Tài Liệu Toán Cao Cấp B1_Đại Số năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung

Kí hi u là dimV.

Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x

T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn

g i là h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên

đ c t ch c h c và đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn

Bài t p hoàn toàn đ c t p trung d n vào cu i ch ng ho c chuyên đ ch

không theo bài (các bu i h c) Các bài t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c

t p c a Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c

nên k t qu h c t p các môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c

chuyên ngành n m th 3, th 4 (ho c th 5)

Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k

bài t p t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và

cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c

các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo các phân đo n đ n v ki n th c tu n t

đ các em d dàng theo dõi Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b

ch ng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

T i b c Ph thông, các em h c m t ch ng trình Toán duy nh t còn đ i v i

Toán Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng

kh i ngành h c trong Tr ng

 i v i các kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,

ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán A g m có 4 h c ph n riêng

bi t v i đ ng link chính cho Toán A (http://moon.vn/Pro/7/212):

o Toán A1: i s tuy n tính

o Toán A2: Gi i tích 1

o Toán A3: Gi i tích 2

o Toán A4: Gi i tích 3

 i v i các kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao

C p đ c h c là Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính

cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213):

o Toán B1: i s tuy n tính

o Toán B2: Gi i tích

 i v i các kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t

ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán C

g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C

(http://moon.vn/Pro/7/214):

o Toán C1: i s tuy n tính

o Toán C2: Gi i tích

T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đã đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho

t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng

nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán

A, Toán B và Toán C i kèm lý thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p

đ c t ng h p t các thi gi a và cu i H c k các n m g n đây c a các kh i

ngành:

 Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bài t p

đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i

đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu l m đ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng

và v n d ng sáng t o !

M C L C

M C L C 5

Ch ng 1: Ma tr n, đ nh th c và h ph ng trình tuy n tính 7

1.1.Ma tr n 7

1.1.1 nh ngh a: 7

1.1.2.Các khái ni m khác: 7

1.1.3.Các phép toán trên ma tr n 9

1.1.4 Ma tr n đ i x ng và ma tr n ph n x ng .12

1.1.5.H ng c a ma tr n .12

1.1.6.Ma tr n ngh ch đ o .13

1.1.7 a th c ma tr n .15

1.2 nh th c .16

1.2.1 nh th c c p 2 .16

1.2.2 nh th c c p 3 .16

1I.2.3 nh th c c p n .16

1.2.4.Các tính ch t c a đ nh th c .17

1.3.H ph ng trình tuy n tính .18

1.3.1.Ph ng pháp Cramer: 18

1.3.2.Ph ng pháp Gauss .19

Ch ng 2: Không gian vecto .21

2.1 Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p 21

2.1.1.Không gian vecto .21

2.1.2 Không gian vecto con .22

2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p 22

2.2 c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính .22

2.2.1.T h p tuy n tính .22

2.2.2 c l p tuy n tính .23

2.2.3.Ph thu c tuy n tính .23

2.2.4.Các tính ch t .23

2.2.5 nh lý .23

2.3.C s , s chi u c a m t không gian vecto .24

2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto .24

2.3.2 nh lý .25

2.4.T a đ và ma tr n chuy n c s 25

2.4.1.T a đ c a vecto trong c s 25

2.4.2.Ma tr n chuy n c s 26

2.4.3 nh lý ma tr n chuy n c s 26

2.4.4.Công th c đ i t a đ 26

Ch ng 3: D ng song tuy n tính, d ng toàn ph ng 28

3.1.Ánh x song tuy n tính, d ng song tuy n tính .28

3.2.D ng toàn ph ng .28

3.2.1 nh ngh a .28

3.2.2.Phân lo i d ng toàn ph ng .29

3.2.3.D ng chính t c c a d ng toàn ph ng .29

3.2.4 a d ng toàn ph ng v d ng chính t c .29

Ch ng 4: B sung v s ph c .33

4.1.D ng đ i s c a s ph c .33

4.2.D ng l ng giác c a s ph c .34

4.3.D ng m c a s ph c .35

4.4.Nâng s ph c lên l y th a .35

4.5 nh lý c b n c a đ i s 35

4.6 M t s ví d .35

ij mx1

m1

bb

7 Ma tr n b c thang:

Ma tr n b c thang là ma tr n b c thang có ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng trên

n m v bên trái so v i ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng d i

(ii) A  B B A (tính giao hoán) (iii) A   0 0 A A

-Lo i 1 : i ch hai dòng cho nhau, kí hi u: d i d j

A A' -Lo i 2: Bi n dòng i thành c l n dòng i c0 , kí hi u: d i cd i

Ng i ta ch ng minh đ c k t qu sau: Cho A là ma tr n kh ngh ch, khi đó

nh ng phép bi n đ i s c p trên dòng nào bi n A thành In thì chúng c ng bi n In (theo

th t đó) thành 1

A 

T đó ta có ph ng pháp tìm ma tr n ngh ch đ o nh sau:

A g i là m t nghi m ma tr n c u đa th c p x  n u đa th c ma tr n p A 0

(ma tr n không cùng c p v i A)

3) T m t dòng (m t c t) ta c ng vào m t dòng khác (c t khác) sau khi nhân m t

s c0 thì đ nh th c không đ i, t c là d i d i cd j

A  A' khi đó det A'=detA.

4) Ta có th đ a thùa s chung c0 ra ngoài đ nh th c, t c là d i cd i

khi đó det A'cdet A.

5) Cho hai ma tr n vuông A, B khi đó det(AB)det A.det B.

H (3.1) có nghi m khi và ch khi r(A)r(A | B) H n n a:

(i) r(A)r(A | B)n : h có nghi m duy nh t

(ii) r(A)r(A | B)n : h có vô s nghi m

(iii) r(A)r(A | B) : h vô nghi m

C h ng 2: Không gian vecto

2.1 Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p

2.1.1.Không gian vecto

đ nh ngh a hai phép toán c ng (+) và nhân vô h ng (.) trên V th a 10 tiên đ sau:

2.1.2 Không gian vecto con

không gian con c a V n u W c ng là không gian vecto trên R v i các phép toán c ng và nhân nh trên V

Kí hi u: WV.

nh lý sau cho ta đi u ki n c n và đ đ t p W là không gian con c a V: Cho V

là không gian vecto trên R và  WV. W là không gian con c a V khi và ch khi

2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p

Cho V là không gian vecto trên R và u , ,u1 nV. G i S là t p t t c các t

h p tuy n tính c a u , ,u1 n Khi đó S là m t không gian con c a V, ta nói S là không

gian con c a V sinh b i u , ,u1 n. Ký hi u là S u , ,u1 n

Quy c   0 N u S V thì ta nói S sinh ra V hay S là t p sinh c a V

2 2 c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính

2.2.1.T h p tuy n tính

Cho V là không gian vecto trên và các vecto u, u , ,u1 nV. Ta nói u là t

h p tuy n tính c a h vecto u , ,u1 n khi và ch khi t n t i  1, 2, , n sao cho

1 1 n n

u u    u

Ta c ng nói u bi u th tuy n tính đ c qua h vecto u , ,u1 n

1) M i h ch a vecto 0 đ u ph thu c tuy n tính

2) M i h ch a m t h con ph thu c tuy n tính thì ph thu c tuy n tính

3) T p h p Su , ,u1 n là ph thu c tuy n tính khi  ui S sao cho ui là t h p tuy n tính c a các vecto cfon l i trong S

4) M i h con c a h đ c l p tuy n tính thì đ c l p tuy n tính

5) T p h p Su , ,u1 n là đ c l p tuy n tính n u m i ui không là t h p tuy n tính c a các vecto còn l i trong S

6) T p h p  S V ho c là t p đ c l p tuy n tính ho c ph thu c tuy n tính

Khi đó u , ,u1 n là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank A m.

Khi m = n thì u , ,u1 n là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank A  n det A0.

Ví d : Cho các vecto u1  2,1, 1,1 , u  2   1, 1, 1,2 , u 3   1,0, 2,1   Khi đó ta

2.3 C s , s chi u c a m t không gian vecto

2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto

Cho V là không gian vecto V T p   B V đ c g i là c s c a V n u B đ c

l p tuy n tính và sinh ra V

Khi đó s vecto c a B đ c g i là s chi u c a V Kí hi u là dimV

Ví d : Trong không gian vecto 3, h vecto B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1      đ c

l p tuy n tính đ ng th i B sinh ra V nên B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1     là c s c a 3

và đ c g i là c s chính t c c a 3

.

N u Bu ,u , ,u1 2 n là c s đ c s p c u không gian vecto V trên R và

uV Khi đó ta có m i vecto uV đ u đ c vi t duy nh t d i d ng

1 1 2 2 n n

u u   u    u

Kí hi u là  

1 2 B

2.4.2.Ma tr n chuy n c s

Gi s Bu , ,u1 n và B'u ', ,u '1 n  là hai c s đ c s p c a không gian vecto V Ma tr n P    u '1 B u '2 B u ' n B đ c g i là ma tr n chuy n c s t B sang B’ và ta kí hi u là P B B'

Cho A, B, C là các c s đ c s p c a không gian vecto V có s chi u n Khi đó:

(i) Ma tr n chuy n c s t A sang B là duy nh t

(ii) P A AIn (iii)   1  

P AB  P BA (iv) P A B P B  CP A C

Ví d : Trong 3 cho hai c s Bu11,1,1 , u 2 1,1,2 , u 3 1,2,3  và

C h ng 3: D ng song tuy n tính, d ng toƠn ph ng

3.1.Ánh x song tuy n tính, d ng song tuy n tính

Gi s L, M, N là các không gian vecto trên tr ng s K

*Nh n xét: M t d ng toàn ph ng có th có nhi u d ng chính t c Tuy nhiên các

d ng chính t c này đ u có đi m chúng là s các h s d ng và âm là b t bi n

  v i 0   2

D ng l ng giác c a s ph c z a bi là zr cos  isin

Nhân hai s ph c d ng l ng giác: modun nhân v i nhau và argument c ng l i

Chia hai s ph c d ng l ng giác: modun chia cho nhau và argument tr ra

z  z z

2 2

R b) t

Ta th y các đi m n m trong hình tròn (1) và trên elip (2) và tung đ các đi m n m

trên elip luôn th a mãn đi u ki n

Ví d 9: Vi t s ph c sau d i d ng đ i s :  

 

9 5

31

iz

iz