Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 02.. 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số
Trang 1Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
02 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM PHÂN THỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Loại 2 : Các bài toán về tọa độ giao điểm
Ví dụ 1: Cho hàm số y x
x
2 4 1
+
=
− (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N sao cho
MN =3 10
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường thẳng ( ) :d y=k x( − +1) 1
Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình
x
k x x
y k x
2 4
( 1) 1 1
( 1) 1
− +
(I)
có hai nghiệm ( ; ), ( ; )x y1 1 x y2 2 phân biệt sao cho (x2−x1) (2+ y2−y1)2 =90 (a)
Ta có: I kx k x k
y k x
( )
( 1) 1
⇔
(I) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ kx2−(2k−3)x k+ + =3 0 ( )b có 2 nghiệm phân biệt ⇔ k 0,k 3.
8
≠ <
Ta biến đổi (a) trở thành: (1+k2)(x2−x1)2 =90⇔ +(1 k2)(x2+x1)2−4x x2 1=90 (c)
Theo định lí Viet cho (b) ta có: x x k x x k
1+ 2=2 −3, 1 2= +3, thế vào (c) ta có phương trình:
k3 k2 k k k2 k
8 +27 +8 − = ⇔ +3 0 ( 3)(8 +3 − =1) 0 k 3; k 3 41; k 3 41
Ví dụ 2: Cho hàm số y x
x
2 1 1
+
= +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng (d): y=kx+2k+1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm: x kx k x
x kx2 k x k
1
≠ −
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ k
k2 k
0
6 1 0
∆
≠
= − + >
0
≠
< − ∨ > +
(**) Khi đó: A x kx( ;1 1+2k+1), ( ;B x kx2 2+2k+1)
Ta có: d A Ox( , )=d B Ox( , ) ⇔ kx1+2k+ =1 kx2+2k+1 ⇔ k x( 1+x2) 4+ k+ =2 0⇔ k= −3 (thoả (**)
Ví dụ 3: Cho hàm số y x
x
2 1
=
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m để đường thẳng d y: =mx m− +2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB ngắn nhất
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm: x mx m
x
1= − +
g x mx2 mx m
1
≠
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ m>0
Trang 2Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn
Khi đó: A x mx( ;1 1− +m 2), ( ;B x mx2 2− +m 2) ⇒ AB2= +(1 m) (2 x2−x1)2
Theo định lí Viet, ta có: x x x x m
m
AB m
m
Dấu "=" xảy ra ⇔ m 1= Vậy minAB=4 khi m 1=
Ví dụ 4: Cho hàm số y x
x
2
2 2
+
=
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m để đường thẳng d y: = +x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA2 OB2 37
2
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x x m
x
2
2 + = +2
−
x
g x x2 m x m
1 ( ) 2 (2 3) 2( 1) 0
≠
⇔
g
2
(1) 3 0
∆
= ≠
nên d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
Gọi A x x( ;1 1+m B x x), ( ;2 2+m) Theo định lí Viet, ta có:
m
x x
x x m
1 2
2 3 2 ( 1)
+ = −
Ta có: OA2 OB2 37
2
2 + + = 2 ⇔ m 5;m 2
2
Ví dụ 5: Cho hàm số y x
x
1
=
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m để đường thẳng d y: =mx m− −1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM2+AN2 đạt giá trị nhỏ nhất, với A( 1;1)−
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x mx m x
x mx2 mx m
1 1
≠
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ m<0
Gọi I là trung điểm của MN ⇒ I(1; 1)− cố định
Ta có: AM AN AI MN
2
2 + = + Do đó AM2+AN2nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất
MN x x m m
m
4
= − + = − − ≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ m= −1
Vậy: min(AM2+AN2) 20= khi m= −1
Ví dụ 6: Cho hàm số y x
x
2 1 1
−
=
− (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m để đường thẳng d: y= +x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ∆OAB vuông tại O
Hướng dẫn giải:
PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x2+(m−3)x+ − =1 m 0, x≠1 (*)
(*) có ∆=m2−2m+ > ∀ ∈5 0, m R và (*) không có nghiệm x = 1
⇒ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là x A, x B Theo định lí Viét: A B
x x m
x x m
3
+ = −
= −
Khi đó: A x x( A; A+m B x x) (, B; B+m)
OAB
∆ vuông tại O thì OA OB.= ⇔0 x x A B+(x A+m x)( B+m)=0
x x m x x m2 m
Vậy: m = –2 là giá trị cần tìm