DAP AN 45 BO TOAN 9 Phan 3

Gọi E là điểm chính giữa của cung AC, H là giao của AC và BE, D là giao điểm của AE và BC a/ Chứng minh tứ giác DEHC nội tiếp b/ Chứng minh DH vuông góc với AB c/ Chứng minh E là trung đ[r]

y

x

E

D

M

A

I

“Biển học” Kiến thức “Rỗng lớn” Mênh mong, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”

ĐÁP ÁN - 45 Bộ Hình 9 vào 10 Tỉnh – TPHCM –Hà Nội

Phần 3

Bài 1

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm tùy

ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B) Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt

By tại E

a/ Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông

b/ Chứng minh rằng: 2

AD BE = R  c/ Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ADEB nhỏ nhất

Giải

a/ Chứng minhDOE vuông

Vì DA, DM hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

OD là tia phân giác AOM

( 1 )

Vì EB, EM là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

OE tia phân giác BOM

( 2 )

Từ (1) và (2) suy ra:

0 0 180

DOE DOM MOE 90

2 0

Vậy DOE vuông tại O

b/ Chứng minh 2

AD BE = R 

Theo t/chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có;

AD = DM và BE = EM

Theo hệ thức lượng DOE vuông tại O

AD.BE = DM.ME = OM2 = R2

2

AD.BE R (đpcm)

c/ Xác định vị trí điểm M để S ADEB nhỏ nhất?

Gọi I trung điểm DE khi đó OI đườngtrung bình hình thang ADEB

Diện tích hình thang ADEB là:

ADEB

1

S AD BE AB OI.2R

OI nhỏ nhất khi OI = R, khi đó điểm I Mchính giữa của cung AB

Vậy khi vị trí điểm M nằm chính giữa cunga AB thì diện tích tứ giác ADEB nhỏ nhất

I

E

C

B O K A O’ 

D

N

M

F

E

O’

D

C

B

A

O

Bài 5

Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A (R > r) Vẽ các đường kính AOB của đường tròn (O) và AO’C của đường tròn (O’) Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC

a/ Chứng minh tứ giác BDCE là hình thoi

b/ Gọi I là giao điểm của EC với đường tròn (O’) Chứng minh ba điểm D, A, I thẳng hàng c/ Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Giải

a/ Chứng minh tứ giác BDCE hình thoi

Xét tứ giác BDCE có;

BC DE

BK KC

DK KE

Tứ BDCE là hình thoi

b/ C/minh ba điểm D, A, I thẳng hàng

Ta có:

CI // BD( DI)

CE // BD(hinhthoi) Ba điểm E, I, C thẳng

hàng

c/ Chứng minh KI tiếp tuyến đường tròn (O’)

Vì KEI cân tại K KEI KIE(1);

O’IC cân tại O’ O 'CI O 'IC(2)

0

KIO ' 90

Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O‘)

Bài 6

Cho hai đường tròn (O) và(O )  cắt nhau tại A và B Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O ) 

a/ Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b/ Đường thẳng AC cắt đường tròn(O )  tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A) Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn

c/ Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và(O )  thứ tự tại M và N Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất

Giải

a/ Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

Ba điểm C, B, D thẳng hàng

F

E

C

B

A

H

I

b/ Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn

4 điểm C, D, E, F nằm trên đường tròn đường kính CD

Bài 7

Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại

F Chứng minh:

1/ Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

2/ Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn

3/ EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính BH và HC

Giải

1/ C/minh tứ giác AFHE hình chữ nhật

Xét tứ giác AEHF ta có:

0

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

2/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp

đường tròn

Ta có:

AEF EAH(1) (vì IEA cân tại I)

EAH AHF (đvị AE//HF)

AHF FCB(2) (vì chắn cung HF)

Từ (1) và (2) suy ra: AEF FCB

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn

3/ Chứng minh EF tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính HB và HC

Xét OEH cân tại O OEH OHE(1)

IEH cân tại I IEH IHE(2)

0

Do đó: EF tiếp tuyến đường tròn đường kính HB

Tương tự: EF cũng tiếp tuyến đường tròn đường kính HC

Vậy EF là tiếp tuyến chung của 2 nửa đường tròn đường kính HB và HC

Bài 8

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một đường thẳng d quay xung quanh trung điểm

H của OB cắt đường tròn (O) tại M, N

a/ Chứng minh rằng trung điểm I của MN chạy trên đường tròn cố định khi đường thẳng d quay quanh H

b/ Vẽ AA’ vuông góc với MN, BI cắt AA’ tại D Chứng minh tứ giác DMBN là hình bình hành

c/ Chứng minh D là trực tâm của tam giác AMN

d/ Khi đường thẳng d quay quanh H thì D di động trên đường nào? Tại sao ?

d

N

M

B

A

O

H

I A’

D

d

M

Q

C

K

B

A

I O

P

Giải

a/ C/minh trung điểm I của MN chạy

trên đường tròn cố định

OIH 90 Trung điểm I của MN

chạy trên đường tròn đường kính OH

Vì điểm O, B cố định nên điểm H cũng cố định

Vậy khi đường thẳng d quay quanh điểm

H thì trung điểm I của MN chạy trên đường

tròn đường kính OH cố định

b/ Chứng minh tứ giác DMBN là hình

bình hành

+ Xét ABD có:

OI // AD( d)

AO OB(gt) OI đường trung bình ABD

BI ID

+ Xét tứ giác DMBN có:

DI IB(cmt)

MI IN(gt) Tứ giác DMBN là hình bình

hành

c/ Chứng minh rằng D là trực tâm của AMN

Xét AMN có:

AA' MN(gt)

MD AN(MD//BN) Hai đường cao AA’ và MD cắt nhau tại D của AMN

Vậy D là trực tâm của AMN

Bài 10

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường tròn sao cho

CA > CB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I, cắt tia BC tại M

và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K

1/ Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn

2/ Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng

3/ Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q Tính diện tích của tứ giác QAIM theo R khi BC = R

Giải

1/ Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp

Xét tứ giác BCPK có:

0

0

Vậy tứ giác BCPI nội tiếp đường tròn

đường kính BP

M

D

C

B

A

O

H

I

F

E

C

B

A

O’

O

D

2/ Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng

Xét MAB có ba đường cao MI, AC, BK cắt nhau tại một điểm P trực tâm

Do đó: Ba điểm B, P, K nằm trên đường cao BK

Vậy ba điểm B, P, K thẳng hàng

Bài 11

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) bán kính R Từ A kẻ đường thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn O tại B và C (B nằm giữa A và C) Các tiếp tuyến của đường tròn O tại B

và C cắt nhau tại D Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH cắt cung nhỏ BC tại M Gọi I là giao điểm của DO và BC

Chứng minh rằng:

1/ 5 điểm D, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn và tứ giác DIHA nội tiếp

2/ Đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3/ Tích HB.HC không đổi khi đường thẳng d quay quanh điểm A

Giải

1/ Chứng minh 5 điểm D, B, H, O, C

thuộc một đường tròn

0

5 điểm D, B, H, O, C nằm trên một đường

tròn đường kính OD

2/ Chứng minh AM tiếp tuyến đường

tròn (O)

Bài 17

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B Các đường thẳng AO cắt (O), (O') lần lượt ở C và E; đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở D và F

1/ Chứng minh: Ba điểm C; B; F thẳng hàng

2/ Chứng minh: Tứ giác CDEF nội tiếp

3/ Chứng tỏ rằng: AD EF = CD AE

4/ Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp BDE

5/ Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O); (O’)

Giải

1/ C/minh 3 điểm C; B; F thẳng hàng

0

Vậy ba điểm B, C, F thẳng hàng

2/ Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp

Xét tứ giác CDEF ta có:

0

Tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn đường

kính CF

I

K

E

H

O

M

B

A

F

x

3/ Chứng tỏ rằng: AD EF = CD AE

Xét ADC và AEF có:

0

D E 90

ADC AEF(gg) DAC EAF(dd)

AD CD

AD.EF=AE.CD

Bài 18

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt tia

Ax tại I Phân giác IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K

1/ Chứng minh rằng: IA2 = IM IB

2/ Chứng minh rằng: BAF cân

3/ Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi

4/ Xác định vị trí của M để AKFI nội tiếp được

Giải

1/ Chứng minh IA 2 = IM IB

Theo hệ thức lượng ABI vuông tại A

IA2 = IM.IB

2/ Chứng minh BAF cân

Xét ABF có :

IAM

2

BE là tia phân giác ABF

Có BE AF(góc nội tiếp chắn nửa đt)

Do đó :

ABE EBF

BE AF BE là đường cao, đồng thời phân giác góc A

Vậy ABF cân tại B

3/ Chứng minh tứ giác AKFH hình thoi

+ Ta có BH là đường trung trực của đoạn AF

KA = KF và HA = HF (1)

+ AF đường trung trực đoạn HK

AH = AK và FH = FK (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

Tứ giác AKFH có AK = KF = FH = HA

Vậy tứ giác AKFH là hình thoi

4/ Xác định vị trí điểm M để AKFI nội tiếp

Tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn khi là hình thang cân

+ Khi M chính giữa cung AB thì AM đường trung tuyến ABI vuông

MA = MI = MB = BI

2

C

D

E H

A

Do đó : MAI cân tại M

+ Xét tứ giác AKFI có :

KF // AI(cmt)

KAI FIA(cmt) Tứ giác AKFI là hình thang cân

Vậy khi M điểm chính giữa cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn

Bài 20

Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C trên cung AB (C khác A và B) Gọi E

là điểm chính giữa của cung AC, H là giao của AC và BE, D là giao điểm của AE và BC

a/ Chứng minh tứ giác DEHC nội tiếp

b/ Chứng minh DH vuông góc với AB

c/ Chứng minh E là trung điểm của AD

d/ Giả sử đường tròn đã cho là cố định và điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đó Chứng minh rằng điểm D chuyển động trên một cung tròn cố định

Giải

a/ Chứng minh tứ giác DEHC nội tiếp

Xét tứ giác DEHC có:

0

0

Vậy tứ giác DEHC nội tiếp đường tròn

đường kính DH

b/ Chứng minh DH vuông góc với AB

Xét ABD có:

BE AD AC, BE là 2 đường cao của tam giác cắt nhau tại H trực tâm

Đường cao thứ ba DH phải đi qua trực tâm H

Vậy đường cao DH AB

c/ Chứng minh E là trung điểm của AD

Xét ABD có

ABE EBD

BE AD BE là đường trung trực của đoạn thẳng AD

Do đó: AE = ED

Vậy E trung điểm đoạn AD

E

D

C

B

Bài 21

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn Qua A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Kẻ các đường cao BD và CE của tam giác ABC và gọi H là giao điểm của chúng

a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

b/ Chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi

c/ Chứng minh 3 điểm A, H, O thẳng hàng

d/ Tính độ dài đoạn thẳng OA theo R để H thuộc đường tròn đã cho

Giải

a/ Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

Xét tứ giác ABOC có:

0

0

Vậy tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn

AO

b/ Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi

Xét tứ giác BOCH có:

CH // OB( AB)

BH // OC( AC) Tứ giác BOCH là hình bình hành.(1)

Từ giả thiết: (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác BOCH là hình thoi

c/ Chứng minh 3 điểm A, H, O thẳng hàng

Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH đồng thời đường phân giác góc A

Hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) cắt nhau tại A

AO tia phân giác góc A

Ba điểm A, H, O nằm trên đường phân giác AO của góc A

Vậy ba điểm A, H, O thẳng hàng

d/ Tính độ dài đoạn thẳng OA theo R để H thuộc đường tròn (O)

Theo hệ thức lượng ABO vuông tại B ta có;

OI.OA OB R OA R OA 2R

2 Vậy khi OA = 2R thì điểm H thuộc đường tròn (O)

Bài 22

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, gọi M là điểm đối xứng của O qua A, qua M kẻ một cát tuyến d không đi qua O và cắt đường tròn đã cho tại hai điểm C, D phân biệt (C nằm giữa M và D) Gọi P giao điểm các đường thẳng AD và BC, Q là giao điểm của các đường thẳng AC và BD

a/ Chứng minh rằng PQ vuông góc với AB

b/ Gọi K giao điểm của các đường thẳng AB và PQ Chứng minh tứ giác CKOD nội tiếp c/ Chứng minh rằng khi cát tuyến d thay đổi thì điểm K luôn cố định

Giải

M

d

Q

D

C

B

P

K

O

d

K

E

N

M

D

A

C

A

a/ Chứng minh PQ AB

Xét ABQ có:

BC AQ AD, BC là 2 đường cao của tam

giác cắt nhau tại P trực tâm

Do đó: Đường cao thứ ba QP của ABQ phải đi

qua trực tâm P

Vậy QP AB

Bài 26

Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn thẳng OC (D khác O và C) Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm

A Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia

CM cắt đường thẳng d tại điểm E Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B)

1/ Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp

2/ Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng

3/ Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm M thay đổi

Giải

1/ Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp

Xét tứ giác CDNE có:

0

Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn đường

kính CE

2/ Chứng minh ba điểm C, K, N thẳng

hàng

Xét AEC có:

ED AC Hai đường cao AM và ED cắt

nhau tại K (trực tâm)

Đường cao CN phải đi qua trực tâm K

Vậy ba điểm C, K, N thẳng hàng

E

D

F

C

C

A

M

I

Bài 27

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O) Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D Trên cung BD lấy điểm M ( với M khác B và M khác D) Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E Gọi F là giao điểm của AM và CD

1/ Chứng minh : BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn

2/ Chứng minh EM = EF

3/ Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh D, I, B thẳng hàng; từ

đó suy ra góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD

Giải

1/ Chứng minh tứ giác BCFM nội tiếp

Xét tứ giác BCFM có:

0

Tứ giác BCFM nội tiếp đường tròn đường

kính BF

2/ Chứng minh EM = EF

- Vì OAM cân ta có:

OMA OAM(1)

+ Hai góc đối đỉnh có:

EFM AFC(2)

+ ACE vuông tại C có:

0(3)

- Từ (1);(2); (3) ta có:

0

0

EFM OMF 90

EFM EMF EMF OMF 90

Do đó: Tam giác EFM cân tại E

EM = EF (đpcm)

Bài 29

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt

ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N

1/ Chứng minh AC + BD = CD

COD  90 3/ Chứng minh AC BD =

4

2

AB

4/ Chứng minh OC // BM

5/ Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

6/ Chứng minh MN  AB

7/ Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

y

x

N

M

D

C

A

I

1/ Chứng minh AC + BD = CD

- T/chất 2 tiếp tuyến cắt nhau

AC = CM và BD = DM

AC + BD = CM + MD = CD

2/ Chứng minh 0

COD  90

- Vì OC tia phân giác AOM có

AOC  COM (1)

- Vì OD tia phân giác BOM có

BOD  DOM (2)

- Từ (1) và (2) suy ra:

0 0 180 COD COM MOD AOC BOD 90

2

0

3/ Chứng minh AC BD =

4

2

AB

Áp dụng hệ thức lượng CODvuông tại O có:

2

AC.BD CM.MD OM R

4

2 AB

AC.BD

4

4/ Chứng minh OC // BM

Ta có:

OC // BM





5/ Chứng minh AB tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Gọi I trung điểm của đoạn thẳng CD

Xét hình thang vuông ABDC ta có:

CI ID(gt)





  IO là đường trung bình của hình thang ABDC

IO // AC (// BD) và IO  AB tại O

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

6/ Chứng minh MN  AB

+ Xét BND và CNA (BD // AC đlý ta lét)

BD DN DM DN

AC  NA  MC  NA

+ Theo định lý ta lét đảo:

DM DN MN // AC

MC  NA 

+ Ta có:

MN // AC MN AB

