Chính vì vậy, bài toán cực trị hình học tọa độ không gian thường xuất hiện ở đề thi học sinh giỏi hoặc ở các câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi THPT Quốc Gia nay
Trang 11 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình phổ thông, hình học là môn học không dễ đối với học sinh Để học tốt môn hình học ngoài những yêu cầu cơ bản thì người học cần phải có tư duy logic chặt chẽ và khả năng trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác
Bài toán cực trị nói chung hay cực trị tọa độ không gianOxyzthường tạo ra khó khăn nhất định cho học sinh Chính vì vậy, bài toán cực trị hình học tọa độ không gian thường xuất hiện ở đề thi học sinh giỏi hoặc ở các câu hỏi ở mức độ
vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi THPT Quốc Gia (nay là kì thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia) Để bài thi của các em đạt kết quả tốt nhất thì ngoài
việc các em phải nắm được hệ thống kiến thức cơ bản thì các em phải có được kiến sâu, rộng và đồng thời phải lựa chọn được phương pháp tối ưu để giải nhanh và hiệu quả nhất
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy, việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với từng dạng bài sẽ kích thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp các em chủ động lĩnh hội và tích lũy được kiến thức từ đó có được kỹ năng
để vận dụng vào làm bài thi đạt kết quả cao, là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của người thầy
Từ những lý do trên cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua
những năm giảng dạy, tôi chọn đề tài: “SỬ DỤNG YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐỂ
GIẢI HIỆU QUẢ MỘT LỚP BÀI TOÁN CỰC TRỊ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN, NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12, NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁP ỨNG YÊU CẦU ĐỔI MỚI CỦA KỲ THI THPT QUỐC GIA (NAY LÀ KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT)” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình trong năm học
2019 – 2020
1.2 Mục đích nghiên cứu
Hình thành cách giải hiệu quả một lớp bài toán về cực trị hình học tọa độ không gian Hơn nữa rèn luyện các kỹ năng vận dụng kiến thức, kỹ năng lựa chọn phương pháp và định hướng phát triển năng lực tư duy cho học sinh
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp giải một lớp các bài toán cực trị hình học tọa độ không gian bằng cách sử dụng các yếu tố hình học
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra quan sát
- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và
Trang 2điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn hút được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết
sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, kiến thức véctơ, tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc, đơn giản giảm nhẹ được tính cồng kềnh của biến đổi đại số
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán cực trị nói chung và bài toán cực trị tọa độ không gian nói riêng
là bài toán gây ít nhiều khó khăn cho học sinh Bên cạnh khó khăn do vốn kiến thức, kinh nghiệm còn ít ỏi, các em học sinh chưa nắm vững kiến thức hình học và cái nhìn tổng quan, phân loại các dạng toán và phương pháp giải Vậy khi gặp dạng toán này các em chưa tự tin và rất lúng túng tìm lời giải, hơn nữa là lời giải hiệu quả Nếu tháo gỡ được khó khăn đó sẽ đem lại hiệu quả cao trong công tác giảng dạy của các thầy cô cũng như việc học tập của các em học sinh
Ngoài mục tiêu đảm bảo chất lượng đại trà thì chất lượng mũi nhọn luôn được tập thể nhà trường quan tâm và trăn trở Bên cạnh đó chất lượng tuyển sinh vào 10 của nhà trường không cao, cụ thể tỉ lệ số học sinh đạt điểm trên 7 thấp hơn nhiều so với các trường trên địa bàn huyện Chính vì vậy, thầy cô giáo giảng dạy luôn phải tư duy, tìm tòi phương pháp giảng dạy sao cho đạt hiệu quả cao nhất
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Ôn tập kiến thức
2.3.1.1 Các công thức cần nhớ
* Công thức về khoảng cách:
- Khoảng cách giữa hai điểm A x y z A; A; A,B x y z B; ;B B
AB (x B x A) 2 (y B y A) 2 (z B z A) 2
- Khoảng cách từ điểm M x y z 0 ; ; 0 0 đến mp :Ax By Cz D 0
0 0 0
d M
- Khoảng cách từ điểm M1đến : M0
Vtcp u
,
d M
u
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : M
Vtcp u
và
' '
'
Vtcp u
d(, ) = , '
,
u u MM
u u
* Công thức về góc:
Trang 3- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng d d1 , 2: 1 2
cos
.
u u
u u
( u1, u2lần lượt là hai vtcp của hai đường thẳng).
- Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin .
.
n u
n u
(n u , là vtpt,vtcp của mặt phẳng và đường thẳng).
- Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: 1 2
cos
.
n n
n n
( n n 1, 2
lần luợt là hai vtpt của hai mặt phẳng).
* Lưu ý: Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện: 0 , ,
2
2.3.1.2 Một số kết quả được sử dụng.
* Kết quả 1: Trong một tam giác cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn.
* Kết quả 2: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm
ngoài đường thẳng đến một đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất
*Kết quả 3: Với ABCbất kì ta luôn có AB AC BC AB AC
*Kết quả 4: Trong không gian Oxyz, cho P ax by cz d: 0và 2 điểm
( ; ; ), ( ; ; )A A A B B B
A x y z B x y z
* Nếu axAby Acz Ad axBby B cz Bd 0 thì A B, nằm về hai phía với mặt phẳng P
* Nếu axAby Acz Ad axBby B cz Bd 0thì A B, nằm về cùng một phía với mặt phẳng P
2.3.1.3 Hai bài toán cơ bản của hình học tọa độ trong không gian thường được sử dụng.
Bài toán 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng P
Phương pháp giải:
- Viết phương trình đường thẳng
:
P
M d vtcp n
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên P
Bài toán 2: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d
Phương pháp giải:
- Viết phương trình :
d
M mp
Vtpt u
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d
Lưu ý: Có thể giải 2 bài toán trên bằng cách khác d
M
H
P
M
H
Trang 42.3.2 Giải bài toán cực trị hình học tọa độ không gian bằng hai phương pháp
Ví dụ: (Đại học khối B năm 2009)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P x: 2y 2z 5 0 và hai điểm
3,0,1 , 1, 1,3
A B Trong các đường thẳng đi quaAvà song song với mp P Viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng đó
là nhỏ nhất
Phân tích, hướng dẫn:
Cách 1: Dùng phương pháp sử dụng các yếu tố
hình học
Gọi d là đường thẳng cần tìm vậyA d gọi
Q là mặt phẳng sao cho Q dvà Q // P
3;0;1
1; 2;2
P
A
Vtpt n
d Q
B
A
Gọi K H, lần lượt là hình chiếu của B trên d và mp Q Áp dụng kết quả 2 ta
có BK BH , đẳng thức xảy ra khi K H vậy đường thẳng d AH , đường
1; 2;2
Q
Vtcp n
Ta có H BH ( )Q
1 11 7
9 9 9 :
H d Vtcp AH
:
Cách 2: Dùng phương pháp hàm số
Giả sử u d ( ; ;c)a b
với (a 2 b2 c2 0) Do d// P u n d. P 0
, vậy ta có
a b c a b c u d (2b 2 ; ;c)c b
,AB (4; 1;2)
;
d
d
d B d
u
- TH1: Nếu c 0 thì ; 56
5
d B d
- TH2: Nếu c 0 thì ta chia cả tử và mẫu của biểu thức trong căn cho c2 ta có
;
d B d
2
2
Đặt f t( ) = 2
2
t
t t
2 '
f t
0
7
f t t hoặc 11
2
t
Trang 5Bảng biến thiên của yf t
x 11
2
6
7
'
f t
f t
0 + 0
-56
5 2 100
9 56
5
Từ bảng biến thiên nhận thấy ; min 100
9
d B d tại 11
2
2
b c
11
2
d
u c c c
3;0;1 :
26;11;2
A d Vtcp u
:
* Nhận xét: Ngoài bài toán trên thì còn có nhiều bài toán cực trị tọa độ không
gian có thể giải bằng 2 phương pháp:
- Phương pháp đại số: Chuyển đại lượng cần tìm Min, Max về biểu thức đại số và dùng bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm Min, Max
- Phương pháp sử dụng các yếu tố hình học: Sử dụng các yếu tố hình học và bất đẳng
thức hình học để tìm Min, Max
Từ hai cách giải của bài toán trên nhận thấy nếu giải theo phương pháp đại số
có lợi thế là ít dùng đến trí tưởng tượng trong không gian nhưng phải tính toán điều đó làm mất nhiều thời gian và dễ có sai sót Đối với phương pháp hình học thì đòi hỏi học sinh có sự tưởng tượng không gian nhưng lời giải thể hiện tính nhanh gọn, tiết kiệm thời gian, kết quả thường chính xác, phù hợp với xu thế thi THPT Quốc Gia Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán cực trị hình học tọa độ
để chứng tỏ tính ưu việt của phương pháp hình học
2.3.3 Dạng toán cực trị hình học tọa độ không gian bằng phương pháp sử dụng yếu
tố hình học.
2.3.3.1 Dạng toán cực trị hình học tọa độ không gian liên quan đến khoảng cách.
Bài toán 1:
Cho điểm A cố định và điểm M di động trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng).
Xác định điểm M đểAM có độ dài nhỏ nhất
Phương pháp giải:
A
H M
Q
A
H M
Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng) Xét tam giác AHM
và áp dụng kết quả 2 ta có AM AH Đẳng thức xảy ra khi M H , vậy
AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng (hoặc mặt phẳng).
Trang 6Ví dụ 1.1 (KSCL Sở GD&ĐT Lạng Sơn 2019):
Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm M 2, 2,1 , A1, 2, 3 và đường thẳng
:
Trong các véc tơ u, xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng đi qua M , vuông góc với d, đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất, khoảng cách bé nhất đó là:
A u 1;0;2 B u.2;1;6 A u . 1;0;2 D u.2;2; 1
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng d
2; 2;1
2;2; 1
d
M
Vtpt u
chiếu của của A lên mp P và đường thẳng d, Áp dụng bài toán cơ bản 2 ta có
3; 2; 1
H d A , AK AH , đẳng thức xảy ra khi K H Vậy đường thẳng là đường thẳng AH có véc tơ chỉ phương AH 1;0;2 Đáp án A.
Ví dụ 1.2 (KSCL lần 1, Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai , Sóc Trăng năm
2018):
Trong không gian Oxyz, cho điểm A1;2, 1 và mp P x y : 2z 13 0 Xét các mặt cầu S có tâm I a b c ; ; đi qua điểm A, tiếp xúc với
P x y: 2z 13 0 Tính giá trị biểu thức T a2 2b2 3c2, khi mặt cầu S
có bán kính bé nhất:
A T . 35 B T . 20 C T . 25 D T . 30
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu của A trên mp P , với M là điểm bất kỳ trên mp P vậy theo kết quả 2 thì AH AM Vậy mặt cầu S đi qua A và tiếp xúc với
mp P có bán kính nhỏ nhất là mặt cầu có đường kính AH với H là tiếp điểm của S với mp P , hay H là hình chiếu của A trên mp P .Lập phương trình đường thẳng dđi qua A và vuông góc với mp P
1 2 2; 2;1
1;1;2
1 2
A
Vtcp u
Vậy mặt cầu có tâm I là trung điểm AH I2;3;1 T 25 Đáp án C.
Bài toán 2:
Trong không gian Oxyz, cho điểm M N, và đường thẳng
a Lập phương mp Q đi qua M và cách điểm N cho trước một khoảng lớn nhất
b Lập phương trình mp Q chứa đường thẳng d và cách N một khoảng lớn nhất.
Phương pháp:
a Gọi H là hình chiếu của N trên mp Q , khi đó d N Q , NH NM
Trang 7đẳng thức xảy ra khi M H d N Q ; max NM
Vậy mp Q là mặt phẳng đi qua M và vuông góc
với MN
Q : M
Vtpt MN
.
Q
N
H M
b Gọi H I, lần lượt là hình chiếu của N trên
mp Q và d, khi đó d N Q , NH NI, đẳng
thức xảy ra khi
H I d N Q NI Q : I
Vtpt NI
d Q
N
Ví dụ 2.1 (KSCL lần 2, Ngô Quyền, Hải Phòng 2018):
Trong không gian Oxyz, cho mp :ax by cz d 0a2 b2 c2 0đi qua hai điểm B1;0;2 , C5;2;6và cách A2;5;3 một khoảng lớn nhất Khi đó đó giá trị của biểu thức T a
b c d
. 3
4
A . 1
6
B . 1
6
C D 2
Phân tích, hướng dẫn:
Đường thẳng
1 2 1;0;2
B
trên BC I3;1;4 , áp dụng phương pháp giải bài toán 2b d A ; max AI Vậy
1;0;2 :
1; 4;1
B
Vtpt AI
:x 4y z 3 0 , vậy 1
6
a T
b c d
Đáp án C.
Ví dụ 2.2 (KSCL Lê Quý Đôn Điên Biên 2019):
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;2; 1 , B3;0;3 Biết mp p đi qua
A và cách B một khoảng lớn nhất Phương trình của mp p là:
A x 2y 2z 5 0 B x y 2z 3 0
C 2x 2y 4z 3 0 D 2x y 2z 0
Phân tích, hướng dẫn:
2; 2;4
AB
, áp dụng phương pháp giải bài toán 2a thì d B P ; max AB
1;2; 1
2; 2;4
A
Vtpt AB
Bài toán 3:
Trang 8Cho mp P và hai điểm phân biệt A B, Tìm điểm M thuộc mp P sao cho:
a MA MB nhỏ nhất b MA MB lớn nhất
Phương pháp giải:
a
TH1: Nếu A B, nằm khác phía so với P
theo kết quả 3 ta có AM BM AB
Đẳng thức xảy ra khi A B M, , thẳng hàng
hayM AB P
M
B
A
P
TH2: Nếu A B, nằm cùng phía so với P ,
gọiA'là điểm đối xứng với A qua mp P
áp dụng kết quả 3 ta có:
AM BM A M BM A B
Đẳng thức xảy ra khi '
, ,
A M B thẳng hàng hay M A B' P
B
A '
M
A
P
b
TH1: Nếu A B, nằm cùng phía so với P ,
khi đó AM BM AB Đẳng thức xảy ra
khi A M B, , thẳng hàng hay điểm
M AB P
B
M
A
P
TH2: Nếu A B, nằm khác phía so với P ,
gọi A'là điểm đối xứng với A qua P
Vậy AM BM A M BM' A B'
Đẳng thức xảy ra khi M A B, , ' hay điểm
'
M A B P
M
B
A '
A
P
Ví dụ 3.1 (KSCL Sở GD&ĐT Sóc Trăng 2018):
Trong không gian Oxyz cho mp P x y z : 1 0 và hai điểm phân biệt
1; 3;0 , 5; 1; 2
A B Điểm M a b c ; ; thuộc mp P và MA MB lớn nhất Giá trị a b c . bằng:
A.1 B.12 C 24 D 24
Phân tích, hướng dẫn:
Áp dụng kết quả 4 ta có axAby Acz Ad axB by Bcz B d 3 0 nên
,
A Bnằm nằm khác phía với mp P Gọi B' là điểm đối xứng của B qua mặt
Trang 9phẳng P vậy MA MB MA MB ' AB', đẳng thức xảy ra khi '
, ,
M A B thẳng hàng hayM AB'mp P * ta có ' 5 1 2
:
H B B P H B
; ;
AB
'
1 5
4
từ * M6; 1; 4 a b c 24 Đáp án C.
Ví dụ 3.2 (KSCL Chuyên Hùng Vương phú Thọ 2018): Trong không gian Oxyz
cho mp P x : 2y z 1 0 và hai điểm A0; 2;3 ,B2;0;1 Điểm M a b c ; ; thuộc mp P vàMA MB nhỏ nhất Giá trị bằng 2 2 2
a b c bằng:
. 41
4
A . 9
4
B . 7
4
C D 3
Phân tích, hướng dẫn:
Áp dụng kết quả 4 ta có axAby Acz Ad axB by B cz Bd 12 0 nên
,
A Bnằm cùng phía với mp P Gọi A' là điểm đối xứng của A qua P , ta có
MA MB MA MB A B vậy ' '
min
MA MB A B hay M A B, , ' thẳng hàng
'
AA :
x y z
Gọi H là hình chiếu của A
trên P H A A' P H 1;0;2 do H là trung điển của AA ' A' 2;2;1
'
2 4
1
pt A B y t
z
'
1; ;1 2
4
Đáp án B.
Bài toán 4: Trong không gian Oxyz, cho n điểm M M1 , 2 , ,M n.i 1,n Viết phương trình mp P đi qua M sao cho tổng
1
,
n
i i
d M P
Phương pháp:
TH1: Nếu n điểm M M1 , 2 , ,M n.i 1,nnằm cùng phía so với mp P Gọi G là trọng tâm của n điểm M M1 , 2 , ,M n
1
n
i i
TH2: Nếu m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về khác phía m k n nằm cùng phía so với mp P Gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm
của k điểm, G3 đối xứng với G1 qua điểm M vậy G3,G2 nằm cùng phía đối với mp P Khi đó 3 2
1
n
i i
- Nếu G G2 3 // mp P thì 3 3
1
n
i i
Trang 10- Nếu G G 2 3 P I Gọi D là điểm thỏa mãn 2
a
b
Và J là trung điểm
2
1
n
i i
IG
ID
Ví dụ 4.1 (KSCL lần 1,chuyên Lương thế Vinh, Đồng Nai 2018):
Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A 4; 1;3 , B 1; 2; 1 , C3;2; 3 và
0; 3;5
D Gọi là mặt phẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ A B,
và Cđến mp lớn nhất, đồng thời ba điểm A B C, , nằm cùng phía so với
mp Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mp :
A E 1 7; 3; 4 B E 2 2;0; 7 C E 3 1; 1; 6 D E 4 36;1; 1
Phân tích, hướng dẫn:
Gọi G là trọng tâm 3 điểm A B C, , 2 1 1
ta có d A P . d B P . d C P . 3d G P . 3GD
Vậy
0; 3;5
2 8 14
; ;
3 3 4
D
Vtpt DG
Ví dụ 4.2 (Tạp chí Epsilon, số 17): Trong không gian Oxyz cho 3 điểm
1;2;3 , 3;4; 1 , 2;0; 2
A B C Gọi P là mặt phẳng đi qua C và tổng khoảng cách từ A và B đến mp P lớn nhất Khoảng cách h d O P , là: . 4
3
A h C h 3 . 1
3
B h . 2
3
D h
Phân tích, hướng dẫn:
TH1: A và B nằm cùng phía so với mp P M là trung điểm ABvậy M 1;3;1
ta có d A P . d B P . 2d M P . 2MC 6 3
TH2: Avà B nằm khác phía so với mp P Gọi B'là điểm đối xứng với B qua
C và N là trung điểm của '
(4; 1;0)
d A P d B P d A P d B P d N P NC
3 3; 3; 3
C
Vtpt MC
Bài toán 5: Cho n điểm M M1 , 2 , ,M n, với n số thực k k1 , , , 2 k n thỏa
mãn k1 k2 k n 0 Tìm điểm M trên đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (α)) sao cho T k MM1 1 k MM2 2 k MM n n
có giá trị nhỏ nhất
Phương pháp
- Tìm điểm I thỏa mãn k IM + k IM + + k IM1 1 2 2 n n 0
- Áp dụng quy tắc 3 điểm ta phân tích :