Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai - THCS.TOANMATH.com

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một ngh[r]

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 Điều kiện PT * có hai nghiệm trái dấu   P 0

 Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

0P

SP

 Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt âm

000

SP

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m

Ta thấy nghiệm x không thuộc khoảng 1 1;0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng 1;0 khi và chỉ khi m 0

Câu 2: Cho phương trình x22m1x m 2  (1 0 x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Định m để hai nghiệm x , 1 x của phương trình đã cho thỏa mãn:2  2

 

4m

Kết hợp với điều kiện    là các giá trị cần tìm m 1

Câu 3: Tìm m để phương trình x25x3m  ( x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm 1 0 x , 1 x 2

Câu 4: Cho phương trình x210mx9m (0 m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m 1

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x , 1 x thỏa điều kiện 2

1 9 2 0

Lời giải a) Với m phương trình đã cho trở thành 1 x210x  9 0

Ta có a b c   nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 0 1

2

19

xx

Câu 5: Cho phương trình x22(m1)x m 2   (m là tham số) m 1 0

a) Giải phương trình đã cho với m 0

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn điều kiện 2

1 2

Lời giải a) Với m , phương trình đã cho trở thành: 0 x22x  1 0

1,2

Vậy với m thì nghiệm của phương trình đã cho là 0 x1,2 1 2

b) '   Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt m 2          0 m 2 0 m 2

Câu 6: Cho phương trình 2x2(2m1)x m   (1 0 m là tham số) Không giải phương trình, tìm m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 3x14x211

32

mm

77m 7 x

 



 

Câu 7: Cho phương trình x22(m1)x m 2  (3 0 m là tham số)

a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia

Lời giải a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi   ' 0

 

Vậy m là các giá trị cần tìm 2

b) Với m thì phương trình đã cho có hai nghiệm 2

Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Vậy    m 3 2 6 là các giá trị cần tìm

Câu 8: Cho phương trình 1 2 1 2 4 1 0

2x mx2m  m  (m là tham số)

a) Giải phương trình đã cho với m  1

xx

4 3 2

4 3 2

mm



 

 thì   (loại) 0Nếu m thì 2    (nhận) 4 22

Câu 10: Cho phương trình x22(m1)x m   (m là tham số) 3 0

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào

a) Gọi hai nghiệm của phương trình là x , 1 x Tính giá trị của biểu thức 2

1 2 1

P x x  đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2

Do đó Pmin  và dấu " "0  xảy ra khi m    1 0 m 1

Vậy Pmin  với 0 m 1

Câu 12: Cho phương trình x22m2x2m0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai

nghiệm x , 1 x thỏa mãn 2 x1  x2  2

Lời giải Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x , 1 x là 2

1 2

1 2

' 0

00

Câu 13: Cho phương trình x2m1x m 0 ( m là tham số) Gọi x , 1 x là hai nghiệm của phương 2

1 2 1 2 2007

A x x x x  đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 14: Cho phương trình x22mx2m  (m là tham số) Gọi 1 0 x , 1 x là hai nghiệm của phương 2

Câu 15: Cho phương trình x22m1x2m 5 0 ( m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , 1 x thỏa mãn 2 x1  1 x2

Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x , 1 x thỏa mãn 2 x1  1 x2

Câu 16: Cho phương trình x2mx m   (m là tham số) 2 0

a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b) Định m để hai nghiệm x , 1 x của phương trình thỏa mãn 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Vì a b c         , m1 m m 2 1 0  nên phương trình có 2 nghiệm x x1, 2  , m1  Phương trình x2mx m   2 0 x2 2 mx m

Câu 17: Cho phương trình x2mx  (1) (m là tham số) 1 0

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

b) Gọi x , 1 x là các nghiệm của phương trình (1): 2

Tính giá trị của biểu thức:

Câu 18: Cho phương trình x22m1x m 2 1 0  1 ( m là tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình  1 có 2 nghiệm phân biệt

b) Định m để hai nghiệm x , 1 x của phương trình 2  1 thỏa mãn:  2

Vậy m  là các giá trị cần tìm 1

Câu 19: Tìm m để phương trình x22x2m  (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt 1 0 x , 1 x 2

2

mm

Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình x28x m  để 4 30  là nghiệm của phương trình

Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa Tìm nghiệm còn lại

Câu 21: Cho phương trình x22m1x m 2  m 1 0 ( m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x , 1 x là hai nghiệm của phương trình Tìm m sao cho 2 A2x1x22x2x1 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau

c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

b) Hai nghiệm của phương trình là 1

2

2222





  

 là các giá trị cần tìm

Câu 23: Cho phương trình x22x m   (3 0 m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tính nghiệm còn lại 1

b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn hệ thức 2 3 3

1 2 8

Lời giải a) Vì phương trình x22x m   có nghiệm 3 0 x  nên ta có: 1

   (thỏa mãn điều kiện)

Vậy m  là giá trị cần tìm 3

Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x22m1x m 2 1 0 có hai nghiệm phân

biệt x , 1 x sao cho biểu thức 2 2 2

Vậy Pmin  khi 1 m 1

Câu 25: Cho phương trình x2m5x2m  ( x là ẩn số) 6 0

a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 2 2

Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm

b) Với mọi m , phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

 

Vậy phương trình  1 có nghiệm khi m 3

b) Do phương trình  1 có 2 là một nghiệm nên thỏa:

2

2 2.2   m 2 0

6 0m

  

6m

Vậy m  và nghiệm còn lại là 46  là các giá trị cần tìm

Câu 27: Cho phương trình x2mx m   1 0  1 với x là ẩn số

a) Giải phương trình khi m 2

b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c) Gọi x x là nghiệm của phương trình Tính giá trị của biểu thức 1, 2

  2 2

1 1 2 1 2016

Lời giải a) Khi m = 2, phương trình  1 trở thành: x22x  1 0  2

Ta có a b c      nên phương trình1 2 1 0  2 có hai nghiệm: 1 1; 2 2 2

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c) Với mọi m, phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

Câu 28: Cho phương trình x22m1x2m với x là ẩn số; m là tham số Tìm m để phương 0

trình có nghiệmx Tìm nghiệm còn lại 2

  

Thay m  vào phương trình ta được phương trình: 1 x23x  2 0  *

Ta có a b c       nên phương trình 1  3 2 0  * có hai nghiệm: 1 1; 2 2 2

Vì x2 nên nghiệm còn lại là 2 x1 1

Vậy m  và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm 1

Câu 29: Cho phương trình x2m1x m   (2 0 x là ẩn số, m là tham số)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2

b) Tính tổng và tích của hai nghiệm x x của phương trình theo m 1, 2

Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt x x với mọi1, 2 m

b) Với mọi m, phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

1 2

1 2

12

b

ac

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA khi và chỉ khi 8 m 3

Câu 30: Cho phương trình: x22m1x4m (0 x là ẩn số, m là tham số)

a) Giải phương trình với m  1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải a) Với m  phương trình trở thành: 1 x24x  4 0  *

2

Vì ' 0  nên phương trình  * có nghiệp kép: 1 2 ' 2 2

Vậy m  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1

Câu 31: Cho phương trình x22x m 2  (1 0 m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m

c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x1 3x2

Lời giải a) Ta có   ' 12 1.m21 1 m21m2  , với mọi m 2 0

Vì ' 0  , với mọi mnên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Với mọi m , phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

11

Câu 32: Cho phương trình: x2m2x m   (1 0 m là tham số)

a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình Tìm 1, 2 m để có 2 2

1

mb

Câu 33: Cho phương trình x2    với m là tham số và x là ẩn số x m 2 0

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Giả sử x x là hai nghiệm của phương trình trên Tìm m để 1, 2 3 3

1 2 1 2 10

x x x x   Lời giải

1 2

1 2

111

  

2

m  thì phương trình trên có nghiệm

Câu 34: Cho phương trình x24x m   ( x là ẩn) 3 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x x 1, 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa 1, 2 2 2 2 2

1 2 1 2 51

x x x x Lời giải

a) Ta có  ' 221.m3   1 m4 m 3  

Để phương trình có nghiệm x x 1, 2         ' 0 1 m 0 m 1

b) Theo câu a, ta có m thì phương trình có hai nghiệm 1 x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

1 2

1 2

441

Câu 35: Cho phương trình: x22m3x m 23m  ( x là ẩn số, m là tham số) 1 0

a) Tìm m để phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Câu 36: Cho phương trình bậc 2 có ẩnx : x22mx2m 1 0  1

a) Chứng tỏ phương trình  1 luôn có nghiệm x x với mọi giá trị của 1, 2 m

Do ' 0  (với mọi m) nên phương trình  1 luôn có nghiệm x x với mọi giá trị của m 1, 2b) Theo câu a, với mọi m thì phương trình  1 luôn có nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

Câu 37: Cho phương trình x2m3x m   ( x là ẩn) 5 0

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình trên Tìm m để 1, 2 2 2

5

51

mb

Câu 38: Cho phương trình: x2mx2m  ( x là ẩn số) 4 0

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Tính tổng và tích của hai nghiệm theo m

c) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình Định m để 1, 2 2 2

1 2 5

Lời giải a) Ta có:  m24.1 2 m4m28m16  2

m

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Với mọi m, phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

Câu 39: Cho phương trình x22x4m  (1 0 x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa 1, 2 2 2

    thì phương trình có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

1 2

1 2

221

Câu 40: Cho phương trình bậc hai: x2– 2mx4 – 4 0m  (x là ẩn)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình Tìm 1, 2 m để 2

Do ' 0, m   nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Theo câu a) ' 0    nên phương trình luôn có hai nghiệm m 2 x x thỏa hệ thức Vi-1, 2ét:

1 2

1 2

221

2m 3 02m 33m2

Câu 41: Cho phương trình: x22m4x m   6 0

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Do ' 0, m   nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Theo câu a, ' 0, m   nên phương trình luôn có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

Câu 42: Cho phương trình: x22m2x2m 0  1 với x là ẩn số

a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x x 1, 2

b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2

2 1 1

x   x xLời giải

Do ' 0, m   nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Theo câu a, ' 0, m   nên phương trình luôn có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

Vậy m 2 là giá trị cần tìm

Câu 43: Cho phương trình: x22x2m2 0  1 với x là ẩn số

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2 2

1 4 2

x  x Lời giải

b) Theo câu a, ' 0, m   nên phương trình luôn có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

Câu 44: Cho phương trình: x23m2x2m2   m 3 0  1 ,(với x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi x x là các nghiệm của 1, 2  1 Tìm m để x13x2

Do    nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m 0, m

b) Theo câu a,     nên phương trình luôn có hai nghiệm 0 m 4 x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1, 2    2 2

Do ' 0, m   nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Theo câu a, ' 0, m   nên phương trình luôn có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

2

m là giá trị cần tìm

Câu 46: Cho phương trình: x22m1x m 2  3 0  1 ( với x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện để  1 có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1, 2

Câu 48: Cho phương trình x25m1x6m22m 0  1 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x x là nghiệm của phương trình Tìm m để 1, 2 2 2

Vì    nên phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m 0, m

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2

Câu 49: Cho phương trình: x22(m1)x m   3 0  1

a) Chứng minh rằng phương trình  1 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi x x là 2 nghiệm của phương trình 1, 2  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do ' 0, m   nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2  1

Vậy  2 2

1 2

152

4

m c) Từ  3  m x x1 2 3

Thay m x x 1 2 vào 3  2 , ta được: x1x2 2x x1 2 3 1  x1 x2 2x x1 2  4

Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩn x , tham số m ): x2– 2mx 2 m  1 0  1

Với giá trị nào của m thì phương trình  1 có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x13x2

2

mxmx

Câu 51: Cho phương trình: x2– 5x m  0  1 ( m là tham số)

a) Giải phương trình trên khi m 6

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x x thỏa mãn:1, 2 x1x2  3

Lời giải a) Với m phương trình 6  1 trở thành x2– 5x  6 0  *

25 – 4.6 1 0

    Suy ra phương trình có hai nghiệm: x13; x2  2

b) Ta có:  25 4m

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm x x thì 1, 2 0 25

4m

Câu 52: Cho phương trình ẩn x : x2– 2mx  4 0  1

a) Giải phương trình đã cho khi m 3

b) Tìm giá trị của m để phương trình  1 có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2

Lời giải a) Với m = 3 phương trình  1 trở thành: x2– 6x  4 0  2

Giải  2 ra ta được hai nghiệm: x1 3 5,x2 3 5

b) Ta có:  ' m2 4

-2

mm

b

ac

mm

Câu 53: Cho phương trình ẩn x : x2– 2mx  1 0  1

a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x và1 x 2

b) Tìm các giá trị của m để: 2 2

1 2 – 1 2 7

Lời giải a) Ta có:  ' m2   1 0, m

Do đó phương trình  1 luôn có hai nghiệm phân biệt x và1 x 2