Ma trận (toán đại học)

D¤ng bªc thang cõa ma trªnĐành nghĩa Mët ma trªn đưñc gåi là mët ma trªn bªc thang n¸u các dòng 0 cõa nó n¸u có n¬m dưîi các dòng khác 0, và trên méi dòng khác 0 ph¦n tû khác 0 đ¦u tiên

Trang 1

CHƯƠNG 1: MA TRŠN VÀ H› PHƯƠNG

TRÌNH TUY˜N TÍNH

Khoa Toán Kinh t¸

Ngày 24 tháng 9 năm 2021

Trang 3

UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRŠN VÀ H› PHƯƠNG TRÌNH TUY˜N TÍNH 2 / 56

Trang 4

Ví dö mð đ¦u

Ví dö

Mët hãng s£n xu§t 3 s£n ph©m, ký hi»u S1, S2, S3 Méi m°t hàng

có sè khách hàng tìm hiºu và sè lưñng tiêu thö trong mët quý đưñcbiºu di¹n như sau:

B£ng trên tương ùng vîi mët "ma trªn" 2 hàng và 3 cët: (matrix):

A =

U E L CHƯƠNG 1: MA TRŠN VÀ H› PHƯƠNG TRÌNH TUY˜N TÍNH 3 / 56

Trang 5

Đành nghĩa

Ma trªn là mët b£ng sè có d¤ng

Trang 6

A =

Đôi khi ngưíi ta dùng d§u móc vuông ð hai bên thay cho d§u ngo°c tròn

Kích thưîc ma trªn: m dòng và n cët A đưñc gåi là ma trªn c§p

m× n.

N¸u m = n thì ta gåi A là ma trªn vuông c§p n.

Tªp hñp t§t c£ các ma trªn c§p m × n trên R đưñc ký hi»u

là M m×n (R) Khi m = n, ký hi»u gån thành M n(R)

Trang 8

Trang 10

Trang 11

Mët sè d¤ng ma trªn đ°c bi»t

Ma trªn 0

Ma trªn đơn và c§p n là ma trªn vuông c§p n có tính ch§t:

I n =

Trang 12

Trang 13

Trang 14

α n

U =

Ma trªn tam giác dưîi đành nghĩa tương tü

Trang 15

Cëng ma trªn thäa các tính ch§t tương tü như cëng sè.

Trang 16

C =

Trang 17

Trang 18

Nhân hai ma trªn

Đành nghĩa

Tích cõa ma trªn A c§p m × n và ma trªn B c§p n × p là ma trªn AB c§p m × p , ph¦n tû ð hàng i cët j đưñc xác đành bði

Trang 19

Ví dö

41

Trang 20

Trang 21

Ví dö

41

Trang 22

Trang 24

Ta biºu di¹n mùc dàch chuyºn cõa khách hàng và thà ph¦n cõa công

ty A, B, C dưîi d¤ng ma trªn sau

Khi đó tích ma trªn Ts biºu di¹n thà ph¦n cõa công ty A, B, C năm k¸

ti¸p Ta có

Trang 26

Mët sè chú ý v· phép nhân ma trªn

AB và BA thưíng không b¬ng nhau

N¸u AB = 0 (ma trªn 0) không có nghĩa là A = 0 hay B = 0.

Do đó, n¸u A vuông và A k = 0 thì không có nghĩa là A = 0

N¸u AB = AC thì không có nghĩa là B = C.

Các tính ch§t trên khác vîi phép nhân sè thông thưíng

Không có các tính ch§t trên làm cho vi»c gi£i phương trình ma trªn phùc t¤p hơn so vîi vi»c gi£i phương trình vîi sè

Bài tªp (làm ð nhà)

L§y ví dö minh håa cho các chú ý nêu trên?

Trang 31

Têng hay hi»u cõa 2 ma trªn đèi xùng là ma trªn đèi xùng.

Têng hay hi»u cõa 2 ma trªn ph£n xùng là ma trªn ph£n xùng

Trang 32

D¤ng bªc thang cõa ma trªn

Đành nghĩa

Mët ma trªn đưñc gåi là mët ma trªn bªc thang n¸u các dòng 0 cõa nó (n¸u có) n¬m dưîi các dòng khác 0, và trên méi dòng khác 0 ph¦n tû khác 0 đ¦u tiên cõa dòng trên n¬m ð cët bên trái so vîi cët chùa ph¦n

tû khác 0 đ¦u tiên cõa dòng dưîi

Các ph¦n tû khác 0 đ¦u tiên trên méi dòng đưñc gåi là các ph¦n tû trö

Ví dö

10−326

A =

Trang 33

• B§t kỳ ma trªn nào cũng có thº đưñc đưa v· d¤ng ma trªn bªc thang b¬ng cách sû döng các phép bi¸n đêi sơ c§p dòng.

Trang 34

Các phép bi¸n đêi sơ c§p dòng

Đành nghĩa

Có 3 lo¤i phép bi¸n đêi sơ c§p dòng

1 Lo¤i 1: Hoán và 2 dòng i và j cõa ma trªn, ký hi»u d i ↔ d j

2 Lo¤i 2: Nhân dòng i vîi 1 sè α 6= 0, ký hi»u d i → αd i

3 Lo¤i 3: Cëng dòng i vîi α l¦n dòng j, ký hi»u di → di + αdj

ma trªn v· d¤ng ma trªn đơn gi£n hơn, ví dö d¤ng bªc thang, giúpcác tính toán, gi£i h» phương trình đưñc thuªn lñi hơn

Trang 35

Thuªt toán Gauss đưa ma trªn v· d¤ng bªc thang

Dùng đº đưa mët ma trªn tùy ý v· d¤ng bªc thang

N¸u a ij = 0 và không tìm đưñc a kj 6= 0, k > i thì cët j không có ph¦n

tû trö Khi đó, ta bä qua j và l°p l¤i bưîc 2 vîi cët j + 1.

Trang 36

Thuªt toán Gauss (tt)

Bưîc 3: Vîi a ij là ph¦n tû trö, l¦n lưñt thüc hi»n các phép bi¸n đêi

.

Trang 37

Sau đó, thay i b¬ng i + 1, j b¬ng j + 1 và quay l¤i bưîc 2

Trang 38

Các phép bi¸n đêi sơ c§p trên dòng (BĐSC) (tt)

Ví dö Bi¸n đêi A v· d¤ng ma trªn bªc thang

Trang 40

Trang 41

36101316 Gi£i

Trang 42

Trang 43

36101316 Gi£i

Trang 44

Trang 45

36101316 Gi£i

Trang 47

Ví dö

Tìm h¤ng cõa ma trªn sau

Trang 48

A =

Nhªn xét: A’ là ma trªn bªc thang rank(A’) = 3 Suy ra, rank(A) = 3

Trang 49

Ma trªn chính t-c theo dòng

Đành nghĩa

Ma trªn chính t-c theo dòng là ma trªn bªc thang thäa mãn các đi·u ki»n: Các ph¦n tû trö có giá trà là 1, gåi là các sè 1 chu©n, và t§t c£ các và trí còn l¤i cõa cët chùa sè 1 chu©n đ·u có giá trà 0 (cët này đưñc gåi là cët chu©n)

Måi ma trªn đ·u có thº đưñc đưa v· d¤ng chính t-c theo dòng b¬ng phép bi¸n đêi sơ c§p dòng

D¤ng chính t-c theo dòng còn đưñc gåi là d¤ng bªc thang rút gån

Trang 50

Thuªt toán Gauss-Jordan

Tø ma trªn A, dùng thuªt toán Gauss ta đưa đưñc v· d¤ng

bªc thang B.

Tø B, làm tø dòng dưîi cùng khác 0 ngưñc v· dòng đ¦u: Chia dòng

chùa ph¦n tû trö a ij cho a ij đº bi¸n ph¦n tû trö thành sè 1 chu©n,

sau đó dùng sè 1 chu©n khû các ph¦n tû khác 0 còn l¤i trên cët

Trang 51

Đây là mët thuªt toán quan trång đº gi£i các h» phương trình tuy¸n tính Vì sao?

Trang 52

Khái ni»m h» phương trình tuy¸n tính

H» phương trình tuy¸n tính là h» có d¤ng têng quát như sau:

Trang 53

Trang 54

Biºu di¹n h» tuy¸n tính b¬ng ma trªn

Trang 55

Trang 57

Trang 59

Trang 60

Phương pháp khû Gauss

Thuªt toán Gauss

Dùng các phép bi¸n đêi sơ c§p đº đưa˜ v· d¤ng bªc thang

N¸u xu§t hi»n 1 dòng có d¤ng (0 0 0 | a), vîi a 6= 0 thì ta

k¸t luªn h» vô nghi»m

N¸u không có dòng nào có d¤ng trên thì ta dùng phép th¸ ngưñc

tø dưîi lên trên cõa h» đº xác đành nghi»m

Trang 61

Phương pháp khû Gauss

Thuªt toán Gauss

Dùng các phép bi¸n đêi sơ c§p đº đưa˜ v· d¤ng bªc thang

N¸u xu§t hi»n 1 dòng có d¤ng (0 0 0 | a), vîi a 6= 0 thì ta

k¸t luªn h» vô nghi»m

N¸u không có dòng nào có d¤ng trên thì ta dùng phép th¸ ngưñc

tø dưîi lên trên cõa h» đº xác đành nghi»m

Trang 62

Phương pháp Gauss-Jordan

N¸u ta ti¸p töc dùng phép sơ c§p dòng đº bi¸n đêi d¤ng bªc thang cõa thuªt toán Gauss v· d¤ng bªc thang rút gån thì ta có thuªt toán Gauss-Jordan

Ta s³ m§t nhi·u phép bi¸n đêi sơ c§p dòng hơn so vîi thuªt toán Gauss, nhưng bù l¤i, ta không ph£i th¸ ngưñc tø dưîi lên mà có thº đåc nghi»m trüc ti¸p tø ma trªn

Trong thüc t¸, ngưíi ta cân nh-c chi phí, thíi gian tính toán đº lüa chån Gauss hay Gauss-Jordan

Trang 63

Phương pháp Gauss-Jordan

N¸u ta ti¸p töc dùng phép sơ c§p dòng đº bi¸n đêi d¤ng bªc thang cõa thuªt toán Gauss v· d¤ng bªc thang rút gån thì ta có thuªt toán Gauss-Jordan

Ta s³ m§t nhi·u phép bi¸n đêi sơ c§p dòng hơn so vîi thuªt toán Gauss, nhưng bù l¤i, ta không ph£i th¸ ngưñc tø dưîi lên mà có thº đåc nghi»m trüc ti¸p tø ma trªn

Trong thüc t¸, ngưíi ta cân nh-c chi phí, thíi gian tính toán đº lüa chån Gauss hay Gauss-Jordan

Trang 65

N¸u A có 1 dòng hay 1 cët b¬ng 0 thì A không kh£ nghàch.

Trang 68

Trang 70

Trang 72

Trang 73

c ij như đành nghĩa trên đưñc gåi là ph¦n bù đ¤i sè cõa aij

Trang 74

c ij như đành nghĩa trên đưñc gåi là ph¦n bù đ¤i sè cõa aij

Bài tªp: Tìm hiºu v· ý nghĩa cõa đành thùc trong t l» di»n tích, thº tích

Trang 76

= (−2).(−5).2 + 3.0.(−1) + 1.4.2 − (−1).(−5).1 − 2.0.(−2) − 2.4.3

= −1

Trang 77

Cách tính đành thùc (tt)

Đành thùc c§p n > 3: Công thùc khai triºn theo dòng hay theo cët.

Công thùc trong đành nghĩa chính là công thùc khai triºn theo dòng 1 Thüc ra, ta có thº chån b§t kỳ dòng i hay cët j đº khai triºn

Trang 78

Cách tính đành thùc (tt)

Nhªn xét

N¸u A có 1 dòng hay 1 cët b¬ng 0 thì det(A) = 0

N¸u A là ma trªn tam giác thì det(A) b¬ng tích các ph¦n tû tr»n

Trang 79

Tính ch§t cõa đành thùc

Tính ch§t

det(A T ) = det(A)

det(AB) = det(A) det(B)

Ma trªn kh£ nghàch tương đương vîi det(A) 6= 0.

Trang 81

Đành thùc và các phép bi¸n đêi sơ c§p

Các phép bi¸n đêi sơ c§p húu ích trong tính toán đành thùc Sau đây, là tác đëng cõa các phép bi¸n đêi sơ c§p đèi vîi đành thùc

Trang 82

Trang 83

Đành thùc và các phép bi¸n đêi sơ c§p (tt)

• Ngoài ra, do det(A T ) = det(A), nên ta có thº dùng thêm phép bi¸n

đêi sơ c§p cët, các tính ch§t hoàn toàn tương tü phép bi¸n đêi dòng

Trang 84

Trang 85

Đành thùc và các phép bi¸n đêi sơ c§p (tt)

Tóm l¤i

N¸u đêi 2 dòng (ho°c cët) cõa ma trªn thì ph£i đêi d§u đành thùc N¸u 1 dòng (hay cët) nào đó chia h¸t cho 1 sè α thì ta có thº đem sè

α ra ngoài d§u đành thùc làm nhân tû chung

N¸u ta dùng phép bi¸n đêi lo¤i 3 đèi vîi dòng (ho°c cët )thì

không làm thay đêi giá trà đành thùc

Trang 87

Phương pháp Cramer (tt)

N¸u Δ = 0 và có mët Δi 6= 0 thì h» vô nghi»m

N¸u Δ = 0 và Δi = 0, ∀i thì không xác đành đưñc h» vô nghi»m

hay h» vô sè nghi»m

Trang 89

Mët sè ùng döng

Mô hình cân b¬ng mët hàng hóa

Ký hi»u p là giá cõa mët đơn và hàng hóa, hàm cung

Q s (p) = −a0 + a1p

và hàm c¦u

Q d (p) = b0 − b1p vîi các tham sè a0, a1, b0, b1 dương

Cho ví dö v· đơn và cõa giá p và đơn và cõa các tham sè nêu

trên? Ví dö p có đơn và là $; a1, b1 có đơn và là $−1

Gi£i thích v· d§u các tham sè có d§u?

a1 > 0 do hàm đçng bi¸n; b1 > 0 do hàm nghàch bi¸n.

N¸u t¤i thíi điºm khði đ¦u s£n xu§t/ cung c§p, Q s g¦n 0, n¸u giá a0/a1

không dương thì bên bán s³ không muèn bán Tương tü, N¸u khi giá g¦n

0, nhu c¦u b0 âm thì tùc là thà trưíng không c¦n m°t hàng xu§t hi»n

Trang 90

Mët sè ùng döng

Q s (p) = −a0 + a1p

và hàm c¦u

trên? Ví dö p có đơn và là $; a1, b1 có đơn và là $−1

Trang 91

Mët sè ùng döng

Q s (p) = −a0 + a1p

và hàm c¦u

Trang 92

Mët sè ùng döng

Q s (p) = −a0 + a1p

và hàm c¦u

Trang 93

a Tìm giá cân b¬ng thà trưíng?

b Tìm lưñng (cung và c¦u) cân b¬ng?

Trang 94

UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP

CHƯƠNG 1: MA TRŠN VÀ H› PHƯƠNG TRÌNH TUY˜N

Trang 95

Mô hình cân b¬ng nhi·u hàng hóa

Trang 96

Trang 97

Mô hình cân b¬ng Kinh t¸ vĩ mô

Bài tâp I.4.2 trang 68

Trang 99

Mô hình IS-LM (đåc thêm)

Đây là h» phương trình tuy¸n tính vîi hai bi¸n sè: Y và

r Lªp h» phương trình

(

Y =C+I+G0

M0=L Các chi ti¸t xem trong tài li»u trang 57-59

Trang 100

Mô hình Input-Output Leontief (Nobel kinh t¸ 1973)

Trang 102

Trang 103

a) Gi£i thích ý nghĩa cõa h» sè a23 cõa ma trªn h» sè đ¦u vào?

b)Tìm h» sè t¿ ph¦n gia tăng a 0j cõa tøng ngành (j=1,2,3)

c) Tìm đ¦u ra (X) cho méi ngành bi¸t c¦u cuèi (B) cõa méi ngành l¦nlưñt là 85, 40, 5

d) Tìm c¦u cuèi (B) cõa méi ngành bi¸t đ¦u ra (X) cõa méi ngành l¦nlưñt là 40, 40,30

Trang 104

Trang 105

CƒM ƠN!

THANK YOU!

Đ„I HÅC QUÈC GIA THÀNH PHÈ HÇ CHÍ MINH

TRƯÍNG Đ„I HÅC KINH T˜ - LUŠT Sè 669, đưíng

Quèc lë 1, khu phè 3, phưíng Linh Xuân, quªn Thõ

Đùc, Thành phè Hç Chí Minh

Tiêu đề	Ma Trận Và Hệ Phương Trình Tuyến Tính
Trường học	Khoa Toán Kinh Tế
Năm xuất bản	2021

Định dạng
Số trang	105
Dung lượng	832,33 KB