Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao
Bài 1 Tìm m đ đ ng th ng (d): y=-x+m c t đ th (C): y x
x 1
t i 2 đi m phân bi t
Gi i
Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (d) và (C):
1 , 0 )
2 ( )
( 1
x
x
(1)
(d) c t (C) t i 2 đi m phân bi t khi và ch khi (1) có 2 nghi m phân bi t
V y v i m i m thì (d) c t (C) t i 2 đi m phân bi t
1
x y
x (H) G i (d) là đ ng th ng đi qua đi m A(-2;2) và có h s góc m
Xác đ nh m đ (d) c t (H):
a) t i 2 đi m phân bi t
b) t i 2 đi m thu c 2 nhánh c a (H)
Gi i
+ ng th ng (d) đi qua đi m A(-2;2), có h s góc m có ph ng trình d ng: ymx2m2
+ Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (d) và (H) là: 2 1 2 2, ( 1)
1
x
2
(2 3) 0
mx mx m (*) t: g x( )mx2mx(2m3)
a) (d) c t (H) t i 2 đi m phân bi t khi và ch khi ph ng trình (*) có 2 nghi m phân bi t khác 1
2
0
4
3 0
m
S T NG GIAO C A HÀM PHÂN TH C
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng S t ng giao c a hàm phân th c thu c khóa h c
Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u
qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này
Trang 2+ Giá tr c n tìm là: 4
3
m ho c m0 b) + (d) c t (H) t i 2 đi m thu c 2 nhánh c a (H) khi và ch khi ph ng trình (*) có 2 nghi m x x1, 2
th a mãn x1 1 x2
+ t t x 1 ph ng trình (*) tr thành: 2
+ Ph ng trình (*) có 2 nghi m x x1, 2 th a mãn x1 1 x2
Ph ng trình (**) có 2 nghi m t t1 2, th a mãn t1 0 t2
m
+ V y, giá tr c n tìm là: m0
1
x y x
G i d là đ ng th ng đi qua A (1; 1) và có h s góc k Tìm k sao cho d
c t (C) t i 2 đi m M, N mà MN3 10
Gi i
– ng th ng d có ph ng trình: y = k(x – 1) + 1
- d c t (C) t i 2 đi m phân bi t M, N thì ph ng trình:
2
1
x
x
2
0
0 3
8
8
k
k
k
(1)
- G i M(x1, y1), N(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
1 2 ( 1 1) 1 ( ( 2 1) 1 90
90
(x1, x2 là nghi m c a (*) nên theo Viet ta có: x1 x2 2k 3;x x1 2 k 3
Trang 3
8k 27k 8k 3 0 (k 3)(8k 3k 1) 0
3
3 41 16
k
k
(Th a mãn (1))
áp s :
3
3 41 16
k k
1
x y x
(C) Tìm m đ đ ng th ng (d): y = 2x + m c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B sao cho AB ng n nh t
Gi i
– (d) c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
2 1
1
x
x
2 2
2 0
m
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
5(x x ) 5 ( x x ) 4x x
2
2 2
=> AB ng n nh t (d u = x y ra) khi m = -1
áp s : m = -1
1
x y x
(1) Tìm k đ đ ng th ng (d) đi qua đi m I(-1; 1) v i h s góc k c t đ th hàm s (1) t i 2 đi m A, B sao cho I là trung đi m AB
Trang 4– (d) có ph ng trình: y = k(x + 1) + 1
- (d) c t đ th (1) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
3
( 1) 1 1
x
k x x
kx2
+ 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghi m phân bi t khác -1
2
0
k
(1)
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
I là trung đi m AB ta ph i có:
1 2
1 2
x x
2
x x
x x
-2 = -2 (Luôn đúng)
V y v i k < 0 thì d luôn c t đ th hàm s (1) t i 2 đi m A, B và I là trung đi m
1
x y x
(C) Tìm m đ đ ng th ng d: y = mx + 2 c t (C) t i 2 đi m phân bi t A,
B sao cho ( 1; )1
3
G là tr ng tâm tam giác AOB (O là g c t a đ )
Gi i
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
2 1
x
mx x
ph i có hai ngi m phân bi t x 1
mx2– (m – 4)x – 5 = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t x 1
2 2
0 0
1 0 1 ( 4).1 5 0
m m
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
Khi đó ( 1; )1
3
G là tr ng tâm tam giác AOB
Trang 5
0
3 3
1 3
4
0 1
x x
x x
x x
m x x
4
3
1
m
m
m m
m m
(Th a mãn (1))
áp s : m = 1
x y x
(C) Tìm k đ đ ng th n d đi qua M(-1; -1) v i h s góc k c t (C) t i 2
đi m phân bi t A, B sao cho A và B n m v 2 phía khác nhau c a tr c hoành
Gi i
- Ph ng trình c a d là: y = k(x + 1) – 1
- d c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì ph ng trình:
2
( 1) 1
x
k x x
1 2
x
2kx2
+ (3k - 3)x + k – 3 = 0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t 1
2
x
2 2
0
3 3
2
k
k
(1)
- G i A(x1, y1), B(x2, y2) (x1, x2 là nghi m c a (*))
A, B n m v 2 phía c a Ox ta ph i có: y1.y2 < 0
(kx1 + k – 1)(kx2 + k – 1) < 0
k2
.x1x2 + k2(x1 + x2) – k(x1 + x2) + k2– 2k + 1 < 0
-k – 1 < 0 k > -1
áp s : 1 k 0 k 0
Trang 6Bài 8 Cho hàm s 3 1
x y x
CMR: v i m i m đ ng th ng dm:y luôn cx m t đ th (C) t i hai
đi m phân bi t A và B thu c hai nhánh khác nhau Tìm m đ đo n th ng AB có đ dài nh nh t
Gi i:
Xét ph ng tình hoành đ giao đi m c a à ( ) :3 1
m
x
x
2
bi t khác 1
2
v i m i m V y h đ ng th ng dm luôn c t đ th (C) t i 2 đi m phân bi t A và B
Gi s A x y 1; 1 , B x y ta có 2; 2 x x là nghi m c1, 2 a ph ng trình (1), theo đ nh lí Viet, ta có:
(2x 1)(2x 1) 4x x 2(x x ) 1 4 1 2( 2) 1 5 0
2
m
m
1 2
nên hai đi m A và B thu c hai nhánh c a đ th và:
y x m y x m
AB x x y y x x x x
1
2
m
x x x x x x m m
Suy ra AB 10 V y min AB 10 khi m1
2
x y x
, tìm m đ đ ng th ng d: y c t đ th (C) t i hai đi m phân bi t A x m
và B sao cho OA vuông góc v i OB (v i O là g c t a đ )
Gi i:
Xét ph ng trình hoành đ giao đi m c a d và (C):
2
2
x x
x m
g x x m x m
Ta có:
2
( 2) 0,
nên ph ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t th a mãn x Suy ra d và 2 (C) luôn c t nhau t i 2 đi m phân bi t A và B G i A x( A; xA m B x), ( B; xB m)
Trang 7Do OA OB n n OAOB ê 0 2x xA Bm x( AxB)m2 0 (*)
;
x x là nghi m c a ph ng trình (1) nên có: xAxB m 4; x xA B 1 2m
Thay vào (*) ta đ c: 2(1-2m)-m(m-4)+m2=0 ph ng trình vô nghi m
V y không t n t i m th a mãn đ u bài
1
x
tr c Ox b ng ba l n kho ng cách t M đ n tr c Oy
Gi i
Theo gi thi t ta có :
0 2
2
2
ô n 3
1
x
v x
x x
V y trên (C) có hai đi m M có hoành đ : 2 10 2 10
x x
, th a mãn yêu c u bài toán
Bài 11 Cho hàm s y x
x
2 1
G i d là đ ng th ng đi qua đi m A(1; 0) và có h s góc k Tìm k đ d
c t (C) t i hai đi m phân bi t M, N thu c hai nhánh khác nhau c a (C) sao cho AM2AN
Gi i
PT đ ng th ng d: yk x( 1) PT hoành đ giao đi m c a (C) và d:
x
k x x
2 (2 1) 2 0 ( 1) (1)
t t x 1 x t 1 Khi đó (1) tr thành kt2 t 3 0 (2)
d c t (C) t i hai đi m phân bi t M, N thu c hai nhánh khác nhau (1) có 2 nghi m x x1 2, tho
x1 1 x2 (2) có 2 nghi m t t1 2, tho t1 0 t2 3k 0 k 0 (*)
Vì A luôn n m trong đo n MN và AM 2ANnên AM 2AN x1 2x2 3 (3)
Áp d ng đ nh lí Viet cho (1) ta có: x x k x x k
T (3), (4) k k
Thay vào (5) ta đ c: k 2
3
(tho (*))