[r]
Trang 1ĐÁP ÁN ĐÊ THI VÒNG 1, CHỌN HSG HUYỆN LỚP 9 NĂM 2017-2018
MÔN TOÁN
Câu 1
(3.0 điểm)
1.a Các số chính phương có hai chữ số: 16,25,36,49,64,81
Chỉ có (8+1)2=81
1.b
Phân tích n5 – n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) +5.(n-1)n(n+1)
Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 5
Mà (2,5)=1
n5 – n chia hết cho 10
Câu 2
(6.0 điểm)
2.a
√x+3+√x−1=2 (1) ĐKXĐ: x≥ 1
(1) ↔√x+3√x−1 =1 - x
√x+3.√x−1 ≥ 0 với mọi x ∈ ĐKXĐ → 1 – x≥ 0 ↔ 1≥ x
Kết hợp với ĐKXĐ → x = 1
2.b
¿ - √x+2)(1+ √x2+7 x +10) = 3 (2) ĐKXĐ: x≥−2
Đặt √x+5=a ; √x+2=b ĐK: a≥ 0 ;b ≥ 0
Ta có a2 – b2 = 3
(2)↔ (a-b)(1+ab) = a2 – b2
↔(a-b)(1+ab-a-b) = 0
↔(a-b)(a-1)(b-1) = 0
TH1: a = b không có nghiệm
TH2: a = 1 không có nghiệm
TH3: b = 1 tìm được x = -1 thõa mãn ĐKXĐ
Trang 2x2
+3 x +1=(x +3 )√x2
+1 (3) Bình phương 2 vế của pt (3) ta có:
x2=8 → x =±2√2
Câu 3
(8.0 điểm)
3.a
A N
G
M
D
Ta có AB=AC= a
√2→ AG=
a
3√2
Áp dụng Pitago cho ∆ AGCvuông tại A
→ CG=√5 a
3
3.b
C1(H1): Áp dụng Menaluyt cho ∆ AB Ccó M,G,D thẳng hàng ta có:
MB
MC
DC DA
GA
GB=1 →
DC
DA=2 →A là trung điểm của DC
Vậy DM và BA là các trung tuyến của ∆ BDC, hay G là trọng tâm
A N
G
M D
Trang 3Lấy Q đối xứng với G qua M ta có BGCQ là hình bình hành
→ GA=1
2GB=
1
2QC và GA/¿QC →GAlà đường trung bình trong ∆ DQC
→ A là trung điểm của DC
Vậy DM và BA là các trung tuyến của ∆ BDC, hay G là trọng tâm
E
T
K
A N
G
M
+Xét ∆ BMIvà ∆ DNC
Ta có BI là trung trực của DC→ ID=ICvà BD=BC→ ND=MC
Góc BMI = Góc DNC (Cùng bù với góc BNC)
Mà góc NDC = góc NCI = 450
→ ∆ BMI= ∆ DNC(g.c.g) → DC=BI =2 BA → AB=AI → BCID là hình vuông + Chứng minh DE=BC
C1(H3): Tia CN cắt Tia ID tại T→ BC=DT=D I
Mà trong ∆ DNC Có DE=DT =DI
→ BC=DE
Trang 4E P
R
K
A N
G
M
+ Chứng minh DE=BC
C2(H4): + Do K là trọng tâm của ∆ BIC → AK
AC=
AG
AB=
1
2→GK//MC
Áp dụng định lý Ceva cho ∆ DMC ta có:
RM R C K C KD G M G D=1 →RM
→ ∆ DEI cân tại D → DE=DI
3.c
+ Chứng ming ∆ PGE cân
+ Do R là trung điểm của MC → P là trung điểm của GK→ EP=1
2GK =GP
→ ∆ PGE cân tại P
(Có thể dung hình 3 để cm P là trung điểm của GK)
4.
(3.0 điểm) a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=2017− 2−4 x
x2+2
P=201 8−(x−2)
2
x2+2 ≤2018¿)
→ GTLN của P là 2018 khi x = 2
Trang 5b Cho x,y,z là ba số dương và x2+y2+z2≤6
xy+
1
yz+
1
zx
yz+
1
zx ≥
2
x2
+y2+ 2
y2
+z2+ 2
z2
+x2
b+
1
c ≥
9
a+b+c với a,b,c dương)
x2+y2+
2
y2+z2+
2
z2+x2≥
9
x2+y2+z2≥
9 6