Tài Liệu Toán Cao Cấp A1_Đại Số năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung

Ch ng 2 Không gian vecto... Kí hi u là dimV... Khi đó dimKerf dimImf dimV... Nói cách khác:... C h ng 4: Giá tr riêng và vecto riêng... Ph ng pháp tìm giá tr riêng vecto riêng.

T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn

Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k bài t p t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và

cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c

i h c, m t s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách làm bài t p và trình b y b c i h c

Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p

c n s m v i ki n và k n ng làm bài t p t t Hy v ng v i s chu n b s m và t t, các em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b

các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo các phân đo n đ n v ki n th c tu n t

đ các em d dàng theo dõi Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b

ch ng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

T i b c Ph thông, các em h c m t ch ng trình Toán duy nh t còn đ i v i Toán Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng

kh i ngành h c trong Tr ng

 i v i các kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,

ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán A g m có 4 h c ph n riêng

bi t v i đ ng link chính cho Toán A (http://moon.vn/Pro/7/212):

o Toán A1: i s tuy n tính

o Toán A2: Gi i tích 1

o Toán A3: Gi i tích 2

o Toán A4: Gi i tích 3

 i v i các kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao

C p đ c h c là Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213):

o Toán B1: i s tuy n tính

o Toán B2: Gi i tích

 i v i các kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t

ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán C

g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C (http://moon.vn/Pro/7/214):

o Toán C1: i s tuy n tính

o Toán C2: Gi i tích

T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đã đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho

t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng

nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán

A, Toán B và Toán C i kèm lý thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p

đ c t ng h p t các thi gi a và cu i H c k các n m g n đây c a các kh i

đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i

đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu l m đ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng

và v n d ng sáng t o !

M C L C

M C L C 5

Ch ng 1: Ma tr n, đ nh th c và h ph ng trình tuy n tính 8

1.1.Ma tr n 8

1.1.1 nh ngh a: 8

1.1.2.Các khái ni m khác: 8

1.1.3.Các phép toán trên ma tr n .10

1.1.4 Ma tr n đ i x ng và ma tr n ph n x ng .13

1.1.5.H ng c a ma tr n .13

1.1.6.Ma tr n ngh ch đ o .14

1.1.7 a th c ma tr n .17

1.2 nh th c .17

1.2.1 nh th c c p 2 .17

1.2.2 nh th c c p 3 .17

1.2.3 nh th c c p n .18

1.2.4.Các tính ch t c a đ nh th c .19

1.3.H ph ng trình tuy n tính .19

1.3.1.Ph ng pháp Cramer: 19

1.3.2.Ph ng pháp Gauss .21

Ch ng 2 Không gian vecto .22

2.1 Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p 22

2.1.1.Không gian vecto .22

2.1.2 Không gian vecto con .23

2.2.1.T h p tuy n tính .23

2.2.2 c l p tuy n tính .24

2.2.3.Ph thu c tuy n tính .24

2.2.4.Các tính ch t .24

2.2.5 nh lý .24

2.3.C s , s chi u c a m t không gian vecto .25

2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto .25

2.3.2 nh lý .26

2.4.T a đ và ma tr n chuy n c s 26

2.4.1.T a đ c a vecto trong c s 26

2.4.2.Ma tr n chuy n c s 27

2.4.3 nh lý ma tr n chuy n c s 27

2.4.4.Công th c đ i t a đ 27

Ch ng 3: Ánh x tuy n tính .29

3.1.Ánh x tuy n tính .29

3.1.1 nh ngh a .29

3.1.2.Các tính ch t c b n c a ánh x tuy n tính .29

3.2.Nhân và nh c a ánh x tuy n tính .29

3.2.1.Các đ nh ngh a .29

3.2.2.Tìm c s cho Imf và Kerf .30

3.2.3.M i liên h gi a s chi u c a h t nhân và nh .31

3.3.Ma tr n c a ánh x tuy n tính .32

3.4.Toán t tuy n tính .33

3.4.1 nh ngh a: 33

3.4.2.C ng và nhân các toán t tuy n tính .34

Ch ng 4: Giá tr riêng và vecto riêng .35

4.2.Giá tr riêng, vecto riêng .35

4.3.Chéo hóa ma tr n .36

Ch ng 5: D ng song tuy n tính, d ng toàn ph ng, tích vô h ng và không gian Euclid .38

5.1.Ánh x song tuy n tính, d ng song tuy n tính .38

5.2.D ng toàn ph ng .38

5.2.1 nh ngh a .38

5.2.2.Phân lo i d ng toàn ph ng .39

5.2.3.D ng chính t c c a d ng toàn ph ng .39

5.2.4 a d ng toàn ph ng v d ng chính t c .39

5.3.Tích vô h ng và không gian Euclid .42

5.3.1 nh ngh a .42

5.3.2.Tr c giao, tr c chu n .43

5.3.3.Thu t toán tr c giao hóa m t h vecto đ c l p tuy n tính .44

Ch ng 6: B sung v s ph c .45

6.1.D ng đ i s c a s ph c .45

6.2.D ng l ng giác c a s ph c .46

6.3.D ng m c a s ph c .47

6.4.Nâng s ph c lên l y th a .47

6.5 nh lý c b n c a đ i s 47

6.6 M t s ví d .47

7 Ma tr n b c thang:

Ma tr n b c thang là ma tr n b c thang có ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng trên

n m v bên trái so v i ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng d i

Ví d :

3 5 2 7 12 3

0 0 1 9 2 1A

(ii) A  B B A (tính giao hoán) (iii) A   0 0 A A

Các phép bi n đ i ma tr n A thành ma tr n A’ sau đ c g i là các phép bi n đ i

s c p trên dòng

-Lo i 1 : i ch hai dòng cho nhau, kí hi u: d i d j

A A' -Lo i 2: Bi n dòng i thành c l n dòng i c0 , kí hi u: d i cd i

A A' -Lo i 3: Bi n dòng i thành dòng i c ng c l n dòng j c0, i j , kí hi u:

1(iv) cA A

Ng i ta ch ng minh đ c k t qu sau: Cho A là ma tr n kh ngh ch, khi đó

nh ng phép bi n đ i s c p trên dòng nào bi n A thành In thì chúng c ng bi n In (theo

A g i là m t nghi m ma tr n c u đa th c p x  n u đa th c ma tr n p A 0

(ma tr n không cùng c p v i A)

det A det A'.

3) T m t dòng (m t c t) ta c ng vào m t dòng khác (c t khác) sau khi nhân m t

s c0 thì đ nh th c không đ i, t c là d i d i cd j

A  A' khi đó det A'=detA.

4) Ta có th đ a thùa s chung c0 ra ngoài đ nh th c, t c là d i cd i

A A'

khi đó det A'cdet A.

5) Cho hai ma tr n vuông A, B khi đó det(AB)det A.det B.

H (3.1) có nghi m khi và ch khi r(A)r(A | B) H n n a:

(i) r(A)r(A | B)n : h có nghi m duy nh t

(ii) r(A)r(A | B)n : h có vô s nghi m

(iii) r(A)r(A | B) : h vô nghi m

Ch ng 2 Không gian vecto

2.1 Không gian vect , không gian con, không gian con sinh b i m t t p h p

2.1.1.Không gian vecto

- nh ngh a: T p h p V  đ c g i là m t không gian vecto trên n u ta

đ nh ngh a hai phép toán c ng (+) và nhân vô h ng (.) trên V th a 10 tiên đ sau:

2.1.2 Không gian vecto con

nh ngh a: Cho V là không gian vecto trên R và  WV W đ c g i là

không gian con c a V n u W c ng là không gian vecto trên R v i các phép toán c ng và nhân nh trên V

Kí hi u: WV.

nh lý sau cho ta đi u ki n c n và đ đ t p W là không gian con c a V: Cho V

là không gian vecto trên R và  WV. W là không gian con c a V khi và ch khi

2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p

Cho V là không gian vecto trên R và u , ,u1 nV. G i S là t p t t c các t

h p tuy n tính c a u , ,u 1 n Khi đó S là m t không gian con c a V, ta nói S là không

gian con c a V sinh b i u , ,u 1 n Ký hi u là S u , ,u1 n

Quy c   0 N u S V thì ta nói S sinh ra V hay S là t p sinh c a V

2 2 c l p tuy n tính và ph thu c tuy n tính

2.2.1.T h p tuy n tính

Cho V là không gian vecto trên và các vecto u, u , , u1 nV. Ta nói u là t

h p tuy n tính c a h vecto u , ,u1 n khi và ch khi t n t i  1, 2, , n sao cho

Ta c ng nói u bi u th tuy n tính đ c qua h vecto u , ,u1 n

1) M i h ch a vecto 0 đ u ph thu c tuy n tính

2) M i h ch a m t h con ph thu c tuy n tính thì ph thu c tuy n tính

3) T p h p Su , ,u1 n là ph thu c tuy n tính khi  ui S sao cho ui là t h p tuy n tính c a các vecto cfon l i trong S

4) M i h con c a h đ c l p tuy n tính thì đ c l p tuy n tính

5) T p h p Su , ,u1 n là đ c l p tuy n tính n u m i ui không là t h p tuy n tính c a các vecto còn l i trong S

6) T p h p  S V ho c là t p đ c l p tuy n tính ho c ph thu c tuy n tính

2.2.5 nh lý

Khi đó u , ,u1 n là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank A m.

Khi m = n thì u , ,u1 n là đ c l p tuy n tính khi và ch khi rank A  n det A0.

Ví d : Cho các vecto u1   2,1, 1,1 , u  2   1, 1, 1,2 , u 3   1,0, 2,1   Khi đó ta

2.3 C s , s chi u c a m t không gian vecto

2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto

Cho V là không gian vecto V T p   B V đ c g i là c s c a V n u B đ c

l p tuy n tính và sinh ra V

Khi đó s vecto c a B đ c g i là s chi u c a V Kí hi u là dimV

Ví d : Trong không gian vecto 3, h vecto B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1      đ c

l p tuy n tính đ ng th i B sinh ra V nên B 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1     là c s c a 3

N u Bu ,u , ,u1 2 n là c s đ c s p c u không gian vecto V trên R và

uV Khi đó ta có m i vecto uV đ u đ c vi t duy nh t d i d ng

u u   u    u

Kí hi u là  

1 2 B

2.4.2.Ma tr n chuy n c s

Gi s Bu , ,u1 n và B'u ', ,u '1 n  là hai c s đ c s p c a không gian

vecto V Ma tr n P    u '1 B u '2 B u ' n B đ c g i là ma tr n chuy n c s t B sang B’ và ta kí hi u là P B B'

Cho A, B, C là các c s đ c s p c a không gian vecto V có s chi u n Khi đó:

(i) Ma tr n chuy n c s t A sang B là duy nh t

(ii) P A AIn (iii)   1  

P AB  P BA (iv) P A B P B  C P AC

2.4.4.Công th c đ i t a đ

Cho Bu ,u , ,u1 2 n và B'u ', u ', ,u '1 2 n  là hai c s đ c s p c a không

gian vecto V, P B B' là ma tr n đ i c s t B sang B’, uV Khi đó:

 u P B B' u   hay     1 

u P BB'  u

Ví d : Trong 3 cho hai c s Bu11,1,1 , u 2 1,1,2 , u 3 1,2,3  và

Ch ng 3: Ánh x tuy n tính

3.1.Ánh x tuy n tính

3.1.1 nh ngh a

Cho V và U là hai không gian vecto trên tr ng K Ánh x f : VU đ c g i là

ánh x tuy n tính n u th a mãn hai đi u ki n:

, , V (ii) f

3) Ánh x tuy n tính bi n h ph thu c tuy n tính thành h ph thu c tuy n tính T c là

n u  1, 2, ,n là h ph thu c tuy n tính trong V thì f   1 , f 2 , ,f n là h

ph thu c tuy n tính trong U

4) Ánh x tuy n tính không làm t ng h ng c a m t h vecto, ngh a là v i m i

3.2.3.M i liên h gi a s chi u c a h t nhân và nh

Cho ánh x tuy n tsinh f : VU Khi đó dimKerf dimImf dimV.

3.3.Ma tr n c a ánh x tuy n tính

Cho V và U là các không gian vecto, 1, ,n là c s c a V, 1, ,m là c

s c a U và f : VU là ánh x tuy n tính Do f  i U nên f i bi u thi tuy n

tính đ c qua c s   nên ta có h sau:

Gi i:

Gi s : f       1 a1 1 a2 2 a3 3  1 và f       2 b1 1 b2 2 b3 3  2

3.4.2.C ng và nhân các toán t tuy n tính

-Phép c ng: T ng c a hai toán t tuy n tính A và B là toán t tuy n tính C, mà nó thi t l p cho m i vecto x m t vecto t ng ng Ax+Bx Nói cách khác:

.

C    A B Cx  Ax Bx  -Phép nhân: Tích c a hai toán t tuy n tính A và B là toán t C, th hi n s hoàn thành liên ti p, đ u tiên là toán t B và sau đó là toán t A Nói cách khác:

 

C  AB  C  A B -Các tính ch t c a phép c ng và phép nhân các toán t tuy n tính:

C h ng 4: Giá tr riêng và vecto riêng

4.2.Giá tr riêng, vecto riêng

Các nghi m th c c a đa th c đ c tr ng pA x g i là giá tr riêng c a ma tr n A

N u 0 là m t giá tr riêng c a A thì det x I 0 n A0 Do đó, h ph ng trình thu n

Ph ng pháp tìm giá tr riêng vecto riêng

B1: Tìm đa th c đ c tr ng pA x det A x.In

B2: Gi i ph ng trình đa th c c p n theo bi n x: pA x 0 đ tìm các giá tr riêng i.

B3: i v i m i tr riêng i, tìm các vecto riêng t ng ng b ng cách gi i h ph ng

trình tuy n tính thu n nh t A iI X 0.

4.3.Chéo hóa ma tr n

- nh ngh a: Ta nói ma tr n A chéo hóa đ c n u A đ ng d ng v i m t ma tr n

chéo D, ngh a là t n t i m t ma tr n P không suy bi n sao cho 1

P AP  D Khi đó ta nói

ma tr n P là chéo hóa A và D là d ng chéo c a A

-Ki m tra m t ma tr n có chéo hóa đ c hay không:

+ N u A có n tr riêng khác bi t thì A chéo hóa đ c

+ G i  1, 2, , k là t t c nh ng tr riêng khác nhau c a A, E i là không gian

-Thu t toán:

B1: Tìm đa th c đ c tr ng r i vi t v d ng   n 1 n k

      B2: Tìm các tr riêng i cùng các s b i ni t ng ng

B3: V i m i i, tìm c s , s chi u dim V  i c a các không gian riêng

N u dim V   i n i thì A không chéo hóa đ c

B2: Tr riêng pA     0 1 5 boi 2 ,   2 1 boi 1 

B3: Không gian riêng v i   1 2 dim V  1 2, c s e 1    1,1, 0 ; 0, 0,1   

V i   2 1 dimV  2 1 c s e2  1,1,0  B4: L p

Ch ng 5: D ng song tuy n tính, d ng toƠn ph ng, tích vô

h ng và không gian Euclid

5.1.Ánh x song tuy n tính, d ng song tuy n tính

Gi s L, M, N là các không gian vecto trên tr ng s K

(iii) x L, y , y M : f x, y y f x, y f x, y ;(iv) x L, y M, K : f x, y f x, y

*Nh n xét: M t d ng toàn ph ng có th có nhi u d ng chính t c Tuy nhiên các

d ng chính t c này đ u có đi m chúng là s các h s d ng và âm là b t bi n

5 3.Tích vô h ng và không gian Euclid

(v) u,u   0, u V u,u    0 u 0 V

5.3.3.Thu t toán tr c giao hóa m t h vecto đ c l p tuy n tính

  v i 0   2

D ng l ng giác c a s ph c z a bi là zr cos  isin

Nhân hai s ph c d ng l ng giác: modun nhân v i nhau và argument c ng l i

Chia hai s ph c d ng l ng giác: modun chia cho nhau và argument tr ra

49 1 5 2

z zz

z zz

z  z z

2 2

R b) t

Ví d 9: Vi t s ph c sau d i d ng đ i s :  

9 5

31

iz

iz