BÁO cáo bài tập lớn đại số TUYẾN TÍNH đề tài 01 ỨNG DỤNG MA TRẬN và ĐỊNH THỨC của MA TRẬN vào HÌNH học GIẢI TÍCH

Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng...5 a Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước.... 5 b Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước..

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KỸ THUẬT GIAO THÔNG

NĂM HỌC 2020 – 2021

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

ĐỀ TÀI 01 - ỨNG DỤNG MA TRẬN

VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

GVHD : NHÓM : LỚP :

Đặng Thu Huyền

L07_ĐSTT_01 L07

0 | P a g e

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

1 | P a g e

MỤC LỤC

Phần 1 – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU 3

Phần 2 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1 Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp 4

a) Khối tứ diện 4

b) Khối hộp 4

2 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng 5

a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước 5

b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước 5

3 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse 6

a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng 6

b) Viết phương trình ellipsoid 6

Phần 3 – VÍ DỤ CỤ THỂ 8

1 Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp 8

a) Khối tứ diện 8

b) Khối hộp 8

2 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng 9

a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước 9

b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước 9

3 Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse 10

a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng 10

b) Viết phương trình ellipsoid 11

2 | P a g e

Phần 1 – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU

ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

– Nêu được các ứng dụng của định thức trong

• Tính thể tích của khối tứ diện, khối hộp;

• Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước, phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước;

• Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng, phương trình ellipse

– Viết chương trình MATLAB sử dụng cho một trong các ứng dụng trên

3 | P a g e

Phần 2 – CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp

a) Khối tứ diện

Bài toán đặt ra

AB = (x AB ; y AB ; z AB )

Cho hình tứ diện ABCD dựng trên 3 vector AC = (x AC ; y AC ; z AC

) AD = (x AD ; y AD ; z AD )

Tính thể tích khối tứ diện trên

Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thông: Tính theo tích hỗn tạp của các

vector:

ABCD

6

(1 )

Nếu biến đổi công thức (1) theo trình tự: Khai triển công thức tích có hướng, sau đó nhân vô hướng, ta thu được kết quả như sau:

V

ABCD

A B

A C

z z

AB

−

AB z

AD

AC AC

AB

+

AB

y

AD

AC AC

AB

AC

(2 )

Nhận xét : Công thức (2) chính là công

Vì vậy ta có thể đưa công thức (1.2) về

thức tính định thức ma trận khai triển theo hàng 3.

dạng định thức của ma trận vuông cấp 3.

V

ABCD

A B A C

A D

z

z z

AB AC

AD

(3 )

b) Khối hộp

Bài toán đặt ra

Từ hình tứ diện ABCD nêu trên,

Hãy dựng nên một hình hộp ABEC.DHGF dựa trên 3 vector

AB = (x

AB

; y

AB

; z

AB

)

AC = (x AC ; y AC ; z AC )

AD = (x AD ; y AD ; z AD )

Tính thể tích khối hộp trên.

Hướng giải quyết : Từ đề bài nhận

thấy :

V

ABEC DHGF

= 6.V

ABCD

Do đó, ta có thể đưa ra công thức tính thể tích của khối hộp theo dạng định thức của ma trận vuông cấp 3.

x

AB y

AB z

AB

V

ABEC DHGF = x

AC y

AC z

AC x

AD y

AD z

AD

(4 )

4 | P a g e

2 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng

a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Bài toán đặt ra

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm phân biệt có tọa độ gồm A (x A ; y A ) và B (x B ; y B )

Viết phương trình đường thẳng AB.

Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thông, phương trình đường thẳng AB có dạng:

u

2

(x − x

A

)− u ( y − y

A

) = 0 1

Trong đó, vector chỉ phương u = ( u1 ;u 2 ) = ( x A − x B ; y A − y B ) (6) Như vậy, kết hợp (5) và (6) ta được : ( y A − y B ) x − ( x A − x B ) y + ( x A y B − x B y A ) =

(5 )

y

A

1

− y

x

A

1 +

x

A

x

Nhận xét : Công thức (7) chính là khai triển theo hàng 1 của định thức vuông cấp 3.

(7 )

AB : x

A

y

A

x

B

y

B

(8 )

b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Bài

toán đặt ra

Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng có tọa độ gồm B (x B

; y B ; z B ) và C (x C ; y C ; z C )

Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Hướng giải quyết : Theo kiến thức phổ thông, phương trình mặt phẳng

(ABC)

a y A

(

x

A

; y

A

;

có dạ ng :

z A ),

(9 )

AB ;− x z AB ; x y (10)

Trong đó, vector pháp tuyến n = ( a;b;c ) = AB AB AB AB

y

AC z

AC x

AC z

AC x

AC y

AC

Như vậy, kết hợp (9) và (10) ta thu được định thức của ma trận vuông cấp 3.

x − x A y − y A z − z A

x

AB

y

AB

z

AB = 0

x

AC

y

AC

z

AC

5 | P a g e

Nhận xét : Công thức (11) chính là công thức khai triển tính định thức theo cột 4 của

ma trận vuông cấp 4 sau:

x − x

A

y − y

A

z − z

x

AB

y

AB

z

AB

x

AC

y

AC

z

AC

(12 )

Dùng các phép biến đổi sơ cấp cho hàng và cột của ma trận công thức (12) ta thu được

kết quả cuối cùng như sau:

(ABC):

x

A

y

A

z

(13 )

a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng Bài toán đặt ra

Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm không đồng phẳng có tọa độ gồm

B (x B ; y B ; z B ), C (x C ; y C ; z C ) và D (x D ; y D ; z D ) A(x

A

; y

A

; z

A

),

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm

trên Hướng giải quyết : Phương trình mặt cầu (S),

nhận

I (a;b;c) làm tâm, tổng quát dạng:

x2 + y2 + z2 = 2 ax + 2by + 2cz − d với a

2

+ b

2

+ c

2

− d 0

Do bốn điểm A, B,C và D nằm trên (S)

nên

2 ax + 2by + 2cz = x2 + y2 + z2

A A A A A A

B + 2by B + 2cz B = x 2 + y2 + z2

2 ax + 2by + 2cz = x

2

+ y

2

+ z

2

C C C C

2 ax + 2by + 2cz = x2 + y2 + z2

D D D D D D

(14 )

Đưa công thức (15) về dạng ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính, thu được kết quả:

a 2 x A 2 y A 2 z A −1−1x A2 + y A2 + z A2

c 2 x 2 y 2 z −1x2 + y2 + z2

2 x D 2 y D 2 z D −1 x

D + y D + z D

Từ công thức (15) có thể tìm được tọa độ tâm I (a;b;c)của phương trình mặt cầu (S) b) Viết phương trình ellipsoid Bài toán đặt ra

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng có tọa độ gồm A (x A ; y A ; z A ),

B (x B ; y B ; z B ) và C (x C ; y C ; z C )

Viết phương trình ellipsoid (E) qua ba điểm trên.

6 | P a g e

Hướng giải quyết : Phương trình ellipsoid (E), với a và b là bán kính xích đạo và c là bán kính cực, tổng quát dạng:

Do A, B và C nằm trên (E) nên

x2

a2

+

x2

A

a2

x2

B

a2

x2

C

a2

y2

b2

+ + +

+

y2

A

b2

y2

B

b2

y2

C

b2

z2

c2

+ + +

=

z2

A

c2

z2

B

c2

z

2

C

c2

1

= 1

= 1

= 1

(16 )

Đưa công thức (16) về dạng ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính, thu được kết quả:

1

a

2

x 2 y 2

(17 )

Từ công thức (17) có thể tìm được giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực của ellipsoid (E) Nhận xét : Khi các giá trị cao độ z không tồn tại hoặc bằng 0, ellipsoid trở thành ellipse.

7 | P a g e

Phần 3 – VÍ DỤ CỤ THỂ

1 Tính thể tích của khối tứ diện và khối hộp

a) Khối tứ diện

1

x

AB y

AB z

AB

ABCD AC AC AC

6 x

AD

y

AD

z

AD

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;1), B(

D (4; −1; 5) Hãy tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Bài giải chi tiết :

Bước 1: Lập ba vector dựng nên hình tứ diện ABCD.

AB = (2;1;3)

AC = (−1;2;5)

AD = (3;−2;4)

Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ các vector trên.

2

3

Bước 3: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo công thức (3).

C(0;3;6) và

V = 1 A = 1 2.2.4 +1.5.3 +3. (−1 (−2 )− 3.2.3 + (−2 ) 5.2 + 4. (−1 .1 = 43

ABCD

Bước 4: Kết luận.

Thể tích của khối tứ diện ABCD là V ABCD = 4

3 6

b) Khối hộp

V

ABEC DHGF

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A (1;1;1) ,

D (4; −1; 5) Hãy tính thể tích khối hộp ABEC.DHGF.

Bài giải chi tiết :

B ư ớ

c 1:

L ậ

p b

a vector dựng nên hình hộp ABEC.DH GF.

B(3;2;4) ,

)

và

8 | P a g e

AB = (2;1;3)

AC = (−1;2;5)

AD = (3;−2;4)

Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ các vector trên.

2

Bước 3: Tính thể tích của khối hộp ABEC.DHGF theo công thức (4).

V

ABCD

= A = 2.2.4 +1.5.3 +3.(−1).(−2)− 3.2.3 + (−2).5.2 + 4.(−1).1 = 43 Bước 4: Kết luận.

Thể tích của khối hộp ABEC.DHGF là V ABEC DHGF = 43

2 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng

a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước

AB : x

A

y

A

1 =

x

B

y

B

1

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm

đường thẳng AB.

Bài giải chi tiết :

Bước 1: Lập ma trận vuông cấp 3 theo công thức

(8).

x

A =

v à

B(6;−1) Hãy viết phương trình

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng AB bằng cách khai triển định thức ma trận A

theo hàng 1.

Bước 3: Rút gọn các định thức con ở bước 2.

AB : x 10 − y.(−6 )+ ( −54 ) = 0

Bước 4: Kết luận.

Phương trình đường thẳng AB là 5x + 3y − 27 = 0

b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước

9 | P a g e

x y z 1

(ABC):

= 0

x A y A z A 1

B B B

x

C y

C z

C 1

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm A

( 2;6;0 ), B (9;5;−8 )và C ( 7 ; 4;1 Hãy viết)

phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài giải chi tiết :

Bước 1: Lập ma trận vuông cấp 4 theo công thức (13).

A =

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) bằng cách khai triển định thức ma trận A

theo hàng 1.

( ABC ) : x 5 −8 1 − y 9 −8 1 + z 9 5 1 − 9 5

Bước 3: Rút gọn các định thức con ở bước 2.

( ABC ) : x. (−17 ) − y.47 + z.(−9 )− ( −316 ) = 0

Bước 4: Kết luận.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là 17x + 47 y + 9z − 316 =0

a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng

a 2 x A 2 y A 2 z A −1−1x A2 + y A2 + z A2

2 x B 2 y B 2 z B

2

b

d

2 x

x

Đề bài : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A (2; −3;5) , B (2;1; 0) , C (3; 2;1)

và

D (2; −3; 4) Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm trên.

Bài giải chi tiết :

Bước 1: Lập hai ma trận (bên phải dấu “=” công thức (15)) theo các tọa độ đã cho.

6 4 2 −1

Bước 2: Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S) theo công thức (15).

10 | P a g e

a

b =

c

Bước 3: Kết luận.

−

3

3

9

−8

Phương trình mặt cầu (S) là x2 + y2 + z2 + 3 x − 3 y − 9 z − 8 = 0

b) Viết phương trình ellipsoid

1

a

2

1

x 2 y 2 z 2

Từ công thức (17) có thể tìm được giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực của ellipsoid (E) Nhận xét : Khi các giá trị cao độ z không tồn tại hoặc bằng 0, ellipsoid trở thành ellipse.

Đề bài 1 : Trong mặt phẳng Oxyz, cho hai điể

m

6 7

A 1;

và B 5; Hãy viết

7

phương trình ellipse (E) đi qua hai điểm trên.

Bài giải chi tiết :

Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo các tọa độ đã cho.

1

A =

Bước 2: Tìm giá trị chiều dài và chiều rộng của ellipse theo công thức (17).

1

1

2

b Bước 3: Kết luận.

1

Phương trình ellipse (E) là x 2

+ y2

=1

11 | P a g e

Đề bài 2 : Tính thể tích quả bóng bầu dục có hình ellipsoid được đưa vào tọa độ Descartes

như sau: A(0;−1,37;0,53), B (0,74;0,93;−0,25) và C (0 , 79; −0 ,19; 0 , 33) Biết đơn vị thể tích là dm 3

Bài giải chi tiết :

Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo các tọa độ đã cho.

0 1,8769

0 , 6241 0 , 0361 Bước 2: Tìm giá trị bán kính xích đạo và bán kính cực của ellipsoid theo công thức (17).

Bước 3: Tính thể tích của ellipsoid theo công

thức

V =40, 9 2,1 0,7 =1,764

b

3

V ellipsoid

=

)

4 abc

Bước 4: Kết luận.

Thể tích của quả bóng bầu dục đó là V 5,54

b

(dm3 ).

-HẾT–

(Thuật toán MATLAB trong file kèm theo)

12 | P a g e