De thi HSG toan 7

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.... https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Bài 1...[r]

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2017 – 2018 Ngày thi: 26/3/2018

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Tính: A =  

2

1 0,5 3 1 :1

  

b) So sánh: 1620và 2100

Bài 2 (3,0 điểm)

a) Tìm x biết:

x   

b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 31 n 4.3n 13.35

Bài 3 (4,5 điểm)

a) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2 a+b+c +d a =a+2 b+c+d

a+b+2 c+d

a+b+c+2 d d

Tính giá trị biểu thức Q, biết Q = a+b c+d+b +c

d +a+

c+d a+b+

d +a

b +c

b) Cho biểu thức

M

x y z x y t y z t x z t

        với x, y, z, t là các số

tự nhiên khác 0 Chứng minh M 10 1025

Bài 4 (6,5 điểm).

1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M) Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I Chứng minh rằng:

a) BAM = ACM  và BH = AI

b) Tam giác MHI vuông cân

2) Cho tam giác ABC có góc  = 900 Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh

BC ở E Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và    1 x 1,   1 y 1,

1 z 1

   Chứng minh rằng đa thức x2 y4 z6 có giá trị không lớn hơn 2

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài

ĐỀ HSG TOÁN 7

HƯỚNG DẪN CHẤM

a) 2,0 đ

+ Biến đổi:

7 47 47

:

5 60 24

A  

=

7 2

5 5

= 1

1,0

0,50 0,50 b) 2,0 đ

+ Biến đổi: 1620 24.20 280

+ Có 280  2100 vì (1 < 2 ; 80 < 100)

Vậy 1620 2100

0,5 1,0 0,5

a) 2,0 đ + Ta có

x   

=> 2x  7 1

=> 2x  7 1 hoặc 2x  71

=> x 4 hoặc x 3

Vậy x 4 hoặc x 3.

0,5 0,5 0,5 0,5

b) 1,0 đ

+ Biến đổi được 3 (3n 14) 13.3 5

=> 3n 36

=> n = 6

KL: Vậy n = 6

0,25 0,25 0,25 0,25

a)

(2,5 đ)

+ Biến đổi: 2 a+b+c +d a =a+2 b+c+d

a+b+2 c+d

a+b+c+2 d d

a b c d a b c d a b c d a b c d

a b c d a b c d a b c d a b c d

+ Nếu a + b + c + d  0 thì a = b = c = d => Q = 1 + 1 +1 +1 = 4

+ Nếu a + b + c + d = 0

thì a + b = - (c + d); b + c = - (d + a); c + d = - (a + b); d + a = - (b + c)

=> Q = (-1) + (-1) + (-1) +(-1) = - 4 + KL : Vậy Q = 4 khi a + b + c + d  0

Q = - 4 khi a + b + c + d = 0

0,5

0,25

0,25 1,0 0,25 0,25

b)

(2,0 đ) + Ta có:

x y z  x y

y z t  z t

x z t  z t

⇒ M < ( x

x + y+

y

x + y)+(

z

z +t+

t

z +t) => M < 2 + Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025

Vậy M10 < 1025

0,25

0,5 0,25

Bài 4

0,25

1.a/

2,75 đ

* Chứng minh: BAM ACM

+ Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c)

+ Lập luận được: BAM CAM 450

+ Tính ra được ACM 450

=> BAM ACM

* Chứng minh: BH = AI

+ Chỉ ra: BAH ACI (cùng phụ DAC)

+ Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn)

=> BH = AI (2 cạnh tương ứng)

0,5 0,25 0,25 0,25

0,5 0,75 0,25

1.b/

2,0 đ

b) Tam giác MHI vuông cân

+ Chứng minh được AM BC

+ Chứng minh được AM = MC

+ Chứng minh được HAM ICM

+ Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c)

=> HM = MI (*)

+ Do HAM = ICM => HMA IMC => HMB IMA  (do

AMB AMC  90 0

+ Lập luận được: HMI  900 (**)

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

Từ (*) và (**) => MHI vuông cân

2)

A

0,25

+ Chứng minh được :

AE ABC BAE HAD DAC BAE EAH HAD DAC EAC       

(Vì Bvà HAC cùng phụ với BAH)

Suy ra tam giác AEC cân tại C =>AC = CE (*)

+ Tương tự chứng minh được AB = BD (**)

+ Từ (*) và (**) => AB + AC = BD + EC = ED + BC

0,25

0,25 0,50 0,25

Bài 5.

2,0 đ

+) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu Giả sử x; y 0

=> z = - x - y 0

+) Vì    1 x 1,   1 y 1,    1 z 1 = > x2 y4z6 x  y  z

=> x2y4 z6  x y z

=> x2 y4 z6 2z

+)    1 z 1 và z 0 => x2y4z6 2

KL: Vậy x2 y4z6 2

0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25

Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/