Ma trận (toán đại học)

Dạng bậc thang của ma trậnĐịnh nghĩa Một ma trận được gọi là một ma trận bậc thang nếu các dòng 0 của nónếu có nằm dưới các dòng khác 0, và trên mỗi dòng khác 0 phần tửkhác 0 đầu tiên củ

CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

Khoa Toán Kinh tế

Ngày 24 tháng 9 năm 2021

Ví dụ mở đầu

Ví dụ

Một hãng sản xuất 3 sản phẩm, ký hiệu S1, S2, S3 Mỗi mặt hàng có sốkhách hàng tìm hiểu và số lượng tiêu thụ trong một quý được biểu diễnnhư sau:

Sản phẩm S1 S2 S3

Số khách hàng 2230 954 458Lượng tiêu thụ 1520 510 169

Bảng trên tương ứng với một "ma trận" 2 hàng và 3 cột: (matrix):

A = 2230 954 458

1520 510 169

!

.

Đôi khi người ta dùng dấu móc vuông ở hai bên thay cho dấu ngoặc tròn.

Kích thước ma trận: m dòng và n cột A được gọi là ma trận cấp

m × n.

Nếu m = n thì ta gọi A là ma trận vuông cấp n.

Tập hợp tất cả các ma trận cấp m × n trên R được ký hiệu là

M m×n (R) Khi m = n, ký hiệu gọn thành M n(R)

Ta biểu diễn mức dịch chuyển của khách hàng và thị phần của công ty A,

Một số chú ý về phép nhân ma trận

AB và BA thường không bằng nhau

Nếu AB = 0 (ma trận 0) không có nghĩalà A = 0 hay B = 0.

Do đó, nếu A vuông và A k = 0 thìkhông có nghĩa là A = 0.

Nếu AB = AC thìkhông có nghĩalà B = C

Các tính chất trên khácvới phép nhân số thông thường

Không có các tính chất trên làm cho việc giải phương trình ma trận

phức tạphơn so với việc giải phương trình với số

Bài tập (làm ở nhà)

Lấy ví dụ minh họa cho các chú ý nêu trên?

Tổng hay hiệu của 2 ma trận đối xứng là ma trận đối xứng.

Tổng hay hiệu của 2 ma trận phản xứng là ma trận phản xứng

Dạng bậc thang của ma trận

Định nghĩa

Một ma trận được gọi là một ma trận bậc thang nếu các dòng 0 của nó(nếu có) nằm dưới các dòng khác 0, và trên mỗi dòng khác 0 phần tửkhác 0 đầu tiên của dòng trên nằm ở cột bên trái so với cột chứa phần tửkhác 0 đầu tiên của dòng dưới

Các phần tử khác 0 đầu tiên trên mỗi dòng được gọi là các phần tử trụ

Các phép biến đổi sơ cấp dòng

Định nghĩa

Có 3 loại phép biến đổi sơ cấp dòng

1 Loại 1: Hoán vị 2 dòng i và j của ma trận, ký hiệu d i ↔ d j

2 Loại 2: Nhân dòng i với 1 số α 6= 0, ký hiệu d i → αd i

3 Loại 3: Cộng dòng i với α lần dòng j, ký hiệu d i → d i + αd j

Ứng dụng: Ta sẽ khai thác các phép biến đổi sơ cấp nói trên để đưa matrận về dạng ma trận đơn giản hơn, ví dụ dạng bậc thang, giúp các tínhtoán, giải hệ phương trình được thuận lợi hơn

Thuật toán Gauss đưa ma trận về dạng bậc thang

Dùng để đưa một ma trận tùy ý về dạng bậc thang

Nếu a ij = 0 và không tìm được a kj 6= 0, k > i thì cột j không có phần

tử trụ Khi đó, ta bỏ qua j và lặp lại bước 2 với cột j + 1.

Thuật toán Gauss (tt)

Bước 3: Với a ij là phần tử trụ, lần lượt thực hiện các phép biến đổi

. 0 • . •

. 0 • . •

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (BĐSC) (tt)

Ví dụ Biến đổi A về dạng ma trận bậc thang

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (BĐSC) (tt)

Ví dụ Biến đổi A về dạng ma trận bậc thang

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (BĐSC) (tt)

Ví dụ Biến đổi A về dạng ma trận bậc thang

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (BĐSC) (tt)

Ví dụ Biến đổi A về dạng ma trận bậc thang

Hạng của ma trận

Định nghĩa

Một ma trận A có thể có nhiều dạng bậc thang, tuy nhiên tất cả các dạng bậc thang của A đều có cùng số dòng khác 0 Ta gọi số dòng khác 0chung này là hạng của A, ký hiệu là r (A) hay rank(A)

Tính chất

Cho A là ma trận cấp m × n Khi đó,

0 ≤ r (A) ≤ m, n.

r (A T ) = r (A).

Ma trận chính tắc theo dòng

Định nghĩa

Ma trận chính tắc theo dòng là ma trận bậc thang thỏa mãn các điềukiện: Các phần tử trụ có giá trị là 1, gọi là các số 1 chuẩn, và tất cảcác vịtrí còn lại của cột chứa số 1 chuẩn đều có giá trị 0 (cột này được gọi là

Thuật toán Gauss-Jordan

Từ ma trận A, dùng thuật toán Gauss ta đưa được về dạng bậc thang B.

Từ B, làm từ dòng dưới cùng khác 0 ngược về dòng đầu: Chia dòng chứa phần tử trụ a ij cho a ij để biến phần tử trụ thành số 1 chuẩn, sau

đó dùng số 1 chuẩn khử các phần tử khác 0 còn lại trên cột chuẩn

Khái niệm hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính là hệ có dạng tổng quát như sau:

Biểu diễn hệ tuyến tính bằng ma trận

Định lý Kronecker-Capelli

Định lý

Nếu r (˜ A) > r (A) thì hệ vô nghiệm

Nếu r (˜ A) = r (A) = n thì hệ có nghiệmduy nhất

Nếu r (˜ A) = r (A) < n thì hệ có vô số nghiệm với bậc tự do là

n − r (A)

Câu hỏi: Ngoài ba trường hợp trên, có trường hợp nào khác nữa không?

Vì sao?

Phương pháp khử Gauss

Thuật toán Gauss

Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ˜A về dạng bậc thang

Nếu xuất hiện 1 dòng có dạng (0 0 0 | a), với a 6= 0 thì ta kết

luận hệvô nghiệm

Nếu không có dòng nào có dạng trên thì ta dùng phép thế ngược từdưới lên trên của hệ để xác định nghiệm

Phương pháp khử Gauss

Thuật toán Gauss

Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ˜A về dạng bậc thang

Nếu xuất hiện 1 dòng có dạng (0 0 0 | a), với a 6= 0 thì ta kết

luận hệvô nghiệm

Nếu không có dòng nào có dạng trên thì ta dùng phép thế ngược từdưới lên trên của hệ để xác định nghiệm

Phương pháp Gauss-Jordan

Nếu ta tiếp tục dùng phép sơ cấp dòng để biến đổi dạng bậc thangcủa thuật toán Gauss về dạng bậc thang rút gọnthì ta có thuật toánGauss-Jordan

Ta sẽ mất nhiều phép biến đổi sơ cấp dòng hơn so với thuật toánGauss, nhưng bù lại, ta không phải thế ngược từ dưới lên mà có thể

đọc nghiệm trực tiếp từ ma trận

Trong thực tế, người ta cân nhắc chi phí, thời gian tính toán để lựachọn Gauss hay Gauss-Jordan

Phương pháp Gauss-Jordan

Nếu ta tiếp tục dùng phép sơ cấp dòng để biến đổi dạng bậc thangcủa thuật toán Gauss về dạng bậc thang rút gọnthì ta có thuật toánGauss-Jordan

Ta sẽ mất nhiều phép biến đổi sơ cấp dòng hơn so với thuật toánGauss, nhưng bù lại, ta không phải thế ngược từ dưới lên mà có thể

đọc nghiệm trực tiếp từ ma trận

Trong thực tế, người ta cân nhắc chi phí, thời gian tính toán để lựachọn Gauss hay Gauss-Jordan

Định thức của A, ký hiệu |A| hay det(A) là một số thực được xác định

bằng quy nạp theo n như sau:

Nếu n = 1, nghĩa là A = (a11), thì ta định nghĩadet(A) = a11

cij như định nghĩa trên được gọi là phần bù đại số của a ij.

Bài tập: Tìm hiểu về ý nghĩa của định thức trong tỷ lệ diện tích, thể tích

cij như định nghĩa trên được gọi là phần bù đại số của a ij.

Bài tập: Tìm hiểu về ý nghĩa của định thức trong tỷ lệ diện tích, thể tích

Cách tính định thức (tt)

Nhận xét

Nếu A có 1 dòng hay 1 cột bằng 0thì det(A) = 0

Nếu A là ma trậntam giác thì det(A) bằng tích các phần tử trện

đường chéo chính

Khi khai triển, đểtiết kiệmcông tính toán, ta chọn dòng hay cột nào

có nhiều số 0 nhất để khai triển

Tính chất của định thức

Tính chất

det(A T ) = det(A)

det(AB) = det(A) det(B)

Ma trận khả nghịch tương đương với det(A) 6= 0.

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sơ cấp hữu ích trong tính toán định thức

Sau đây, là tác động của các phép biến đổi sơ cấp đối với định thức

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp (tt)

• Ngoài ra, do det(A T ) = det(A), nên ta có thể dùng thêm phép biến đổi

sơ cấp cột, các tính chất hoàn toàn tương tự phép biến đổi dòng

Định lý

Nếu A −−−−→ B thì det(A) = − det(B) c i ←→c j

Nếu A −−−−→ B thì det(B) = α det(A) c i →αc i

Nếu A−−−−−−→c i →c i +αc j

i 6=j B thì det(B) = det(A)

Định thức và các phép biến đổi sơ cấp (tt)

Tóm lại

Nếu đổi2 dòng (hoặc cột) của ma trận thì phảiđổi dấu định thức.Nếu 1 dòng (hay cột) nào đó chia hết cho1 số α thì ta có thể đem số

α ra ngoài dấu định thức làmnhân tử chung

Nếu ta dùng phép biến đổi loại 3 đối với dòng (hoặc cột )thìkhônglàm thay đổigiá trị định thức

Phương pháp Cramer (tt)

Nếu ∆ = 0 và có một ∆i 6= 0 thì hệ vô nghiệm

Nếu ∆ = 0 và ∆i = 0, ∀i thì không xác định đượchệ vô nghiệmhay

hệ vô số nghiệm

Một số ứng dụng

Mô hình cân bằng một hàng hóa

Ký hiệu p là giá của một đơn vị hàng hóa, hàm cung

Qs (p) = −a0+ a1p

và hàm cầu

Qd (p) = b0− b1p

với các tham số a0, a1, b0, b1 dương

Cho ví dụ về đơn vị của giá p và đơn vị của các tham số nêu trên?

Ví dụ p có đơn vị là $; a1 , b1 có đơn vị là $−1

Giải thích về dấu các tham số có dấu?

a1 > 0 do hàm đồng biến; b1 > 0 do hàm nghịch biến.

Nếu tại thời điểm khởi đầu sản xuất/ cung cấp, Q s gần 0, nếu giá a0/a1

không dương thì bên bán sẽ không muốn bán Tương tự, Nếu khi giá gần

0, nhu cầu b0 âm thì tức là thị trường không cần mặt hàng xuất hiện

Một số ứng dụng

Mô hình cân bằng một hàng hóa

Ký hiệu p là giá của một đơn vị hàng hóa, hàm cung

Qs (p) = −a0+ a1p

và hàm cầu

Qd (p) = b0− b1p

với các tham số a0, a1, b0, b1 dương

Cho ví dụ về đơn vị của giá p và đơn vị của các tham số nêu trên?

Ví dụ p có đơn vị là $; a1, b1 có đơn vị là $−1

Giải thích về dấu các tham số có dấu?

a1 > 0 do hàm đồng biến; b1 > 0 do hàm nghịch biến.

Nếu tại thời điểm khởi đầu sản xuất/ cung cấp, Q s gần 0, nếu giá a0/a1

không dương thì bên bán sẽ không muốn bán Tương tự, Nếu khi giá gần

0, nhu cầu b0 âm thì tức là thị trường không cần mặt hàng xuất hiện

Một số ứng dụng

Mô hình cân bằng một hàng hóa

Ký hiệu p là giá của một đơn vị hàng hóa, hàm cung

Qs (p) = −a0+ a1p

và hàm cầu

Qd (p) = b0− b1p

với các tham số a0, a1, b0, b1 dương

Cho ví dụ về đơn vị của giá p và đơn vị của các tham số nêu trên?

Ví dụ p có đơn vị là $; a1, b1 có đơn vị là $−1

Giải thích về dấu các tham số có dấu?

a1 > 0 do hàm đồng biến; b1 > 0 do hàm nghịch biến.

Nếu tại thời điểm khởi đầu sản xuất/ cung cấp, Q s gần 0, nếu giá a0/a1

không dương thì bên bán sẽ không muốn bán Tương tự, Nếu khi giá gần

0, nhu cầu b0 âm thì tức là thị trường không cần mặt hàng xuất hiện

Một số ứng dụng

Mô hình cân bằng một hàng hóa

Ký hiệu p là giá của một đơn vị hàng hóa, hàm cung

Qs (p) = −a0+ a1p

và hàm cầu

Qd (p) = b0− b1p

với các tham số a0, a1, b0, b1 dương

Cho ví dụ về đơn vị của giá p và đơn vị của các tham số nêu trên?

Ví dụ p có đơn vị là $; a1, b1 có đơn vị là $−1

Giải thích về dấu các tham số có dấu?

a1 > 0 do hàm đồng biến; b1 > 0 do hàm nghịch biến.

Nếu tại thời điểm khởi đầu sản xuất/ cung cấp, Q s gần 0, nếu giá a0/a1

không dương thì bên bán sẽ không muốn bán Tương tự, Nếu khi giá gần

0, nhu cầu b0 âm thì tức là thị trường không cần mặt hàng xuất hiện

Ví dụ Cho Qs = −5 + p, Q d = 55 − 3p; p là giá theo $.

a Tìm giá cân bằng thị trường?

b Tìm lượng (cung và cầu) cân bằng?

Mô hình cân bằng nhiều hàng hóa

Mô hình cân bằng nhiều hàng hóa

Mô hình cân bằng Kinh tế vĩ mô

Mô hình IS-LM (đọc thêm)

Đây là hệ phương trình tuyến tính với hai biến số: Y và r

Mô hình Input-Output Leontief (Nobel kinh tế 1973)

Chú ý.

a ij : để sản xuất ra một đơn vị giá trị của hàng hóa ngành j cần a ij giátrị từ ngành i;

P

i = 1,n a ij ≤ 1: Tổng các phần tử trên cột j là tỉ phần chi phí đầu vào

mà ngành j phải trả cho việc mua hàng hóa trung gian tính trên 1đơn vị giá trị hàng hóa

Hiệu a 0j = 1 −P

i = 1,n aij là hệ số tỉ phần gia tăng trong tổng giá trịhàng hóa của ngành j

Ma trận tổng cầu X = (I − A)−1B.



a) Giải thích ý nghĩa của hệ số a23 của ma trận hệ số đầu vào?

b) Tìm hệ số tỉ phần gia tăng a 0j của từng ngành (j=1,2,3)

c) Tìm đầu ra (X) cho mỗi ngành biết cầu cuối (B) của mỗi ngành lầnlượt là 85, 40, 5

d) Tìm cầu cuối (B) của mỗi ngành biết đầu ra (X) của mỗi ngành lầnlượt là 40, 40,30

CẢM ƠN!

THANK YOU!

028 37244555 www.uel.edu.vn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT

Số 669, đường Quốc lộ 1, khu phố 3, phường Linh Xuân,

quận Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh