Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Chuyên đề: Phương trình, Hệ phương trình.. Giáo viên: Lê Văn Tiến Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm.[r]
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I Các kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
1 Định nghĩa: |f(x)|=
( ) ( )
f x
f x
( ) 0 ( ) 0
khi f x khi f x
2 Chú ý: f x( ) 0 ; f x( ) f(x); f x( ) - f(x); f x( )2 f x( )2
II Các dạng toán thường gặp
1 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Dạng 1: | ( )| = | ( )|f x g x (1)
Cách giải:
- Giải phương trình f x( )g x( )(a) và giải phương trình f x( )g x( )(b)
- Tập nghiệm của phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (a) và (b)
Dạng 2: | ( )| = ( )f x g x (2)
Cách giải
- Tìm điều kiện để g x ( ) 0(*)
- Giải phương trình f x( )g x( )(c) và giải phương trình f x( )g x( )(d) chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện (*)
- Tập nghiệm của phương trình (2) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (c) và (d)
1) Giải các phương trình sau
a) |x – 1|= x3 + x + 1 b)
x
= x2 - 2x + 8 c)
x x
= x + 4
Dạng 3: | ( )| + | ( )|=f x g x h x
Cách giải:
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được các khoảng mà dấu f(x) và dấu g(x) hoàn toàn xác định
- Giải phương trình trên từng khoảng vừa tìm được
2) Giải các phương trình sau
a) x2 - 5 x1 - 1 = 0 b)
3
3
x
c) (| x | + 1)2 = 4 | x | + 9
3) Giải các phương trình sau:
a) (x2 – 1)2 + 4|x – 1| + 3 = 0 b)
2
| 2 | 1
x
x
c) (x + 2)|x3 – 3x| = x6 – 6x4 + 9x2 + 2x d) |x2 - 4x + 3| - 2 2|3 - x| - |x - 1|
g) (| x | + 1)2 = 4 | x | + 9
HD: c) viết lại phươpng trình: (x3 – 3x)2 - (x + 2)|x3 – 3x| + 2x = 0
Đặt t = |x3 – 3x| đáp số: x = 0; x1; x 2; x2
d) - đặt
| 1|
| 3 |
v x
, điều kiện: u 0 vaì v 0
- Lúc đó BPT viết lại theo u và v là: u.v + u - 2v - 2 0 (v +1)(u - 2) 0
Trang 22 Bất ph ng trình ch a giá tr tuy t đ i ươ ứ ị ệ ố
Dạng 1: | ( )| > ( )f x g x (1)
Cách giải:
Trường hợp 1:
( ) 0
( ) ( )
g x
a
f x
xác định
Trường hợp 2: - Điều kiệng x ( ) 0 (*)
- Bất phương trình (1)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x g x
b
f x g x
, chọn nghiệm thoả mãn (*) Tập nghiệm của phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (a) và (b)
4) Giải các bất phương trình sau
a) 1 4 x 2x1 b)
2
2x3 2x 5x3
c)
2
2
2 1
x
x
d)
2 2
4 1 2
Dạng 2: | ( )| < ( )f x g x (2)
Cách giải
- Tìm điều kiện để g x ( ) 0(*)
- Bất phương trình (2) g x( ) f x( )g x( )(c) chọn nghiệm thảo mãn (*)
5) Giải các bất phương trình sau
a)
x x
b) | x2 -2x -3| 3x – 3 c) 2x5 7 4 x
d)
x x x x
e)
2 2
4 1 2
2 2
1 4
x
Dạng 3: | ( )| + | ( )|<f x g x h x
Cách giải:
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được các khoảng mà dấu f(x) và dấu g(x) hồn tồn xác định
- Đưa về dạng 1 hoặc dạng 2
6) Giải các phương trình sau
a) x 2 x 4 x 2 b) x 3 x 1 2 c) x x 1 3x x
d) x 1 x x2 e)
1 0 3
x x
2 3
x
h)
2
2
x
k)
2
2
1 2
2
2
1 5
2 2
x x
n)
2 2
x x
Trang 3PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA CĂN THỨC
I Các kiến thức cơ bản
1) f x( ) Xác định khi f(x) 0 Lúc đĩ f x( ) 0;
2) f x( )2 f x( )
II Các dạng tốn thường gặp
1 Phương trình chứa c n b c haiă ậ
Dạng 1: f x( ) g x( )
Cách giải: - Tìm điều kiện để f x ( ) 0 hoặc g(x) 0
- Bình phương hai vế của phương trình
7) Giải các phương trình sau:
a) 2x23x 4 = 7x 2 b) 3x2 = 2x 1 c) 5 2x = x 1
Dạng 2: f x( )g x( )
Cách giải: - Tìm điều kiện để g(x) 0
- Bình phương hai vế của phương trình
8) Giải các phương trình sau:
a) 3x2 9x 1 |x 2 | b) 3x2 9x 1 x 2 c) x2 2x4 3 x
Dạng 3: f x( ) g x( ) h x( )
Cách giải: - Tìm điều kiện sao cho
( ) 0 ( ) 0 ( ) 0
f x
g x
h x
- Bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng 1 hoặc dạng 2.
Chú ý: Nếu hai vế của phương trình chưa cùng dấu thì phai biến đổi sao cho hai vế cùng dấu rồi mới
bình phương hai vế của phương trình.
9) Giải các phương trình sau:
a) 3x 7 - x 1 = 2 b) x2 9 x2 7 2 c) x2 3 2 2 5 x2
Dạng 4: Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn
10) Giải các phương trình sau:
a) x2 x 5 x2 x 4 5 b) 44 x 4 x 1 4 x1
HD: a) đặt t = x2 + x – 4 đk t 0
Trang 411) Giải các bất phương trình sau
a) x5 x 23 x x 3 0
b)x1 x4 5 x25x28
c) 3x25x 7 3x25x2 1 Đáp số: a)
4 1
x
x b) – 9 < x < 4 c)
x x
Dạng 5: Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ
12) Giải các phương trình sau:
a) 3x2 2x15 3x2 2x 8 7 b) x3 + 1 = 23 2x 1 c) 39 x 2 x1 d) x x1 ( x1) x x2 x e) 2 x 3 x (2 x)(3x) 5
HD: a) đặt u 3x2 2x15, v 3x2 2x8, điều kiện: u0 ; v 0
b) đặt u32x1 ; c) đặt u39 x v; x1,v0 d) đặt u = x ; v = x 1 điều kiện: u0 ; v 0;
e) đặt u= 2 x 3x; v 2 x 3x
2 Bất phương trình chứa căn bậc hai
Dạng 1: f x( ) g x( )
Cách giải: - Tìm điều kiện để
( ) 0 ( )
f x
g x
- Bình phương hai vế của phương trình
13) Giải các phương trình sau:
a) 1 x 2x2 3x 5 0 b) 21 4 x x 2 x 3 c) 2
d) x2 x12 7 x e) x 3 x24x2 9
g)x 2 x24x2 4
h) 8x2 6x 1 4x 1 0
Dạng 2: f x( ) g x( ) (1)
Cách giải: Ta giải hai trường hợp
Trường hợp 1 Bất phương trình (1)
( ) 0 ( )
f x
g x
Trường hợp 2 - Điều kiện g x ( ) 0
- Bình phương hai vế của phương trình
Tập nghiệm của bất phương trình (1) là hợp hai tập nghiệm của trường hợp 1 và trường hợp 2
14) Giải các phương trình sau:
a) x24x 3 2 x 5 b) (x1)(4 x) x 2 c) x2 3x10 x 2
2 2 4
x
x
Trang 5h) (x 3) x2 4x2 9
Dạng 3: f x( ) g x( ) h x( )
Cách giải: - Tìm điều kiện sao cho
( ) 0 ( ) 0 ( ) 0
f x
g x
h x
- Bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng 1 hoặc dạng 2.
Chú ý: Nếu hai vế của phương trình chưa cùng dấu thì phai biến đổi sao cho hai vế cùng dấu rồi mới
bình phương hai vế của phương trình.
15) Giải các phương trình sau:
a) x 3 2x 8 7 x b) x 1 3 x4 c) x 2 3 x 5 2 x
d) 2x1 3x 2 4x 3 5x 4 e) x1 x 2 x 3 g)
h) x23x 2 x26x 5 2x29x7
Dạng 4: Đặt ẩn phụ
16) Giải các bất phương trình
a) x22x 2x2 4x3 b) x1 x2 x23x 4
c) x23x12x23x
d) x x 3 6 x2 3x
e) x2 4x 6 2x2 8x12 g)
h) 2x x 1 1 x2 x1
k) x4 x1 3 x25x2 6
l) 5x210x 1 7 x2 2x m) x2 x 6 2(2x1) 0 n) 2x 6x2 1 x 1
17) Giải các phương trình sau:
a) 3
√x+5+√3x +6=√32 x +11 b) 3
√x+1+√3 x +2−√3x −1=0
18) Giải các phương trình sau:
a) x 4 x 4 2 x12 2 x216 b) 3x26x16 x22x 2 x22x4 c)
2
4356
x
d) x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2
e) x 323x 22 x2 3x7
x
h)
x
HD: a) đặt t x 4 x 4 2x2 x216 t2 Đáp số x = 5
b) bình phương hai vế Đáp số x = 0; x = - 2
c) đặt
2
4356
x
Đáp số
6 119
x
d) nhân hai vế với 2 Đáp số x = 15
Trang 6e) đặt t x2 3x7 Đáp số x = 6; x = - 3
g) đk:
3 0 3
x x
Bình phương hai vế Đáp số
3 4
x
19) Giải các bất phương trình sau:
a)
2
4 2 3
x
c)
2
17 15 2
0 3
Đáp số:
a)
3
x
0 4
x
17 2
x x
d) x3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1 Trục căn thức
Phương pháp:
Phân tích đưa về dạng: x x A x 0 0
Chứng minh A x 0 vô nghiệm hoặc đưa về hề tạm
Bài tập:
Bài 1 Giải các phương trình sau:
1) 3x2 5x 1 x2 2 3x2 x 1 x2 3x 4
Hướng dẫn: biến đổi đưa về: 2 2 2 2
2) x212 5 3 x x25
Hướng dẫn: biến đổi đưa về: 2 2
x
3 0,
3
x
3) 3 x21 x x3 2
Hướng dẫn: biến đổi đưa về:
3
3
3
3 1
2 5
x x
x
Chứng minh 3 2 2 2
3 1
x
2 3 2
2
2 5
x x
4) 2x2 x 9 2x2 x 1 x 4
Hướng dẫn: Ta có x > - 4
Biến đổi đưa về: 2 2
4
x
x
2x2 x 9 2x2 x 1= 2
Trang 7Ta có hệ phương trình
2 Biến đổi về dạng phương trình tích
Bài 2 Giải các phương trình sau:
1) 3x 1 3x2 1 3 x23x2
2) 3 xx 3x
3 Đặt ẩn phụ
Bài 3 Giải các phương trình sau:
1) x x21 x x2 1 2
2) 2x2 6x 1 4x5
Hướng dẫn: Ta có
4 5
x
Đặt t 4x5,t0
Ta có phương trình theo t t4 22t2 8t27 0
Phương trình có hai nghiệm x: 1 2; 2 3
3) x23x4 x2 2x1
3 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai biến
Khái niệm phương trình thuần nhất bậc hai: ax2bxy cy 20
Cách giải Xét x 0
Nếu x 0, chia hai vế cho x, ta được
2
0
a) Dạng: aA x bB x c A x B x
Cách giải Đặt P x A x B x và Q x aA x bB x
Bài 4 Giải các phương trình:
a) 2x2 2 5 x3 1
b) 2x25x1 7 x31
3
e) 5x214x 9 x2 x 20 5 x1
Hướng dẫn: d) Ta có
1 2
x
Bình phương hai vế ta được: x2 2x 2x 1 x2 1
Đặt
2 2
u x
Giải hệ theo u, v ta được phương trình theo x
2
4 Phương pháp ẩn phụ không hoàn toàn
Bài 5 Giải các phương trình:
a) x1 x22x 3 x21 b) 4 x 1 1 3 x2 1 x 1 x2 (1)
Hướng dẫn: a) Đặt t x2 2x3,t 2
Phương trình theo ẩn t và ẩn x là: x1t x 21
Trang 8Phương trình bậc hai ẩn t: x2 2x 3 x1t2x10
Hướng dẫn: b) ĐK: x 1 Đặt t 1 x
Phương trình theo ẩn t và ẩn x là: 4 x 1 1 3 x2t t 1 1 (1) (Phương trình bậc hai ẩn t có deta không có dạng bình phương)
Để ý: 3x = - (1 – x) + 2(1 + x)
Thay vào (1)
5 Phương pháp lượng giác hóa
5.1 Một số kiến thức cơ bản
2 2
2 2 2 2 2 ; , , 0
sin cos
c x a a y b
;
2 2
cos
a
2 2
cos
a
2
1
a b ab
tan tan
a b
2 2
a b c abc
tan tan tan
a b c
, ,
là ba góc của một tam
giác
Chú ý:
a)
tan tan tan tan tan tan
; ;
2
k k
b)
; ;
k k
c)
; ;
k k
5.2 Phương pháp lượng giá hóa
Từ phương trình lượng giác đơn giản cos3tsintvà cos3t4cos3t 3cost
Ta có phương trình: 4x3 3x 1 x2 (1)
Trang 9Nếu thay xbởi 2
x
ta được phương trình4 3 x2x2 x2 1 (2)
Trong phương trình (2) thay x bởi x – 1 ta được phương trình:4x312x29x1 2x x 2
Bài 6 Giải phương trình:
2
3 3
x
Hướng dẫn: ĐK: x 1
Trường hợp x 1;0 Ta có
1 x 1 x 0
vô nghiệm Trường hợp x 0; 1 Đặt x cos ,t t 0;2
Khi đó phương trình là:
1
2 6 cos 1 sin 2 sin
2
Bài 7 Giải các phương trình:
1)
3) x3 3x x2 4) 36x 1 2x
5)
2
2
1
1
x
x
2 2 2
2
2
1 1
1
x x
x
Hướng dẫn: 1) Đặt
1 2cos tan
1 2cos
x t
x
2) Đáp số:
1 2
x
3) Chứng minh x 2 PT vô nghiệm
4) Lập phương hai vế:
2
x x x 1,x cos ,t t0;
Tập nghiệm của phương trình:
cos ;cos ;cos
5) Đặt
1
t
Đáp số: x 2 3 1
5) Đặt x tan ,t t 2 2;
Đáp số:
1 3
x
6 Phương pháp bất đẳng thức
Bài 8 Giải các phương trình:
1)
2 2
9
3) x3 3x2 8x40 8 4 4 x4 0
7 Phương pháp hàm số
Bài 9 Giải các phương trình:
Trang 101) 2x 1 2 4x2 4x 4 3 2x 9x2 3 0
2) 13 x2 x4 9 x2x4 16
3) x3 3x2 8x40 8 4 4 x4 0