1 2

2 2

2 2 2 1 2 2

2 2

2

)(2cos)

1(2

)1(12

sin

)1()

1(2cos2

2cos2

)1(1

1sin

)1(2

m k

k m k m

m

m m m

m

m m

m m

m m

m m

m m m

m m

m m

k m C

C

C m

C m

C C

θ θ

θ θ

ω

ω ω

ω θ

LL

+ +

+

−

− +

+ +

+ +

−+

=

++

−+

k m m m

m m m

m m m

m m

m m

m m

k m

C

C m

C m

C C

0 2 1

2 1

2

1 2

1 1 2

1 2 1

2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1

2 1

2

)212cos(

2cos

cos2

)12cos(

2)12cos(

2

11

1cos

2

θ θ

θ θ

θ

ω

ω ω

ω ω

ω θ

θ

ω

ω ω

ω θ

)212sin(

)1(12sin

sin)

1(2)

12sin(

.2)12sin(

2

11

sin)1(

2

1 2 0

2 1

2

1 2

1 1 2

1 2 2

1 1 2 1 2 1 2 1

2 1

2

k m

C

C i

m C

i m

i

C i

k m m

k

k m

m m

m m

m m

m

m m m

m m

m m

−+

−

−

=

−++

−

−+

+ +

−

− +

+ +

+ +

∑

LL

Để tuyến tính hoá cosp θ sinq θ trước hết tuyến tính hoá từng thừa số , sau đó thực hiện phép nhân rồi cùng tuyến tính hoá các số hạng thu được

θ

θ q

p ,sincos

k n n

k

C

0 0

)sin(

),cos(

Giải:

=

= + =

=

k

k ib ia n

k

kb a i n

C

0 0

.2

1sin.2

sin22

1sin21

2

2 ) 1 ( 1

b

b n e

b i e

b

n i e

e e

e e iS C

nb a i b

i

b n i ia ib

n ib ia n n

2sin2

1sin2sin,

2sin2

1sin2

cos

b

b

n nb a S

b

b

n nb a

12

1sin

n k n

k k

k k

n k

n k

n k

n k

n

k

cos.1sin

)1sin(

.2

12

12

cos.2

121

)2cos1(.2

1sinsin

sin

0

0 0

2 0

1cos

.1sin

)1sin(

≤

+

n n

nên

1sin2

12

1sin

hay đơn giản nhất,kí hiệu (un)

Với n=n0∈Nxác định, gọi là số phần tử thứ n

0

n

phụ thuộc vào n gọi là phần tử tổng quát của dãy, chẳng hạn cho các dãy sau đây:

n n

11,

1,

B Sự hôi tụ, sự phân kì của dãy số

1 Dãy (un) hội tụ về a∈R nếu

2 Dãy (un) hội tụ nếu có số a∈R để u n a

5 Dãy (un) nhận -∞ làm giới hạn nếu

1 Nói rằng (un) bị chặn trên bởi số A∈ nếu R ∀n∈N,u n ≤ A

2 Nói rằng (un) bị chặn dưới bởi số B∈ nếu R ∀n∈N,u n ≥B

3 Nói rằng (un) là dãy bị chặn nếu tồn tại M ∈ R+ sao cho ∀n∈N,u n ≤M

1.3.2 Tính chất của dãy hội tụ

A Tính duy nhất của giới hạn

Định lí: Dãy (un) hội tụ về a thì a là duy nhất

Chứng minh: Giả sử lim a1,lim a2,a1 a2

1 1

2

a u n n

a u n n N

n n

n n

B Tính bị chặn

1 Dãy (un) hội tụ thì bị chặn trong R

2 Dãy (un) tiến đến +∞ thì bị chặn dưới

3 Dãy (un) tiến đến -∞ thì bị chặn trên

2 Mọi dãy không bị chặn sẽ phân kỳ

3 Một dãy tiến tới +∞ thì không bị chặn trên, điều ngược lại không đúng, chẳng hạn:

4 u a u n a

n n

n n

u b

v a u

n

n n n

n n

∞

→lim

2 Vì ta có u n −0 = u n = u n−0

3

2:

λ

λλ

5 ∃M ∈R+ sao cho ∀n∈N,v n ≤M

εε

εε

u v u

M u

n n n

n n n n

n

1

1,

b v

b b v n n N

n ∈ ∀ > ⇒ n − < ⇒ n >

∃

b b v

b v b

n n

2,

0

2 2

2

b b v n n N

n

110

Ta thấy

n

n n

n

v

u v

= ,theo 6 ta nhận được

b

a v

u a a l l u n n n

n n

n n

1 1

a u n n

n

n

2 1

k n

n u

1

*

2 ,lim

lim

Giải:

1lim1limlim

1

11

,

1 2

2 2

=+

≥

=+

=+

≤+

n n

n

n n

k n

n n

k

n k n

u w

v

w n

n n n

n u

v n

n n

n k

n

n u

1 0

lim

a khi

a khi

a khi

an

n

⇒+∞

=

+

≥

=+

n

n i

i i n n

n

a nh

nh

nh h

C h

a

lim)

1(lim)

(

lim

11

n n

n

a a

a a

Với a=0 rõ ràng an = 0,∀ ⇒lim =0

∞

→

n n

n a n

∞

→

n n

=

=

1 0

0

11

1

11

1

k

n k

n k n

n k

k n

k n

n n

n n

a n a

C a

a C a

a a

⇒∀n∈N* thì 0≤ −1≤ −1= ⇒lim =1

∞

→

n n n

h C

k

k k n

n

−

≥

−++

n n

1

2

1

lim2

α α

a n

a n

a n

n

n n

n

lim

1

Áp dụng nguyên lí kẹp dễ dàng thấy được kết quả vẫn đúng ∀α∈R

Người ta nói rằng hàm mũ tăng nhanh hơn hàm luỹ thừa

2

.1

n

a n

a a a n

a n

a n

a a a n

a

n n

n

n

ε

Người ta nói rằng giai thừa tăng nhanh hơn hàm số mũ

1.3.3 Tính đơn điệu của dãy số

A Dãy đơn điệu

1 Dãy (un) tăng nếu ∀n∈N,u n ≤u n+1,

Dãy (un) tăng ngặt nếu ∀n∈N,u n <u n+1

2 Dãy (un) giảm néu ∀n∈N,u n ≥u n+1,

Dãy (un) giảm ngặt nếu ∀n∈N,u n >u n+1

3 Dãy (un ) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm

Dãy (un ) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt

Định lí 1:

1 Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

2 Mọi dãy giảm và chặn dưới thì hội tụ

1 Dãy (un) tăng và không bị chặn trên thì dần đến +∞

2 Dãy (un) giảm và không bị chặn dưới thì dần đến − ∞

u n

2 Nếu (un) tăng và hội tụ đến l thì l =Sup(u n,n∈N) và ∀n∈N ⇒u n ≤l

3 Nếu (un) tăng thì dãy bị chặn dưới bởi u0.

=

n k n

k n

0)22)(

12(

11

122

112

11

≤+

≤

>

++

=+

−+

++

=

−+

n n u

n n

n n

n u u

n

n n

Vậy (un) tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ

Ví dụ 8: Tìm giới hạn của dãy số cho dưới dạng ẩn sau:

2

5

1 1

x x

n n n

Giải: Trước hết dùng qui nạp chứng minh xn > 0 ∀ n

5(2

1

1 1

Chứng tỏ dãy ( xn) đơn điệu giảm

Kết hợp hai kết quả trên ta có lim = ≥ 5

2

5 lim lim

n

x x

Từ đó ta có

a

a a

2

5 + 2

Giải phương trình đối với nhận được a a = 5

Ví dụ 9: Cho 2 dãy (un),(vn) thoả mãn

u u

n n

n n

u u n n N n

n n

n n

1

1 0

,

Lấy p,n∈N sao cho p >n > n0 sẽ có:

n n n

n n

n

v v lv

u lv u

v v lv

u lv

+

1 1

1

1 1

(wn) giảm và hội tụ về 0⇒ w n ≥0 ∀n hay un ≤ vn

Chứng tỏ (un) tăng và bị chặn trên bởi v0, (vn) giảm và bị chặn dưới bởi u0

Suy ra limu l1,limv n l2

n n

+

−

−++

−

−+

−++

n n

k n

n k n

n n

n n n

n n

n n n n

n n n

n n

n n

11

11

!

11

1

21

11

!

11

1

!2

111

1

2.1

)1) (

1(1

3.2.1

)2)(

1(12.1

)1(11

1

LL

LL

L

Suy ra

)11

()1

11()!

1(

1)1

11()1

11(

!

1)

1

11(

!2

1111

−+++

−++

n

n n

n n

n n

n n

11

12

12

!

1

!3

1

!2

12

Gọi giới hạn của (en) là số e, rõ ràng e > 0.Sau đây dùng số e làm cơ số của logarit

1

'

n n e

!

1lim

1(

1

!

1)!

1)(

1(

1)!

1(1

!

1)!

1)(

1(

1'

' 1 1

++

−

=

−++

++

=

−+++

n n

n n n

n e e v

!

12

!1

' 0

* '

q q q

a q

p q

a v e e

N a q

a q k

e

q q

q k q

!

1)

21)(

11(

!3

1)

11(

!2

12

n

k n

k n

n n

−

−++

−

−+

−+

1

!2

1

k

e≥ + + +L+ =Như vậy e≥e n' >e n Theo định lí kẹp suy ra e n' ⎯n⎯ →→⎯∞ e

Hệ quả: (Định lí về các đoạn lồng nhau)

Cho hai dãy (an), (bn) thoả mãn :∀n∈N,a n ≤b n,[a n+1,b n+1] [⊂ a n,b n] và

0)

Cho (un),từ các số hạng của nó lập một dãy mới (u n k)với n1 < n2 < < nk <

Gọi (u n k) là một dãy con của (un).Chẳng hạn:

(u2n) và (u2n+1) là các dãy con của (un)

( )u n2 là các dãy con của (un)

(u n2−n) không phải là dãy con của (un) vì số hạng u0 xuất hiện 2 lần ứng với n=0,n=1

Định lí : Nếu (un) hội tụ về a∈R thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về a

Chứng minh:

∀ε >0,∃n0,∀n>n0 ⇒ u n−a <ε

Vì n k →∞ khi k →∞, nên ∃k0,∀k >k0 :n k >n0 ⇒ u n −a <ε suy ra limu n =a

Hệ quả: Để (un) hội tụ đến điều kiện cần và đủ là hai dãy con (ul 2n) và (u2n+1) đều hội đến l

Định lí: (Định lí Bônzanô – Vâyơxtrase), (Bolzano -Weierstrass): Từ mọi dãy (un) bị chặn đều có thể lấy ra một dãy con hội tụ

Chứng minh: Dùng phương pháp chia đôi

Ta sẽ xây dựng bằng qui nạp hai dãy thực (an), (bn) kề nhau và một dãy con

vô hạn Do đó tồn tại (an+1,bn+1)∈R2 sao cho a n+1 ≤b n+1 Tập {u n [a n b n ]k N}

k ∈ +1, +1, ∈ là

2

1)(

2

1

0 0 1 1

N n

120

0

20

1 2

2 2

→+

n u

n

n u

CHƯƠNG II: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

2.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

X gọi là tập xác định của , f f (X) gọi là tập giá trị của Đôi khi ký hiệu f

y = f(x), x∈X x gọi là đối số, y gọi là hàm số

3 Nói rằng (x) đơn điệu nếu nó tăng hoặc giảm f

Nói rằng (x) đơn điệu ngặt nếu nó tăng ngặt hoặc giảm ngặt f

E Hàm số bị chặn

1 Hàm số (x) bị chặn trên trong X nếu tồn tại số A sao cho:

f A x

F Hàm số hợp

Cho : f X → R và g: Y → R với f(X)⊂Y gọi ánh xạ

))((

:0

x f g x

R X f g

a

→

Hay y = g( (x)) là hàm số hợp của hai hàm và g f f

Định lí:

Nếu f,g:X → R bị chặn trên thì +f g cũng bị chặn trên và

Sup(f(x) g(x)) Sup f(x) Sup g(x)

X X

X

+

≤+

1 Nếu f,g:X → R bị chặn trên và không âm thì f g bị chặn trên và

Sup(f(x).g(x)) Sup f(x).Sup g(x)

X X

+

≤

Theo hệ quả suy ra Sup(f(x) g(x)) Sup f(x) Sup g(x)

X X

Tương tự như trên

3 Coi λ như hàm hằng Ap dụng 2 sẽ có Sup f(x) Sup f(x)

X X

(

)()

(

)(

1))(

1(

x f Sup x

f

x f Sup x

f Sup

x f Sup x

f Sup

X X

X X

X X

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

4 Giả sử f (x)bị chặn dưới, đặt m Inf f(x) f(x) x X, f(x) m

( Inf ))

( ( )

( ))

( ( )

(

X f x Sup f x x

f Sup x

f x

f Sup x

f

X X

ya = −

Thông thường đối số kí hiệu là x, hàm số kí hiệu là y, vậy hàm ngược của y = f (x)là hàm số Vì thế trên cùng mặt phẳng toạ độ 0xy, đồ thị của hai hàm số và là đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ I và III

)(1

x f

Ví dụ 1: Cho f,g:R → R thoả mãn ∀x,y∈R, (f(x)− f(y))(g(x)−g(y))=0

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai hàm số là hằng số

0))()())(

()((:

x g a g x f b f

x g a g x f a f R x

Trừ từng vế và để ý đến g(a)=g(b) suy ra:

(f(a)− f(b))(g(a)−g(x))=0⇒ g(x)=g(a)

Ví dụ 2: Tìm hàm f (x) trên R sao cho x.f(x)+ f(1−x)= x3+1 ∀x∈R

Giải: Giả sử tồn tại f (x),thay x bởi 1-x vào hệ thức đã cho:

(1−x).f(1−x)+ f(x)=2−3x+3x2−x3

Suy ra (x2 −x+1)f(x)=(x2 −x+1)2

⇒ f(x)= x2 −x+1

Kiển tra f(x)= x2−x+1 thoả mãn

Ví dụ 3: Cho f(x)= x vầ g(x)= 1−x trong [0,1] Kiểm tra tính ngặt của bất đẳng thức:

) ( )

( ))

( ) ( (

1 , 0 1

, 0 1

, 0

1 , 0 1

, 0 1

, 0

x g Sup x f Sup x

g x f Sup

x g Sup x

f Sup x

g x f Sup

=

=

1 , 0 1

, 0 1

, 0 1

, 0 1

()((

;1)()

R

Nếu α >0, coi rằng Pα(0)=0 Nếu α =0, coi rằng P0(0)=1

Đồ thị của Pα(x) cho bởi h.2.1

Xét Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là , là ánh xạ từ R vào , xác định như

}{

\

* +

a x a R

\

* +

∈ R

y

a x x a y

R R y

y x

y x

xy

a a

a

a a

a

logg

lolog

loglog

E Các hàm số lượng giác ngược

1 Hàm arcsin là ánh xạ ngược của sin: [ ]1,1

1,

• ∀x∈[ ]−1,1,sin(arcsinx)=x

• f(x)=arcsin(sinx) là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2π và cho dưới dạng:

π

,2

2,0)

(

x x

x x

x f

nÕu

nÕu

Đồ thị của y=arcsinx cho trên hình 2.4

cos π

Vậy

2arcsin

=

x

3 Hàm actang là ánh xạ ngược của ,

2

,2

R arctg

R g arc

Vậy ta có x R y y arccotgx x cotgy

2,0