Hãy xác định các tham số thực m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.... Câu Đáp án Hệ phương trình có nghiệm duy nhất * Điều kiện : D 0.[r]
Trang 1NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10 CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT(Học Kỳ2) Câu1.( Mức độ: B; 1,0 điểm ; Thời gian: 10 phút )
2
Tacó:
2
0.25
Áp dụng: a b a b , a b , ¡
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b 0
0.25
Vậy : 2 x 5 2 x 5 2 5 0 x x 0. 0.25
Câu 2 ( Mức độ: C; 1,5 điểm ; Thời gian: 15 phút ).Giải Bất phương trình :
2
1
3 10
x
Ta có:
2
2
x
x x
0.5
2
0.5
Câu 3. (Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút.)
Giải phương trình : 3x 4 2 3x
*
3x 4 2 3x (1)
Pt
3x 4 3x 2(2)
*
1 x
3 Vn
Vậy
1 3
x
là nghiệm phương trình
0.5 0.5
Câu 4.( Mức độ: C; 2 điểm ; Thời gian: 15 phút )
THPT NGỌC HỒI
Tổ Toán
Trang 2Cho phương trình : mx22(m - 2)x m 3 0 (1).
a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x , x1 2 sao cho :
3
3a
* Khi m = 0 thì (1) trở thành :
3 4x 3 0 x
4
* Khi m 0 thì (1) là phương trình bậc hai có 4 m
+ Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm
+ Nếu m 4 thì phương trình (1) có hai nghiệm : 1 2
2 m 4 m x
m
,
Kết luận :
+ m = 0 :
3 S 4
+ m > 4 : S
+ m 4 và m 0 : Phương trình (1) có hai nghiệm : 1 2
2 m 4 m x
m
,
0.25
0.25 0.25 0.25
0.5
3b
* Khi m 4 và m 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2.
* 1 2 2
2 1
x x
3 x x 5x x 0
x x .
* Thay vào và tính được
1 65 m
2
: thoả mãn điều kiện m 4 và m 0
0.25 0.25
Câu 5( Mức độ: C; 2,5 điểm ; Thời gian: 15 phút )
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC với A(1; 2), B(5; 2),C(3;2) Tìm toạ độ trọng
tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ABC
4
Toạ độ trọng tâm G :
9
2;
Toạ độ trực tâm H :
*
AH BC 0 2 x 1 4 y 2 0
2 x 5 4 y 2 0
BH AC 0
.
* H (3 ; - 1 )
Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I :
*
AI BI 8x 24
4x 8y 8
AI CI
*
1
I 3
2
;
0.75
0.75
0.25 0.5 0.25
Câu 6 ( Mức độ: C; 3 điểm ; Thời gian: 15 phút )
1 Cho hệ phương trình:
x 2 1 ( 1)
Hãy xác định các tham số thực m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Trang 32 Cho phương trình: x2 2 x+m -m=0m 2 Tìm tham số thực m để phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
1 2
2 1
3
6.1
(1.5
đ)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Điều kiện : D 0
* Tính D m 2 m 2 và giải được m1và m 2
Vậy với m1và m 2 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
(x ; y) với
1 x
m 2
và
m 1 y
m 2
0.75 0.25 0.5
6.2
(1.5
đ)
Phương trình:x2 2 x+m -m=0m 2 có hai ngiệm phân biệt khi ' 0
m0
TheoYCBT thì:
2 2
2
.x ( ) 5x x 0
0( ) 5
m
Vậy với m=5 thì thỏa YCBT
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
Câu 7 ( Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì
1 1 1
x y z
7
(1.0
đ)
, , 0
x y z
Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:
x y z 3 3 x y z (1)
1 1 1 , , 0 ; ; 0
x y z
x y z
Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:
3
1 1 1 3 1 1 1 .
Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được:
1 1 1
x y z
đpcm
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 8 (Mức độ: B; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
1 Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ: OA i 2 ,j OB 5i j OC, 3 2 i j
Tìm tọa
độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC
2 Cho
4
Tính giá trị biểu thức:
1 tan
1 tan
3
Trang 4đ)
Toạ độ trọng tâm G :
1
G 3
3
;
Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H
*
AH BC 0 2 x 1 3 y 2 0
2 x 5 4 y 1 0
BH AC 0
.
*
25 2
( ; )
7 7
0.25 0.25 0.25
8.2
(1.0
đ)
Ta có:
4 sin
5
Tìm được
cos ; tan
Thay vào biểu thức:
4 1
4
1 tan 1
3
0.5 0.5
Câu 9 (Mức độ: D ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c Chứng minh rằng: a2+b2+c2
2 abc =
cos A
cos B
cos C
9
(1.0
đ)
Ta có
(AB+BC+CA)
2
AB2+BC2+CA2+2AB BC+2AB CA +2BC.CA
0.5
+b2
+c2=2AB.BC+2AB CA +2BC CA
+b2+c2=2 ac cos B+2 cb cos A+2 ab cosC
⇔ a2+b2+c2
2abc =
cos A
cos B
cosC c
0.5
Câu 10 (Mức độ: C ; 1,5điểm ; Thời gian: 15 phút )
Có 100 học sinh tham dự học sinh giỏi môn Toán ,( thang điểm là 20) kết quả được cho trong
bảng sau :
a,Tính số trung bình và số trung vị.
b,Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
a,Số trung bình:
11 1
1
.
0.25
Số trung vị:
15 16
=15,5 2
e
b,Phương sai:
2
2
3,96
0.25 + 0.5
Câu 11.(Mức độ: D ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Trang 5Tìm m để hệ phương trình : 2 2
2
có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
Tìm m để hệ phương trình : 2 2
2
có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
* D =
2 2
2 -m-1
2 1 ( 1)(2 1)
1 -m m m m m
Dx=
1 -m-1
3 2 2 (2 1)
2 -m
m
Dy=
2 2
2 -m+1
2 4 1 ( 1)(2 1)
1 -m 2m m m m m m
*D = -(m-1)(2m+1) 0 m 1 và m -
1
2 thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất:
x =
2
x
D m m
y =
1
y
* Để x ,y thì : m- 1 = 1, m- 1= 2.Suy ra : x { 2;0;3;- 1}
0,5 0,25
0,25
0,5 0,5
Câu 12. (Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
* Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0
(x2- 4x +4)(x2- 4x +6) – 3 = 0 (1)
*Đặt t = x2- 4x +4.Pt (1) t(t+2) – 3 = 0 t2 +2t – 3 = 0
1 3
t t
*t = 1: x2- 4x +4 = 1 x2 – 4x + 3 = 0
5 13 2
*t = - 3: x2- 4x +4 = - 3 x2 – 4x + 7 = 0.Phương trình này vô nghiệm
Vậy nghiêm của pt (1):
5 13 2
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 13.(Mức độ: B ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho :A(2;6),B(-3;4),C(5;0)
a) Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho AD 2BC
18a
Trang 6Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
* AB
= (-5;-2)
AC
= (3;-6)
* Vì
5 2
nên AB
và AC
không cùng phương nên A,B,C không thẳng hàng, hay A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
Tìm tọa độ điểm D sao cho AD2BC
Giả sử D(x;y)
* AD
= (x-2;y-6)
(8; 4)
BC
-2 BC
= (-16;-8)
*AD2BC
2 16
6 8
x y
14 2
x y
0,25 0,25
0,25 0,5đ
0,25 0,25
Câu14.(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Cho f(x) = x2 – 2x – 4m – 1 a).Tìm giá trị của m để f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để f(x) > 0 với mọi x R
a,f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt 0
4 + 16m + 4 > 0
1 2
m
b,để f(x) > 0 với mọi x R 0
4 + 16m + 4 < 0
1 2
m
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 15.(Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Giải phương trình:
a) 4x7 2 x 3(1)
b) 2x3 (2)x 1
20
a(1điểm) Điều kiện x 74
Pt(1) 4x 7 4x212x9
4x2-16x+2=0
x1,2=
4 14 2
Cả hai giá trị đều thoã mãn điều kiện nhưng khi thay vào phương trình thì x2=
4 14 2
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 7không thoã mãn.
Vậy phương trình có một nghiệm là x=
4 14 2
20b
(1điểm) +)Với x
3 2
phương trình trở thành 2x+3=x-1 hay x=-4 (không thoã mãn đk x
3 2
n ên
bị loại)
+) V ới x<
3 2
phương trình trở thành -2x-3=x-1 Hay x=
2 3
(lo ại)
V ậy : Phương trình vô nghiệm
0,5
0,5
Câu 16.(Mức độ: C ; 2,5điểm ; Thời gian: 10 phút ).Giải các bpt sau:
a,(1,0điểm) 3x-1>1+x
b,(2,5điểm)√3(x2− 1)<2 x − 1
b,
2 x −1>0
3(x2−1)<¿
¿
(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)
0,75
x >1
2
x ≤ −1 , x ≥ 1
¿
{ {{∀ x∈ R {2}
no
¿
¿
(Mỗi câu đúng 0,25 điểm)
Vậy: ¿∀ x ∈¿{2
¿
¿
là nghiệm
0,75
Câu 17.(1đ).(Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút )
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=(-2x+3)(x-1), với
3 1
2
x
Ta c ó y=(-2x+3)(x-1)=
1
2 (-2x+3)(2x-2), Với
3 1
2
x
Ta có 2x2>0 và 2x+3>0 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương là 2x2>0 và -2x+3>0 ta được:
0,25 0,25
0,25
Trang 8
2
(2x-2)+(-2x+3) 2 2 2 2 3
1
( ) 2 2 2 3
2
2 2 2 3
Hay y
1
8 Vậy giá trị lớn nhất của y là
1
8 , đạt tại x=
5 2
0,25
Câu 18.(Mức độ: C ; 3điểm ; Thời gian: 15 phút )
Cho A(-4;2);B(2;6);C(0;-2)
a).Hãy tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
c) Xác định toạ độ tr ực tâm H của tam giác ABC
Câu 18a Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB DC
(1)
Mà AB (6; 4)
;DC ( ; 2x y)
Từ (1) ta có
Vậy D(-6;-2)
0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 18b Gọi G là trọng tâm của tam giác.Khi đó
;
hay
2 ( ;2) 3
G
0,25 0,25
Câu 18c Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.Khi đó:
4; 2 ; 2; 6 ; 2; 8 ; 4; 4
Ta có
4 4 0
4 0 12
12 8
5 ; ( ; )
5
x y x
H y
0,25
0,75 0,25
0,25
Câu19 (Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút )
Giải các phương trình sau :
a) ( 1 điểm) |3 x − 4|=2 x − 1 b) ( 1 điểm) √x2−2 x +6=2 x − 1
19a Tùy theo cách cách giải khác nhau để cho điểm sau đây là một cách cụ thể
Đặt đk: 2 x −1 ≥ 0 ⇔ x ≥1
2
0,5 0,5
Trang 9Pt
⇔
¿
¿
¿
So sánh điều kiện kết luận pt có nghiệm x = 3 và x =1
Đặt đk:
x2− 2 x +6 ≥ 0
2 x −1 ≥ 0
0,25
¿{
¿
¿
{ Không nhất thiết phải giải điềm kiện}
Pt
¿
¿
¿
So sánh điềm kiện kết luận: Pt có nghiệm x = 5
3
0,5 0,5
Câu20.(Mức độ: C ; 2,5điểm ; Thời gian: 15 phút )
Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-1;1), C (1;1)
a) Viết phương trình tổng quát của trung tuyến AM
b) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
c).Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b
c Phương trình đường tròn có dạng (C):x2+y2+2ax+2by+c=0
(C) qua A(1;2) ⇔12+22+2a1+2b2+c=0 0,25
(C)qua B(-1;1) ⇔ (-1)2+12+2a(-1)+2b1+c=0 0,25
(C) qua C(1;1) ⇔12+12+2a1+2b1+c=0 0,25 a= 0 , b= −3
2 , c=1 phương trình đường tròn cần tìm: (C): x2+y2-3y+1=0
0,25
Hết.
GV.Đặng Ngọc Liên