Thảo luận nhóm TMU môn học toán đại cương chủ đề MA TR n ĐỊNH THỨC và áp DỤNG

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Sử dụng 3 phép biến đổi sơ cấp sau đây để đưa ma trận về dạng tam giác rồi mới tính định thức: Đổi chỗ hai dòng hai cột Định thức đổi dấu Nhân một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA QUẢN TRỊ NHÂN LỰC



TIỂU LUẬN GIỮA KÌ

Môn học: Toán Đại Cương

Chủ đề

MA TR N ĐỊNH THỨC VÀ ÁP DỤNG

Nhóm thực hiện: Nhóm 1

: 2189AMAT1011

á: 57

Hà Nội, ngày 5 tháng 12 năm 2021

1

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

NHÓM 01 – LỚP HP: 2189AMAT0111 Nhóm trưởng: Hà Đức Anh

dung

dung

Hà Nội, ngày 5 tháng 12 năm 2021

Nhóm trưởng

Hà Đức Anh

2

Mục Lục Phần 1 Cơ Sở Lý Thuyết 3

I Lý thuyết 3

1 Ma trận 3

2 Các phép toán trên ma trận 4

3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 5

II Định thức 6

1 Khái niệm 6

2 Tính chất của định thức 7

3 Cách tính định thức 9

III Hạng của ma trận 10

1 Khái niệm 10

2 Tính chất của hạng ma trận 11

3 Cách tính hạng của ma trận 11

IV Ma trận nghịch đảo 13

1 Khái niệm 13

2 Tính chất của ma trận nghịch đảo 13

3 Cách tính ma trận nghịch đảo 13

4 Dùng ma trận giải phương trình ma trận 15

Phần 2 Bài Tập Vận Dụng 16

I Dạng 1: Tính toán ma trận cơ bản 16

II Dạng 2: Tính định thức 16

III Dạng 3: Tìm hạng của ma trận 18

IV Dạng 4 : Tìm ma trận nghịch đảo và giải phương trình 18

Phần 3 Ứng dụng ma trận vào thực tế 22

I Vận dụng tính doanh số trong bán hàng 22

II Ứng dụng trong khoa học 23

III Ứng dụng trong ma trận nghịch đảo 23

3

Phần 1 Cơ Sở Lý Thuyết

I Lý thuyết

1 Ma trận

1.1 Khái niệm

- Định nghĩa: Một bảng số gồm m×n số thực a , được sắp xếp thành m dòng, n ij

cột được gọi là ma trận cỡ m×n

A = (aij)m×n = [aij]m×n = + a là phần tử nằm ở dòng i, cột j trong ma trận Aij

+ Ma trận dòng thứ i: d = (a , ai i1 i2, …, ain )

+ Ma trận cột thứ j: c = i

- Các ma trận đặc biệt :

+ Ma trận đối của ma trận A:

-A = (-aij)m×n

+ Ma trận 0: là ma trận có mọi phần tử bằng 0, kí hiệu là: 0 hoặc 0.m×n

+ Ma trận bằng nhau: là 2 ma trận có cùng cỡ và tất cả các phẩn tử ở các vị trí tương ứng đều bằng nhau

Cho hai ma trận A = (aij)m×n và B = (bij)m×n

A = B = a˂ ˃ ij = b ( i = ; j = )ij  

+ Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là A' hoặc A , là ma trận nhận được từ A bằng T

cách đổi cột thành dòng, dòng thành cột tương ứng

AT = A = (a’

ij’)m×n

VD: A = A =

1.2 Ma trận vuông

- Khái niệm : Ma trận vuông là một ma trận có cỡ n×n, tức là ma trận có số dòng

và số cột bằng nhau

A = (a ) = ij m×n

- Các phần tử a11, a , …, a được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính.22 nn

- Các dạng đặc biệt :

4

+ Ma trận tam giác trên là ma trận có các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0

A = = + Ma trận tam giác dưới là ma trận có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0

A = = + Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

A =

+ Ma trận đơn vị : Kí hiệu I hoặc E n n

E=

2 Các phép toán trên ma trận

2.1 Phép cộng, trừ ma trận và phép nhân một số với ma trận

Cho hai ma trận A = , B =

- Tổng của A và B là một ma trận :

A + B =

- Hiệu của A và B là một ma trận :

A – B =

- Tích số thực k với ma trận A là một ma trận :

k.A =

- Một số tính chất: Các ma trận được xét có cỡ thích hợp:

A + B = B+A ( A, B)

A + (B + C) = (A + B) + C

A + 0 = A

A+ (-A) = 0

k.(A + B) = k.A + k.B (k  ; A, B cùng cỡ)

(k + l).A = k.A+ l.A (k,l A) ;

(k.l).A = k.(l.A) = l.(k.A) (k,l A);

1.A = A

2.2 Phép nhân hai ma trận

Cho ma trận A = ; B =

Tích A.B (A trước, B sau) là một ma trận

5

C = A.B=

với c = , ( i= ; ij  j=)

* Chú ý rằng số cột của A phải bằng số dòng của B mới thực hiện được phép nhân A.B

* Tính chất: Cho A, B, C là các ma trận có cỡ thích hợp, ta có các đẳng thức: A.(B.C) = (A.B).C

A.(B + C) = A.B + A.C

(A + B).C = A.C + B.C

A.E = E.A = A

3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Sử dụng 3 phép biến đổi sơ cấp sau đây để đưa ma trận về dạng tam giác rồi mới tính định thức:

Đổi chỗ hai dòng (hai cột) Định thức đổi dấu

Nhân một dòng (một cột) với một số k khác 0 Định thức tăng k lần

Nhân một dòng (một cột) với một số rồi cộng

vào một dòng (một cột) khác

Định thức không thay đổi

II Định thức

1 Khái niệm

- Định nghĩa : Cho ma trận vuông cấp n : A= Định thức của ma trận A là một số thực có kí hiệu |A| hoặc det(A) và độ lớn được xác định theo cách dưới đây:

+ Định thức của ma trận vuông cấp một A = là một số thực được xác định như sau:

|A| = || = + Giả sử đã có công thức tính định thức đến cấp n-1 Khi đó, độ lớn của định thức

ma trận vuông cấp n : A= được xác định như sau:

|A| = =

+ Trong đó : là định thức cấp n-1 nhận được từ |A| bằng cách xóa đi dòng thứ i và cột thứ j, i là một dòng tùy ý của ma trận

6

* Hệ quả

Định thức cấp hai:

=

VD:

Định thức cấp ba (công thức Sarraut):

=

VD:

* Chú ý :

- Ta thường chọn dòng i có nhiều phần tử bằng 0 nhất để dễ tính toán

- Có thể đổi vai trò của i và j trog công thức trên, nghĩa là có thể khai triển định thức theo cột j tùy ý

- Khái niệm định thức chỉ phát biểu cho các ma trận vuông

- Khi |A| ≠ 0 thì nói A là ma trận vuông không suy biến

- Ma trận của các phép biến đổi sơ cấp là không suy biến

2 Tính chất của định thức

|A’| =|A|

VD:

- Tính chất này nói lên vai trò bình đẳng của "cột" và "dòng" trong định thức Vì vậy, các tính chất sau chỉ phát biểu với "dòng" nhưng đều đúng với "cột":

+ Định thức bằng 0 nếu có một dòng chỉ gồm các phần tử 0.

VD:

+ Định thức bằng 0 nếu nó chứa hai dòng tỉ lệ.

Hệ quả 1:

+ Định thức bằng 0 nếu nó chứa hai dòng giống nhau

VD:

+ Nếu giao hoán hai dòng khác nhau thì định thức đổi dấu

VD:

7

+ Nếu nhân các phần tử của một dòng nào đó với số k thì định thức nhân lên đúng bằng k

Hệ quả 2:

+ Thừa số chung của một dòng nào đó đều có thể đưa ra ngoài dấu định thức

VD:

+ Nếu nhân một dòng nào đó với một số bất kỳ rồi cộng vào một dòng khác thì định thức không thay đổi

Hệ quả 3: Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức không đổi

Hệ quả 4:

+ Nếu có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thì định thức bằng 0 + Nếu các phần tử của cột j nào đó là tổng của các cặp số hạng thì có thể phân tích định thức thành tổng của hai định thức, trong đó: Các cột khác giữ nguyên còn cột thứ j thì mỗi số hạng của từng phần tử phân về một định thức thành phần

VD:

= +

+ A và B là các ma trận vuông cùng cỡ thì |AB| = |A||B|

+ Nếu A có dạng tam giác trên hoặc tam giác dưới thì định thức của A đúng bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính

VD: = 2.1.6 = 12

+ Nếu B, D là các ma trận vuông và A có dạng

A = thì |A| = |B||D|

|| = 1, ∀n

3 Cách tính định thức

3.1 Tính định thức bằng định nghĩa

Tức là phân tích định thức theo một dòng, hoặc một cột để đưa về tổng của các định thức có cấp thấp hơn theo công thức:

8

= =

VD:

3.2 Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp

- Tính định thức theo cách khai triển theo dòng hoặc theo cột thường dẫn đến một tổng của n định thức cấp n−1

- Khi n lớn và định thức không có hình dáng gì đặc biệt thì cách tính này là dài, cần nhiều phép tính

- Trong khi đó, nếu định thức có nhiều phần tử 0, nằm về một góc nào đó thì số

số hạng trong khai triển sẽ giảm đáng kể

- Vậy, trước khi phân tích định thức ta nên đưa định thức về dạng đặc biệt (thường là dạng tam giác hoặc dạng

Khi đó ta cần dùng các phép biến đổi sơ cấp sau:

- Giao hoán hai dòng hoặc hai cột (định thức đổi dấu)

- Nhân các phần tử của một dòng hoặc cột với một số α ≠ 0 (định thức nhân lên α lần)

- Nhân các phần tử của một dòng (hoặc một cột) với một số rồi cộng vào các phần tử tương ứng của một dòng (cột) khác (định thức không đổi)

Chú ý : (Về cách biến đổi sơ cấp)

- Nên đưa về dạng ma trận tam giác để dễ theo dõi nhất Tuy nhiên, điều đó không phải là bắt buộc

- Sẽ là thuận tiện nếu ở mỗi bước biến đổi phần tử phía trên bên trái (a11) là 1 hoặc −1 hoặc đó là ước số chung của các phần tử phía dưới, cùng cột

- Nếu a1j = ±1 thì có thể đưa các phần tử phía dưới phần tử đó về 0

- Nên chia cho thừa số chung (đưa ra ngoài dấu định thức) để các phần tử bé hơn

- Nên tránh xuất hiện các phân số

VD:

9

III Hạng của ma trận

1 Khái niệm

Cho ma trận cỡ m × n:A = (aij)m×n

Định thức con:

Với số nguyên dương k ≤ min{m,n} ta lấy ra k dòng và k cột nào đó của ma trận

A Các phần tử nằm ở giao của k hàng và k cột đó cho ta 1 ma trận vuông cấp k Định thức của ma trận con đó được gọi là định thức con cấp k của ma trận A, ứng với k dòng, k cột đã chọn

Định nghĩa

- Hạng của ma trận O bằng 0

- Khi A ≠ O, nói ma trận A có hạng bằng r nếu A có ít nhất 1 định thức con cấp r khác 0 và không có định thức con nào có cấp r + 1 trở lên khác 0

( Nói cách khác, hạng của 1 ma trận A ≠ 0 là cấp của định thức con có cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của A.)

VD:

Nhìn vào dạng đặc biệt của ma trận A, dựa vào định nghĩa về hạng, ta thấy ngay:

2 Tính chất của hạng ma trận

r(A) = r(A’) với mọi ma trận A

Nếu A có cỡ là m × n thì 0 ≤ r(A) ≤ min{m,n}

r(AB) ≤ min{r(A); r(B)}

Thêm dòng hoặc thêm cột hạng của ma trận sẽ không giảm đi (tăng hoặc giữ

nguyên)

3 Cách tính hạng của ma trận

3.1 Phương pháp định thức con bao

10

- Trong 1 ma trận nếu tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì mọi định thức con cấp cao hơn k đều bằng 0

- Định lý 1.1 : Nếu ma trận có định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp r +1 bao nó đều bằng 0 thì r(A) = r

VD: Tìm hạng của ma trận

Ta thấy:

Tính các định thức con bao nó :

Ta thấy:

- Định thức con bao cấp 3 khác:

- Không cần tính tiếp các định thức con bao cấp 3 khác Định thức khác 0 này có

2 định thức con cấp 4 bao nó là :

(vì )

Vậy r(A) = 3

3.2 Phương pháp biến đổi cơ cấp

Định lý: Ba phép biến đổi sơ cấp trên các dòng hay các cột của một ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận

Các phép biến đổi sơ cấp thường được biểu thị bởi biểu tượng kéo theo: “=>”

VD : Tìm hạng của ma trận

= B

Dễ thấy định thức con cấp cao nhất khác 0 của ma trận cuối cùng là định thức cấp 3

= 22 0 Vậy

IV Ma trận nghịch đảo

11

1 Khái niệm

- Khái niệm: Cho A là một ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận X, sao cho

AX = XA = E (E là ma trận đơn vị cấp n)

thì nói ma trận A là khả nghịch và X gọi là ma trận nghich đảo của ma trận A, kí hiệu X = A Như vậy :-1

A-1A = A A = E-1

- Điều kiện khả nghịch : Ma trận vuông cấp n khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0

2 Tính chất của ma trận nghịch đảo

- Ma trận vuông A khả nghịch thì A xác định duy nhất -1

- Ma trận vuông A khả nghịch thì ( A-1)-1 = A

- Nếu hai ma trận A, B cùng cỡ và cùng khả nghịch thì (AB) = A-1 -1B-1

- E = E với E là ma trận đơn vị cấp tùy ý.-1

- Ma trận vuông A khả nghịch thì (A = (A’) -1)’ -1

3 Cách tính ma trận nghịch đảo

:

Cách 1 Phương pháp định thức

Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng:

- Bước 1: Tính định thức của ma trận của ma trận A

+ Nếu det(A) = 0 thì không có ma trận nghịch đảo A-1

+ Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo A-1  Chuyển sang bước 2

- Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A’ của A

- Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau : A* =(Aij’)nn

với A’= A ’ là phần bù đại số của phần tử ở hang cột i, cột j trong ma trận A’.ij

- Bước 4: Tính ma trận A-1 =

Cách 2: Phương pháp biến đổi sơ cấp

Cho ma trận A vuông cỡ nxn với |A| ≠0 Lập ma trận (A|E) cỡ nx2n gồm 2 khối, trong đó E là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A Ma trận (A|E) gọi là ma trận

bổ sung của ma trận A Biển đổi sơ cấp liên tiếp trên các dòng của ma trận bổ sung

12

sao cho khối bên trái là A trở thành E (điều này thực hiện được do |A| ≠0) thì khối bên phải là E sẽ trở thành A -1

Chú ý:

+ Sau khi lập ma trận bổ sung chỉ được phép biến đổi sơ cấp theo dòng đối với

ma trận đó, không được phép biến đổi sơ cấp theo cột Biến đổi đồng thời cả hai khối A và E

+ Trước khi lập ma trận bổ sung , không được biến đổi sơ cấp trên ma trận A

VD: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp định thức Ta có :

Ma trận nghịch đảo của A là:

Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp Xét ma trận: A

Ma trận nghịch đảo của A là:

4 Dùng ma trận giải phương trình ma trận

- Cho A là một ma trận vuông khả nghịch , B có cỡ phù hợp X là ma trận chưa biết cần tìm Ta có:

AX = B X = A B⇔ -1

- Ta có thể kiểm tra bằng cách nhân A vào bên trái hai vế của phương trình:-1

XA = B X =BA⇔ -1

13

Phần 2 Bài Tập Vận Dụng

I Dạng 1: Tính toán ma trận cơ bản

Bài 1 Cộng trừ ma trận sau:

a + b -

Lời giải

+ =

- =

Bài 2 Nhân 2 ma trận:

Lời giải

x =

Bài 3 Cho = và ma trận =

Tính

Lời giải

Ta có: =

= - 3- 4

14

=

II Dạng 2: Tính định thức

Bài 1 Tính các định thức sau:

a b c

Lời giải

a.=

b

c

Bài 2

Lời giải

b

III Dạng 3: Tìm hạng của ma trận

Bài 1 Tính hạng của ma trận sau :

a A = b B =

Lời giải

a Ta có :

A =

Vậy r (A) = 3

b Ta có :

B =

Vậy r(B) = 3 với mọi a

IV Dạng 4 : Tìm ma trận nghịch đảo và giải phương trình

15

Bài 1 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau :

a A b A c A

Lời giải a Lập ma trận bổ sung ta có: =

A là ma trận khả nghịch

b Ta có : = = - 27 0 3 6

6 6

6 6

6 3

3

Ma trận nghịch đảo của A là:

c Ta có : = 1 0 3 3 0 0 2

1 3

5

6

7

Ma trận nghịch đảo của A là:

Bài 2 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau :

A

Lời giải

Xét hệ :

16

(1) (2) (3) (4) ( ) (*)

(*) (1) ( )

(*) (2) )

(*) (3) )

(*) (3) )

Vậy

Bài 3 Dùng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận sau:

X = b X =

Lời giải

a Đặt A = ; B =

Ta có: A.X = B X = B

Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: =

Suy ra: X = =

b Đặt A = ; B =

Ta có: X.A = B X = B

Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: =

Suy ra: X = =

Phần 3 Ứng dụng ma trận vào thực tế

I Vận dụng tính doanh số trong bán hàng

17

VD: Công ty có 2 cửa, bán 4 mặt hàng M1, M2, M3, M4 với đơn giá 10; 20; 30;

40 (ngàn đồng/cái)

* Doanh số tháng 1/2021 :

M1 M2 M3 M4

A =

* Doanh số tháng 2/2021 :

M1 M2 M3 M4

B =

Tính doanh thu và tổng doanh số của 2 cửa hàng trong 2 tháng ?

Lời giải :

Tổng doanh số tháng 1 và tháng 2 là :

A + B = +

Doanh thu 2 cửa hàng trong tháng 1/2021 là :

C = A x = x = (Nhân 2 ma trận)

Vậy doanh thu của cửa hàng 1 trong tháng 1/2021 là 2.250.000 đồng

doanh thu của cửa hàng 2 trong tháng 1/2021 là 3.250.000 đồng

Doanh thu của 2 cửa hàng trong tháng 2/2021 là:

D = B x = x = (Nhân 2 ma trận)

Vậy doanh thu cửa hàng 1 trong tháng 2/2021 là 1.620.000 đồng

doanh thu cửa hàng 2 trong tháng 2/2021 là 2.240.000 đồng

II Ứng dụng trong khoa học

Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợp chất hóa học nào đó A, B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt trước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học Biết rằng nếu kết hợp dung dịch chứa A với tỉ

lệ 1,5 g/cm với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3,6 g/cm và dung dịch chứa C với tỉ lệ 5,3 g/cm thì tạo ra 25,07 g hợp chất hóa học đó Nếu tỉ lệ của A, B, C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2,5; 4,3 và 2,4 g/cm (trong khi thể tích là giống nhau), khi đó 22,36 g chất hóa học sẽ được tạo ra Cuối cùng, nếu tỉ lệ tương ứng là 2,7;

18