Toán cao cấp 1-Bài 4: Hàm nhiều biến doc

BÀI 4: HÀM NHIỀU BIẾN Nắm được các khái niệm về hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân, cực trị nhiều biến.. Bài này trình bày về hàm số nhiều biến số, phép tính giới hạn, tính chất liên

BÀI 4: HÀM NHIỀU BIẾN

Nắm được các khái niệm về hàm nhiều biến,

đạo hàm riêng, vi phân, cực trị nhiều biến

Làm được bài tập về hàm nhiều biến, đặc biệt

là phần cực trị hàm nhiều biến

Thời lượng

Bài này được trình bày trong 3 tiết lý thuyết

và 6 tiết bài tập Bạn nên dành khoảng 3 đến

4 giờ đồng hồ mỗi tuần để học bài này

Các kiến thức cần có

Các bạn cần có kiến thức về tính giới hạn hàm

số (bài 1), phép tính đạo hàm vi phân (bài 2)

Bài này trình bày về hàm số nhiều biến

số, phép tính giới hạn, tính chất liên tục

và phép tính đạo hàm, vi phân của hàm nhiều biến Sau đó áp dụng các kiến thức này vào bài toán cực trị, bài toán này có ý nghĩa rất lớn về mặt ứng dụng, tạo cơ sở toán học cho các bài toán tối ưu hoá trong kinh tế

Hướng dẫn học

Các bạn cần xem kỹ các ví dụ và làm phần bài tập kèm theo

4.1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số

Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc của một đối tượng (hàm số) vào một đối tượng khác (biến số), sự phụ thuộc này không phổ biến trong thực tế Ví dụ như sản lượng của một nhà sản xuất luôn phụ thuộc vào nhiều yếu tố gồm có lao động, vốn…; giá cả của một hàng hoá trên thị trường không chỉ phụ thuộc vào chi phí sản xuất mà còn phụ thuộc vào yếu tố cung – cầu… Để phản ánh chính xác các hiện tượng thực tế, trong phần này chúng ta sẽ xét khái niệm hàm số nhiều biến số, phản ánh sự phụ thuộc của một đối tượng (hàm số) vào nhiều đối tượng khác (nhiều biến số) Đối với hàm một biến số, mỗi giá trị của biến độc lập sẽ đặt tương ứng với một giá trị của hàm Đối với hàm số nhiều biến, mỗi bộ giá trị xác định của n biến số đặt tương ứng với một giá trị của hàm số Nếu ta coi mỗi một bộ n biến số là một điểm (biến điểm) thì ta lại quay về định nghĩa hàm nhiều biến như hàm số của một biến điểm Ta cần tìm hiểu một số khái niệm về bộ n biến số

4.1.1.1 Không gian n chiều

Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã biết trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy cho trước, mỗi một điểm M được đặt tương ứng với một bộ hai số sắp thứ tự (x, y) cũng chính là toạ độ của M trong hệ toạ độ đã chọn; trong

không gian ba chiều với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz cho trước, mỗi một điểm M được đặt tương ứng với một bộ ba số sắp thứ tự (x, y, z) Khái quát lên chúng

ta cũng có khái niệm điểm trong không gian n chiều

Định nghĩa:

Mỗi bộ n số thực sắp thứ tự (x , x , , x ) được gọi là một điểm n chiều Ta ký hiệu 1 2 nđiểm bởi chữ in hoa M(x , x , , x ) 1 2 n

Định nghĩa:

Không gian điểm n chiều (không gian n chiều) là tập hợp tất cả các điểm n chiều,

trong đó khoảng cách giữa hai điểm M(x , x , , x ) và 1 2 n N(y , y , , y ) được cho bởi 1 2 ncông thức:

d(M, N)= (x −y ) +(x −y ) + + (x −y ) Không gian n chiều được ký hiệu bởi \ n

Trong trường hợp n 2, n 3= = ta thấy rằng công thức tính khoảng cách nói trên cũng chính là khoảng cách Euclide đã biết trong mặt phẳng và không gian

4.1.1.2 Hàm nhiều biến

Định nghĩa:

Một hàm n biến số là một quy tắc f : D→ \, với D là một tập hợp con của không gian n chiều \ , cho tương ứng mỗi điểm n M(x , x , , x ) D1 2 n ∈ với một và chỉ một giá trị f (M)∈ \ D được gọi là miền xác định của hàm số

Ta cũng sử dụng ký hiệu u f (x , x , , x );(x , x , , x ) D= 1 2 n 1 2 n ∈ để chỉ hàm số này

Ví dụ 1:

f (x , x , , x )= 1 x− −x − − x Miền xác định của hàm số này là:

D= M(x , , x ) : x +x + + x ≤ 1Miền xác định tự nhiên của một hàm nhiều biến là các bộ n số sao cho khi thay vào biểu thức của hàm số thì các phép toán đều có ý nghĩa

Trong nội dung của giáo trình chúng ta thường xét các hàm số hai biến làm ví dụ, các hàm số này ký hiệu bởi z(x, y);f (x, y);u(x, y) , với (x, y) D∈ ⊂ \ 2

• Đồ thị của hàm số z z(x, y)= = 1 x− 2−y2 là nửa mặt cầu có tâm tại gốc toạ độ O

và bán kính R 1= nằm trong nửa không gian z 0≥

• Đồ thị của hàm số z= x2+y2 là mặt nón tròn xoay trục Oz, nằm trong nửa không gian z 0≥

lim f (M ) l

→∞ = thì ta nói hàm số u f (x , x , , x )= 1 2 n có giới hạn l khi M→M0 Ký hiệu:

lim(x y ) 1

→∞ + = Theo định nghĩa ta có:

Giả sử f (M);g(M) là hai hàm số có giới hạn khi M→A Khi đó:

• M Alim f (M) g(M)[ ] M Alim f (M) lim g(M)M A

xylim

Ta chứng minh không tồn tại giới hạn nói trên

Thật vậy, xét hai dãy điểm cùng hội tụ đến điểm (0,0) khi n→ ∞là:

d) Tìm:

2

4 2 (x,y) (0,0)

x ylim

2

4 2

x yg(x, y)

x 3y

=+ , ta tìm được giới hạn của hai dãy giá trị hàm số

tương ứng là:

x ylim

Tuy nhiên từng giới hạn lặp không tồn tại Thật vậy do vai trò của x, y như nhau

nên ta xét giới hạn lặp theo x trước, y sau Với y 0≠ :

Chúng ta cần phân biệt khái niệm giới hạn nói trên khi x, y đồng thời tiến đến điểm x0,y0

với hai giới hạn lặp, đó là khi ta lấy giới hạn theo x trước y sau; hoặc theo y trước x sau:

Hàm số không liên tục tại điểm M được gọi là gián đoạn tại điểm đó 0

Nếu hàm số f (M) liên tục tại mọi điểm M thuộc miền D ta nói f (M) liên tục trên D 0

Từ định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm nhiều biến số, ta chứng minh được định lý sau đây về hàm liên tục

• Hàm số f (M) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên miền D

• Giả sử A, B là hai điểm thuộc miền D sao cho f (A)f (B) 0< thì tồn tại một điểm

C D∈ sao cho f (C) 0= Nói riêng các định nghĩa và định lý nói trên đều đúng cho trường hợp n 2=

Ví dụ 9:

a) Xét hàm số:

2 2

xykhi (x, y) (0,0)

Tại những điểm (x, y) (0,0)≠ , f (x, y) là thương của hai hàm số liên tục với mẫu

số khác 0, nên f (x, y) liên tục tại điểm đó

Tại điểm (0,0) , theo ví dụ đã xét

Tại những điểm (x, y) (0,0)≠ hàm số f (x, y) liên tục

Tại điểm (0,0), ta cần tính giới hạn:

2 2 2

4 4 (x,y) (0,0)

x (x y )lim

12lim f (M ) 0; lim f (M ')

→

−

Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại (0,0)

Một hàm nhiều biến u f (x , x , , x )= 1 2 n có thể xem như là hàm số của một biến số khi

ta cố định giá trị của các biến còn lại Từ đây có thể định nghĩa số gia riêng của một hàm nhiều biến đối với một biến số nào đó Trước hết ta xét với n 2=

Xét hàm số z f (x, y)= xác định trên miền D, và M (x , y ) là một điểm thuộc miền D 0 0 0

Cố định giá trị y y= 0 và cho x thay đổi một lượng xΔ thì giá trị của hàm số thay đổi là:

xz f (x0 x, y ) f (x , y )0 0 0

Ta gọi Δ là số gia riêng theo biến x của hàm số z f (x, y)xz =

Tương tự số gia riêng theo biến y của hàm số z f (x, y)= tại điểm M (x , y ) là: 0 0 0

i i

x

x 0

uu

Ta sử dụng công thức nói trên để tính đạo hàm tại một điểm, còn đối với hàm số cho bởi công thức, ta sẽ áp dụng cách tính đã nói ở trên: Khi tính f ' ta coi hàm số chỉ xphụ thuộc vào biến số x, ngược lại khi tính f ' ta coi hàm số chỉ phụ thuộc vào biến y

∂ =

xy khi (x, y) (0,0)

Trước hết ta nêu khái niệm hàm số hợp của hai hàm nhiều biến số

Cho D là một tập hợp trong \ Xét ánh xạ 2 ϕ: D→\2; (x, y) (u(x, y); v(x, y))ϕ = và hàm số hai biến f : (D)ϕ →\;f (u, v)∈\ Xét hàm số F f= Dϕ: D→\ được xác định như sau:

f

F : (x, y) D∈ 6ϕ (u(x, y), v(x, y))∈ϕ(D)6f (u(x, y), v(x, y)) F(x, y)=

Hàm số F được xác định như trên được gọi là hàm số hợp của hai hàm f và ϕ

z(x y )(xy) x 2x(xy) ln(xy).

• Nếu z f (x, y), y y(x)= = thì ta viết lại được z f (x, y(x)) F(x)= = là một hàm số của

4.2.3 Vi phân toàn phần và vi phân riêng

Giả sử hàm số z f (x, y)= xác định trên miền D và có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm M (x , y ) thuộc D Xét số gia toàn phần của hàm số tại điểm 0 0 0 M 0

Do đó số gia của hàm số tại điểm M được viết lại thành: 0

Tổng quát, cho hàm số u f (x , x , , x )= 1 2 n Vi phân toàn phần của hàm số là:

4.2.5.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Ta biết đạo hàm cấp cao của hàm một biến số được định nghĩa theo quy nạp: đạo hàm cấp n bằng đạo hàm của đạo hàm cấp (n -1) Đối với hàm nhiều biến, khái niệm tương ứng là đạo hàm riêng và đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm số u f (x , x , , x )= 1 2 n có đạo hàm riêng theo các biến x trong miền D Khi i

đó các đạo hàm riêng f ' cũng là các hàm số của n biến số Đạo hàm riêng theo biến xi

Tương tự ta định nghĩa theo quy nạp các đạo hàm riêng cấp cao hơn

Khi n 2= , xét hàm hai biến z f (x, y)= xác định trên miền D Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau:

Trong ví dụ trên z ''xy =z ''yx Tuy nhiên không phải bao giờ đẳng thức này cũng xảy

ra Định lý sau cho biết một điều kiện đủ để hai đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau

Định lý (Schwarz):

Nếu trong một lân cận U nào đó của điểm M (x , y ) hàm số 0 0 0 z f (x, y)= có các đạo hàm riêng f '' ,f '' và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại xy yx M thì 0 f ''xy =f ''yx tại M 0

4.2.5.2 Vi phân cấp cao

Định nghĩa:

Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần du của hàm số u f (x , , x )= 1 n được gọi là

vi phân toàn phần cấp hai của hàm số đó và được ký hiệu là: d u d f2 = 2

Giả thiết f '' và xy f '' liên tục, suy ra: yx

Định nghĩa: Tập hợp D⊂ \ được gọi là tập mở nếu D có tính chất, với mọi điểm n

M⊂ tồn tại một số dương D r 0> sao cho mọi điểm N trong không gian n chiều thoả

mãn d(M, N) r< đều thuộc D

Định nghĩa:

Cho hàm số u f (x , x , , x )= 1 2 n xác định trên một tập mở D và M0∈ Ta nói hàm D

số f (x , , x ) đạt cực trị tại điểm 1 n M nếu tồn tại một số 0 r 0> sao cho với mọi điểm

M D∈ và d(M, M ) r0 < thì hiệu f (M) f (M )− 0 không đổi dấu

Nếu f (M) f (M ) 0− 0 > thì M là điểm cực tiểu, nếu 0 f (M) f (M ) 0− 0 < thì M là 0điểm cực đại Điểm M được gọi là điểm cực trị của hàm số 0

Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét quy tắc tìm cực trị của hàm hai biến z f (x, y)=

• Nếu s2− < thì f (x, y) đạt cực trị tại rt 0 M ; cực đại nếu 0 r 0< , cực tiểu nếu r 0>

• Nếu s2− > thì f (x, y) không đạt cực trị tại rt 0 M 0

• Nếu s2− = thì f (x, y) có thể đạt hoặc không đạt cực trị tại rt 0 M (trường hợp 0nghi ngờ)

Từ hai định lý trên, ta rút ra quy tắc tìm cực trị

• Bước 1: tìm các điểm dừng, có toạ độ là nghiệm của hệ phương trình f 'x =f 'y = 0

• Bước 2: tính các giá trị đạo hàm riêng cấp hai tại các điểm dừng

r f '' (M);s f '' (M); t f '' (M)= = = và xét dấu biểu thức Δ = − s2 rt

o Nếu Δ >0, hàm số không đạt cực trị tại M 0

o Nếu Δ <0, hàm số đạt cực trị tại M : 0 r 0> , M là điểm cực tiểu; 0 r 0< , M là 0điểm cực đại

o Nếu Δ =0, không thể kết luận M có là điểm cực trị hay không 0

Ví dụ 18:

a) Tìm cực trị của hàm số z x y xe= + − y

Tìm các điểm tới hạn:

y x

y y

b) Tìm cực trị của hàm số z x= 3+2y3−3x 6y−

Tìm các điểm tới hạn:

2 x 2 y

Tại điểm (-1,-1): Δ <0, r 0< : hàm số đạt cực đại tại (-1,-1)

Tại điểm (1,-1) và (-1,1): Δ =72 0> , hàm số không đạt cực trị

Cho phương trình:

trong đó F : D→ \ là một hàm số xác định trên tập hợp D⊂ \ Với mỗi giá trị 2 0

x x= trong một khoảng I⊂ \ nào đó có thể có một hay nhiều giá trị y sao cho 0

Ví dụ như phương trình xy =y ,(x, y 0)x > Tuy nhiên trong những trường hợp nhất định ta có thể nói về tính khả vi của hàm ẩn mà không cần giải tường minh ra phương trình y y(x)=

Để tính đạo hàm hàm ẩn, ta thay công thức y(x) vào phương trình (4.1) và thu được đồng nhất thức: F(x, y(x)) 0≡

Đạo hàm hai vế theo x ta có:

F(x, y) x y(x) y (x)x a= − − = 0

Đạo hàm hai vế theo biến x:

Ta có: F(x, y) xe= y +yex −exy = 0Thay y y(x)= ta được đồng nhất thức:

y x xy

xe +ye −e ≡ 0Đạo hàm hai vế theo biến x:

e +xy 'e +y 'e +ye −ye −xy 'e = 0Suy ra:

2(x y )

y ''(x y)

+

=

Tương tự như vậy ta có thể tính tiếp các đạo hàm cấp cao hơn của hàm ẩn

d) Tìm các điểm cực trị của hàm ẩn y y(x)= xác định bởi phương trình:

3 3

x +y −3xy 0=

Đặt F(x, y) x= 3+y3−3xy 0= Điều kiện để tồn tại hàm ẩn là: 2

y

F ' 3y= −3x 0≠ Điểm dừng của hàm ẩn y '(x) 0= , suy ra F ' 0x =

Giải hệ:

3 3 2 2

2 y

4.3.3.2 Quy tắc tìm cực trị có điều kiện

Xét hàm số phụ:

(x, y) f (x, y) g(x, y)

Biến phụ λ gọi là nhân tử Lagrange Ta thấy rằng với tất cả các điểm (x, y) thoả mãn điều kiện g(x, y) 0= thì hai hàm số f (x, y); (x, y)Φ nhận cùng một giá trị Do đó cực trị của hàm số f (x, y) với điều kiện g(x, y) 0= cũng là một cực trị của hàm số (x, y)

Φ Do đó các điểm mà tại đó cực trị có điều kiện xảy ra phải rơi vào các điểm dừng của hàm số (x, y)Φ Ta có quy tắc sau đây:

Quy tắc tìm cực trị có điều kiện:

o Nếu Δ >0 thì M là điểm đạt cực tiểu 0

o Nếu Δ <0 thì M là điểm đạt cực đại 0

o Nếu Δ đổi dấu thì M không phải là điểm cực trị 0

Ví dụ 21:

Tìm cực trị của hàm số z xy 2x= + với điều kiện 8x 4y 120+ =

g(x, y) 8x 4y 120 0= + − = Xét hàm số:

(x, y) xy 2x (8x 4y 120)

Tìm các điểm dừng của hàm phụ thoả mãn:

x y

4.3.4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Hai bài toán cực trị đã xét ở trên là các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mang tính chất địa phương chỉ là lớn hơn hoặc nhỏ hơn so với các điểm ở gần điểm đó.Tuy nhiên thực tế ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong toàn bộ miền xác định của hàm

số cần xét Sau đây đưa ra quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến số

Ta đã biết một hàm số liên tục trên một miền bị chặn D có cả biên thì sẽ đạt được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền đó Nếu f đạt được GTLN (GTNN) trong miền D thì điểm đó có thể là điểm cực trị Ngoài ra f có thể đạt được GTLN, GTNN trên biên của

miền D, lúc này ta có thêm ràng buộc đó là phương trình biên của D Do đó

• Bước 1: Tìm các điểm tới hạn của hàm số ở trong miền D

• Bước 2: Tính toán và so sánh giá trị của hàm số tại những điểm tới hạn đó, và so sánh với các giá trị của hàm số tại các giá trị trên biên từ đó kết luận

Điểm ( 4,6)− không thuộc miền đang xét

Trên biên x 0= , 0 y 2≤ ≤ , suy ra 0 z 8y 16≤ = ≤ Trên biên x 1= , 0 y 2≤ ≤ , suy ra 3 z 10y 3 17− ≤ = − ≤ Trên biên y 0= , 0 x 1; 3 z x≤ ≤ − ≤ = 2−4x 0≤

Trên biên y 2= , 0 x 1;16 z x≤ ≤ ≤ = 2+16 17≤

Từ đây ta thấy giá trị lớn nhất zmax =z(1, 2) 17= ; giá trị nhỏ nhất

min

z =z(1,0)= − 3b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số z x= 2− , trong miền tròn y2 x2+y2 ≤ 4

Tìm điểm tới hạn trong miền:

2x= −2y 0= , suy ra x y 0, z(0,0) 0= = = Trên biên: x2+y2 = , 4 0 y≤ 2 ≤ , ta có 4 − ≤ = −4 z 4 2y2 ≤ 4Suy ra giá trị lớn nhất zmax = tại điểm ( 2;0)4 ± ; giá trị nhỏ nhất zmin = − 4 tại điểm (0; 2)±

Các kết quả trên đây là cơ sở cho việc giải các bài toán tối ưu hoá Bài toán tối ưu đặt

ra là tối đa hoá hoặc tối thiểu hoá giá trị của hàm mục tiêu:

1 2 n

w f (x , x , , x )=trong đó các biến độc lập x ;1 i ni ≤ ≤ phản ánh các nhân tố đầu vào

Một trong những tiền đề của kinh tế học thị trường là: Các nhà sản xuất theo đuổi mục tiêu tối đa hoá lợi nhuận Ta xét bài toán kinh tế sau đây:

Giả sử một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm và gọi Q ,Q lần lượt là số lượng 1 2của sản phẩm thứ nhất và thứ hai Tổng chi phí để sản xuất ra số lượng sản phẩm đó là:

1 2

TC TC(Q ,Q )=

Do tính chất cạnh tranh, doanh nghiệp phải chấp nhận giá thị trường của các sản phẩm

đó Gọi p , p là giá thị trường của hai loại sản phẩm, khi đó hàm lợi nhuận sẽ là: 1 2

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Trong bài này chúng ta đã nghiên cứu những vấn đề sau:

• Hàm nhiều biến số Khái niệm liên tục của hàm nhiều biến số

• Đạo hàm riêng Vi phân riêng

• Cực trị của hàm số

• Cực trị có điều kiện của hàm số

Bài này trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản về phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số: Định nghĩa hàm số nhiều biến số, miền xác định, cách biểu diễn hình học, giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến số, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, đạo hàm cấp cao, đạo hàm theo hướng, cực trị của hàm số nhiều biến và ứng dụng của phép tính vi phân vào hình học Khi học, học viên cần lưu ý đến sự khác biệt giữa hàm số một biến số và hàm số nhiều biến số

CÂU HỎI ÔN TẬP

1. Nêu cách tính đạo hàm riêng theo từng biến của hàm số hai biến z = f(x,y)

2 Định nghĩa cực trị và cực trị có điều kiện của hàm số hai biến Cực trị không điều kiện khác với giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền như thế nào?